1、数学教学中类比思想方法屏边一中：窦红喜摘要: 素质教育的目的是提高学生的思维能力和科学文化素质。所以，我们应摒弃“题型方法 ”的教学方式，自觉渗透类比推理的教学思想方法，帮助学生学会数学地思维，提高他们的素养，培养他们的创造性思维能力。关键词: 类比 推理 方法 一、类比的价值和意义1、类比可激发学生学习兴趣通过类比可以探索出很多新的知识、方法，寻求出与众不同的解题思路，探索数学规律。由于类比是从特殊到特殊的一种猜测、推理，从一个已知的领域去探索另一个领域，而这正符合学生的好奇、去了解陌生世界的心理。这样可以极大地激发出学生的兴趣，让学生去主动地探索、研究新的知识。2、通过类比得出新知数学教材
2、中，很多新的知识在很大程度上是在先前的知 识 上发展而来的，在方法、思想等方面都有着一定的联系。一旦学 习的主体发现了这些联 系之间存在的相似性和可比较性，那么就可以利用原有的认知结构有效地学习新知识，同 时 也可以将先后的知识组成一个完整的体系。3、通过类比提高学生数学思维 能力初中数学课程提出应注重提高学生的数学思维能力， 这也是数学教育的基本目 标之一。当学生遇到一个陌生的问题时，当有了 类比的意识，他会 联 想一个在形式或方法上较为熟悉的问题来进行类比。发现其内在 联系，架起 桥梁，沟通知识与知识、方法与方法之间的关联，激活学生的思维，从而去提高学生的思 维能力。4、类比是数学发现与创
3、新的重要手段类比就是一种大胆的合理的推理，它是创新的一种手段。因为有了类比，在研究一个问题时，学生将跳出一定的框架，不受现有知识的约束，根据其中的思想方法、表现形式等去利用其他的知识、方法来大胆提出 设想、来找到具有 创新性的解 题方法。二、类比法在中学数学教学中的重要性 数学家 G波利 亚说:“ 类比是一个伟大的引路人。“在数学的教学与研究中，类比是进行合情推理的一种非常重要的思维方法。它是大自然中各种事物之 间的一种相似: 当两个对象系统中某些对象间的关系存在一致性或者某些对象间存在同构关系，或者一对多的同态关系时，我们便可对这两个对象系 统进行类比，从而可以从一个对象系统得到的某些结果去
4、猜测和发现另一系统的相应的新结果;在我们分析问题解决问题 的过程中则可以利用一个较简单的类比问题的解答方法或结果，去找到原 问题的解决方法。在我们平时的学习与生活中处处充满着类比，可以说，类比是探索问题、解决问题与发现新结果的一种卓有成效的思维方法。在数学中，类比是发现概念、方法、定理和公式的重要手段，也是开拓新领域和创造数学新分支的重要途径。学生在数学的学习中应该学会运用这 种独特的思维方法，教 师在教学过程中则应努力培养学生运用类比方法进行合情推理的能力。 如果 A，B 是两个在某些方面 类似的事物，从 A 具有某些性质推想 B 也有类似的性质，这种思维叫做类比思维。如学生在学不等式的加减
5、移项法 则时， 应用等式的加减移项法则作为类比就比较容易理解这些问题。但 这种类比却又容易造成以后乘除移 项的失误。有些学生根据“同向不等式可以相加” 、“正数的同向不等式可以相乘”，根据类比推理得出“同向不等式可以相减”、“正数的同向不等式可以相除”这样的错误结论来。这也说明类比的结果不一定正确。类比推理只是一种可能性的合情推理，而不是一种必然性的正确推理 ;要得到正确的结论才行。 1、运用类比方法温故知新 类比是从旧知识推出新知识的一种思考方法，也是人 们联 想的思维工具。在学 习立体几何时， 对出现的新问题与平面几何的有关知 识进行类比，大胆猜想，可以发现新知识，从而温故知新。我们还必须
6、经过严 格的证明才行。 2、通过类比发现解题的思维方向 类比不仅是一种从特殊到特殊的推理方法，也是一种探索解 题思路、猜 测问题答案或结论的一种有效的方法。这对数学教学中培养学生的 创新能力和 创造性思维能力有着极其重要作用，教学中应引起足够的重 视。 三、数学概念类比：波利亚说过：“当你不能解决一个问题时，不妨回到定义去”。现实中，有不少学生 对上数学的概念课时，认为书上有的内容，再讲一遍简直是浪费时间 ；有同学认为数学概念太抽象，而数学概念是数学知识的基础。学生 对数学概念的形成过 程、同化 过程，就决定了对数学概念掌握的程度。所以，只有理解数学概念的外延和内涵，才能举一反三，触类旁通。我
