1、广东省河源市连平县忠信中学高三年级数学检测题(寒假)考试时间：120 分钟 满分 150 分本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。第卷（选择题，共 50 分）一.选择题：（本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、设集合 ， ， ， ， ， ， ，则 等于Ix3xZ1A2B12A()BI（ ）A、 B、 C 、 D、11,20,2、函数 的图象经过四个象限的充要条件是（ ）2yabcA、 且 0 B、 且 ()fabC、 且 D、 且 024c03、函数 是（ ）()sin)si()4fxxA、周期为 的奇函数 B、周
2、期为 的偶函数C、周期为 的奇函数 D、周期为 的偶函数 224、已知数列 是等差数列，且 ， ，则 等于（ na123a45618a789a）A、 B、 C 、 D、160245、如图，正方体 的棱长为 1， 是底面1AO的中心，则 到平面 的距离为（ ）1BO1A、 B、 224C、 D、 36、 名同学排成两排，每排 3 人，其中甲排在前排的概率为（ ）A、 B、 C 、 D、121216137、在 的展开式中， 的系数是（ ）)3(5x3xA、 B、 C 、 D、40020408、 是 所在平面上一点，若 ，则点 是 的（ PPABPCAABC）A、外心 B、内心 C 、重心 D、垂心
3、9、若无穷等比数列 满足 ，则数列的公比 为（ ）na12313lim2na qA、 B、 C、 D、14 1310、已知函数 满足： ；在 上为增函数。若)(xfy是 偶 函 数)(xfy,且 ,则 与 的大小关系是（ ）0,21x2112A、 B、 )()(2ff )()(21xffC、 D、 无法确定1ABC11O班级： 姓名： 座号： 试室号: 密.封.线第卷（非选择题，共 100 分）二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在题中的横线上.）11、某校有教职工 200 人，男学生 1000 人，女学生 1200 人，现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一
4、个容量为 的样本，已知从教职工中抽取的人数为 10，则 = 。n n12、将时间拔慢 分钟，则分针转了 度，时针转了 度。513、已知 ，则不等式 的解集是 。1,)(xf 3)1(xfx14、已知 、 是直线， 、 、 是平面，给出下列命题：mn 若 ， ， ，则 或 ；mnn 若 ， ， ，则 ；m 若 不垂直于 ，则 不可能垂直于 内的无数条直线； 若 ， ，且 ， ，则 且 。nnn其中正确的命题的序号是 。 （注：把你认为正确的命题序号都填上）三、解答题：（本大题共 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ）15、 （本小题满分 13 分）已知 中，角 A、B、
5、C 对应的边为 a、b、c，A=2B， ，求 sinC 的值6cos3B16、 （本小题满分 13 分）如图，三棱锥 中， ， ， ， 为正三角形，PABC60PAC3P2BPC（）求证：平面 平面 ；（）求棱 与侧面 所成的角；（）求点 到侧面 的距离。 B17、 （本小题满分 13 分）已知 为正三棱柱， 是 的中点. 1ABCDAC(1)证明： 平面 1(2)若 ，12求二面角 DBC1C 的大小；若 E 为 AB1 的中点，求三棱锥 EBDC1 的体积。18、 （本小题满分 13 分）某次有奖竞猜活动中，主持人准备了 A、B 两个相互独立的问题， 并且宣布：观众答对问题 A 可获奖金
6、a 元，答对问题 B 可获奖金 2a 元；先答哪个题由观众自由选择；只有第 1 个问题答对，才能再答第 2 个问题，否则中止答题。若你被选为幸运观众，且假设你答对问题 A、B的概率分别为 、 。你觉得应先回答哪个问题才能使你获得奖金的期望较大？说明理由。1319、 （本小题满分 14 分）已知 211(),(),0,0nnfxafaa（1） 求证：过曲线 yk上 任 一 点 的 切 线 斜 率 都 有 /(2):(),()(),fxabbffb定 理 若 在 上 可 导 则 存 在 使据此证明： 112nn20 （本小题满分 14 分）已知定义域为0，1 的函数 f(x)同时满足三个条件：（1