7、 觉得在数学概念的教学中如果能够运用类比思想，便能克服部分同学的 为难情绪和认知的误区。下面我以有理数的乘方一课谈谈如何来运用类比思想来进行数学概念的教学。有理数的乘方很容易与有理数的乘法相混淆，两者概念非常接近，形式也非常相似，我的做法是：（1）出示：6+6+6+6（2）6666（2）设问：上述两个式子，有什么相同之处，有什么不同之 处 ？学生很容易得出：都含有数学“6”，（1）式中是和的运算，加数相同，也就是求“ 相同加数的和的运算”（2）式是积的运算，因数相同，也就是求 “相同因数的积的运算” 。（3）设问：求“相同加数的和的运算”，有没有简便的书写格式？学生很容易得出为：64（4）设问
8、：求“相同因数的积的运算”，有没有简便的书写格式？从而引导学生通过正方形的面积，正方体的体 积中得出为 ：6 。3（5）反复地比较 63，6 的含义，从而得出乘方的定义为：求相同因数的积的运算。从而分清3了乘法，乘方两个概念的区别 。数学概念教学中，能运用类比思想 对概念进行学习， 这样前后知 识点就能互相对应，对学生深刻理解概念是大有裨益的。同时也有助于加强理解概念 间的联系，有助于 对概念的记忆、理解。四、定理讲解的类比如：三角形相似的判定可与全等的判定相类比。全等三角形判定定理为：边角边公理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边 角边” 或“SAS”） 。 角边角公
9、理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。（可以 简写成“角边角”或“ASA”）角角边定理：有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。（可以 简写成“角角边”或“AAS”） 边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等。（可以 简写成“边边边”或“SSS”） 斜边、直角边公理：有斜边和一条直角 边对应相等的两个直角三角形全等。（可以简写成“斜边，直角边 ”或“HL”） 而三角形相似的判定定理为：判定定理 1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似，也可以说成：两角对应 相等，两三角形相似。（此定理可与角 边角公理和角角边定理类比）判定定理 2：如果一
10、个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似，可简单说成：两边对应成比例且 夹角相等，两三角形相似。（此定理可与边角边公理类比）判定定理 3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似，可简单说成：三 边对应成比例，两三角形相似。（此定理可与 边边边公理类比）判定定理 4：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。（此定理可类比斜边，直角边公理类比）利用类比方法既可复习已学知识（三角形全等的判定）又可对新学知识（相似三角形的判定）有进一步的认识，可谓一 举两
11、得。五、培养学生类比意识的教学途径1教师自身要有完善的知识体系和深厚的 专业基本功要想能顺利地引导、组织学生去运用 类比的思想去发现新知和 创新解题，教 师作为组织者一定要具有完善的知识体系和深厚的专业基本功，否 则 怎能发现不同板块知识之间的内在联系，怎能有效组织好类比教学，展示数学的内在和谐美，展示数学知识的统一性。因此在平时的钻研中教师必须站在一定的高度去把握知识的结构、去研究透知识表象背后的思想方法，不能思维定势地去思考 问题， 对问题能有自己独到的 见解，通过自身的努力夯实专业基本功。2经常创设类比问题情境要想培养学生的类比能力，教学中的 类比问题情境显得尤 为重要。数学 课堂教学中