7、）对于任意 ；0,1()0xfx总 有（2）f (1)=1; （3）若 x10, x 20, x 1x 21，则有 f (x1x 2) f (x 1)f ( x2)( I ) 试求 f (0)的值；() 试求函数 的最大值；()() 试证明：当 *1,().nNf时 ,(密.封.线班级： 姓名： 座号： 试室号: 广东省河源市连平县忠信中学高三年级数学检测(寒假)答案一. 选择题答题栏：(本大题共 10 小题；每小题 5 分，共 50 分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案 D C B D B A C D B A二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分)1
8、1. 120； 12. 、2.5 13. ； 14 . 0x1三、解答题：（本大题共 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ）15、解：A=2B ，0A 0B . 1 分2由 ，得 3 分6cos3B3sinsinA=sin2B=2sinBcosB= ,cosA=cos2B= 9 分221cos3Bsin=sin -(A+B)= sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB= 12 分59解：A=2B， 0A 0B . 1 分2由 ，得 3 分6cos3B3sinsinA=sin2B=2sinBcosB= ,cosA=cos2B= 9 分2cos13Bsin=s
9、in -(A+B)= sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB= 12 分5916、 （）证明:取 BC 中点 D,连结 PD 和 AD,为正三角形 PD ,且 PD=PBCC3又 ， ，60APA2B由余弦定理可知 AB=AC= 7D 为 BC 中点AD61)(22又 PA=3 PD= ,3DADP平面 ,而 平面 , 平面 平面PABCPBCPBC（）解:由（）易知 AD平面 ,故 即为所求角PD= , , , ,即 PA 与平面3cos 3arcosPBC 所成的角为 3arcos（）解: , 点 B 到侧面 的距离的ACPBVPACPACBSDdP而 PD= , = , 3
10、ABCS3422360sin21PCASPAC2d17、(1)证明：连结 CB1 交 BC1 于 O，连结 OD.ODAB1，OD 在面 DBC1 内. AB1平面 DBC1. 4 分(2)解：ODBC 1，又 O 为 BC1 中点，DO=DC 1.CC1= .2过 O 作 OMBC1 交 BC 于 H，则 OH= ， HOD 为所求.23BH= , ,cos= .45. 8 分23DH. 62312V121V111 DCABDCADECABDCE 12 分18 （本小题满分 13 分）解：设甲先答 A、B 所获奖金分别为 元，则有 -2 分、-5 分.6132)(,31)(2)(,21)0(
11、 aPaPP-8 分63-10 分50;65EaE 由于两种答序获奖金的期望相等，故先答哪个都一样。 -12 分19解：（1） 5 分22()11axxfka(2) 由(1)知： 故 在 是增函数7 分0,0af()f,)又 对于一切 恒成立.9 分11,()nnf 1,nN由定理知:存在 ;由(1)知: ;1 1,()nfaffa使 得 ()fa12 分11()nnfffa故由 的一般性知： 14 分2111122nnnna a20解：（）.令 ，依条件（3）可得 f (0+0)f (0)+f (0),即 f (0) 002x又由条件（1）得 f (0) 0，则 f (0)= 0;（）任取 0 1，可知 ， 则 ,012x )()(122xfx， )(12xf即 0，故21)ffx21(),ff于是当 0x1 时，有 f (x) f (1) =1,因此，当 x=1 时，f (x)有最大值 1（）证明： 当 时，f (2x) f (x)+f (x)=2 f(x)， ，n,1 )2()(xff显然，当 时， 成立2,x(2假设当 时，有 成立，其中 k=1,2,k,1kxf)那么当 时， 12,kx1()2kfxf(f1)2k1()kf12k可知对于 ，总有 ，其中 nN*n, n此时 ，故 时，有 f (x)2 x (nN*)xfn2)(n2,1