12、，教师要恰如其分地创设类比联想的问题情境，暴露数学的思维过程，把每一个 环节展现给学生，让学生观察和类比。3实行变式教学应该说变式教学是中国教学中成功的环节，通 过变式的教学 让学生分析、提 炼出不同表象后面相同本质的东西，通过长时间 的潜移默化的影响培养学生分析 问题的意识和能力，从而为进一步的主动类比提供可能。只有 这样学生才会在遇到新的 问题时站在一定的高度去认识、把握，才能有新的想法。4教学过程中注重知识的生成通过教学发现，学生已有的知 识水平对类比能否顺利实施开展起决定性作用，只有有了相关知识作为保障，才有“ 跳一跳摸得着”的可能。所以在平时的教学中要更多在学生的主体活动中生成知识，
13、教师作为一个 组织者和引导者。 让学生在自主的活 动中感悟到其中的思想方法和内在联系，只有这样学生才能在遇到新 问题时浮现 出已有的思想方法和不同知识形式来进行类比。否则如果是教 师的一味灌输只能带来僵硬的思 维方式。5开展小组合作交流考虑到中学生的思维的不成熟性、不完善性，类比教学有时对学生的要求可能相对较高，凭一己自力可能难以在短时间内发现内在联系去达成目标。所以在课堂教学中可适时采用小组合作探究式，俗话说“ 三个臭皮匠顶上一个诸葛亮”。通过合理搭配小组的构成， 营造轻松的研讨氛围，让平时思维不活 跃的学生有勇于表现自己、展示自己的机会，通过小组的合作去提出问题、解决问题、构建知识。在通过
14、展示成果的方式让学生的主体活动充斥着课堂，去批判地接受新知的生成。 六 数学思维中类比能力培养类比作为一种推理方法，它既不同于 归纳推理也不同于演 绎推理。 应用类比推理可以在两个不同知识领域之间实行知识的过渡，因此，人们常常把类比方法誉为理智的桥梁，是信息转移的桥梁。经常有这样的情况： 长时间沉思于某一问题 而未得解决，然而在某一 时刻，在其沉思圈子之外有一个信息倒起了很大的启发作用，触 发 信息的过渡，使 问题得以解决。这往往得益于类比。正如康德所 说： “每当理智缺乏可靠论证的思路时，类比， 这个方法往往能指引我们前进。”2特别是研究立体几何 时，往往会得益于平面几何中的类比问题。 类比
15、的特征是：两个对象的某些属性是相同的，或者表面上毫无共同之处，只是在某种观点上或某一抽象层次上是相似的，它的 结论不是简单的模仿、复制，而是创造性设想。 因此，我们在教学过程中，要有意识地对学生进行直觉思维能力的训练，着重训练学生的类比归纳猜想能力。 可见，解题活动中的种种念头的产生是依赖于解题者类比联想能力，但解题者要正确对待解题过程中失败的念头，从中 查找原因， 进行新的类比，使之接近正确的方向。 为此，G波利亚说：“类比是 获 得发现的伟大源泉” 。1不论在初等数学、高等数学中的发现，或者任何别的学科中的发现 ，恐怕都不能没有这些思考 过程，特别是不能没有类比。所以，我们在数学过程中应自
16、觉 渗透类比教学思想方法，提高学生的研究数学的兴趣，培养他们的创性性能力。 结束语：数学是一门与思维联系密切的科学。人 们之所以把数学看成思 维的体操,就是因为通过数学学习可以锻炼人的思维能力, 而数学思维能力在人的思维 能力中占有着十分重要的地位和作用。数学教学的重要目的在就于培养学生的数学思维能力。对比与类比是数学研究与数学发现中常用的两种逻辑思维方法。它不象数学知识如概念、定理、公式等明显地写地教科 书上,它是无形的东西,往往被忽 视。因此 ,在数学教学过程中,若能注意介绍类比的方法, 并引导学生应用, 不仅有利于学生对数学概念、原理和数学解题方法的深入理解,亦可促进学生在论证和解题中发
17、现一些新的方法,有助于学生提高数学思维能力。巨大的科学发明需要有较强的类比能力，而 较强的类比能力正基于猜想与 证明的有机结合。对类比的各种状态要给 予严 格论证， 还要捕捉各种类 比念头，抓住两系统间的相似之处，利用类比这座雄伟的桥梁，将信息不断地 过渡，并不断地证明，使其科学化，从而使学生的创造力不断地在类比成功中得到升华。主要参考文献： 1.波利亚著：数学与猜想科学出版社 1984 2.刘云章等：数学解题思维策略 湖南教育出版社1992 3.徐利治、郑毓信、朱梧木 贾等：数学方法论教程 江苏教育出版社1992 4吕传汉. 数学的学习方法M . 北京: 高等教育出版社. 5 王仲春. 数学思维与数学方法论M . 北京: 高等教育出版社.6 庞之坦. 常用数学解题思维方法M . 重庆: 重庆大学出版社.
