1、1.1算法与程序框图,问题的提出,有一个农夫带一条狼狗、一只羊和一筐白菜过河。如果没有农夫看管，则狼狗要吃羊，羊要吃白菜。但是船很小，只够农夫带一样东西过河。问农夫该如何解此难题？,方法和过程：,1、带羊到对岸，返回；,2、带菜到对岸，并把羊带回；,3、带狼狗到对岸，返回；,4、带羊到对岸。,问题1请你写出解二元一次方程组的详细求解过程.,解方程,第一步,由（1）得,第二步,将（3）代入（2）得,第三步,解（4）得,第四步,将（5）代入（3）得,第五步,得到方程组的解得,解方程,第一步,第二步,第三步,第四步,第五步,得到方程组的解得,广义地说：为了解决某一问题而采取的方法和步骤，就称之为算法
2、。,在数学中，按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤，称为算法。,现在，算法通常可以编成计算机程序，让计算机执行并解决问题。这些程序或步骤必须是明确和有效的,而且能够在有限步之内完成.,算法的概念:,没有软件的支持，计算机只是一堆废铁而已；,软件的核心就是算法 ！,算法的特征,一.确定性: 每一步必须有确切的定义。 二.有效性：原则上必须能够精确的运行。 三.有穷性：一个算法必须保证执行有限步 后结束,算法的优缺点,一.缺点:算法一般是机械的,有时需要进行大量重复的计算. 二.优点:算法是一种通法,只要按照步骤去做,总能得到结果.,广播操图解是广播操的算法； 菜谱是做菜的算法； 歌谱是一
3、首歌曲的算法； 空调说明书是空调使用的算法等,我们身边的算法,算法学的发展,随着科学技术的日新月异,算法学也得到了前所未有的发展,现在已经发展到了各个领域.有遗传算法,排序算法,加密算法,蚁群算法等,与生物学,计算机科学等有着很广泛的联系,尤其是在现在的航空航天中,更是有着更广泛的应用. 很多复杂的运算都是借助计算机和算法来完成的,在高端科学技术中有着很重要的地位.,应用举例,例1.(1)设计一个算法判断7是否为质数.,第一步, 用2除7,得到余数1.因为余数不为0，所以2不能整除7.,第二步, 用3除7,得到余数1.因为余数不为0，所以3不能整除7.,第三步, 用4除7,得到余数3.因为余数
4、不为0，所以4不能整除7.,第四步, 用5除7,得到余数2.因为余数不为0，所以5不能整除7.,第五步, 用6除7,得到余数1.因为余数不为0，所以6不能整除7.因此，7是质数.,应用举例,例1.(2)设计一个算法判断35是否为质数.,第一步, 用2除35,得到余数1.因为余数不为0，所以2不能整除35.,第二步, 用3除35,得到余数2.因为余数不为0，所以3不能整除35.,第三步, 用4除35,得到余数3.因为余数不为0，所以4不能整除7.,第四步, 用5除35,得到余数0.因为余数为0，所以5能整除35.因此，35不是质数.,任意给定一个大于1的整数n,试设计一个程序或步骤对n是否为质数
5、做出判定.,第一步：判断n是否等于2.若n=2，则n是质数；若n2，则执行第二步.,第二步:依次从2（n1）检验是不是n的因数，即整除n的数,若有这样的数，则n不是质数；若没有这样的数，则n是质数.,这是判断一个大于1的整数n是否为质数的最基本算法. 用语言描述一个算法,最便捷的方式就是按解决问题的步骤进行描述.每一步做一件事情.,应用举例,探究解决,对于区间a,b 上连续不断、且 f(a)f(b)0的函数y=f(x),通过不断地 把函数f(x)的零点所在的区间一分 为二，使区间的两个端点逐步逼近 零点，进而得到零点近似值的方法 叫做二分法.,解决问题,第四步, 若f(a) f(m) 0,则含
6、零点的区间为a,m；,第一步, 令 .给定精确度d.,第二步, 给定区间a,b,满足f(a) f(b)0,第三步, 取中间点 ,第五步, 判断a,b的长度是否小于d或者 f(m)是否等于.,将新得到的含零点的仍然记为a,b .,否则，含零点的区间为m, b.,若是，则m是方程的近似 解;否则，返回第三步,解决问题,当d=0.05时,评析:实际上,上述步骤就是在求 的近似值.,与一般的解决问题的过程比较,算法有以下特征: 设计一个具体问题的算法时,与过去熟悉地解数学题的过程有直接的联系,但这个过程必须被分解成若干个明确的步骤,而且这些步骤必须是有效的. 算法要“面面俱到”,不能省略任何一个细小的
7、步骤,只有这样,才能在人设计出算法后,把具体的执行过程交给计算机完成.,练习一:任意给定一个正实数,设计一个算法求以这个数为半径的圆的面积.,算法分析:,第一步:输入任意一个正实数r; 第二步:计算以r为半径的圆的面积S=r2; 第三步:输出圆的面积.,课本5页 1,练习二:任意给定一个大于1的正整数n,设计一个算法求出n的所有因数.,算法分析:,第一步:依次以2(n-1)为除数去除n,判断余数是否为0,若是,则是n的因数;若不是,则不是n的因数. 第二步:在n的因数中加入1和n; 第三步:输出n的所有因数.,课本5页 2,练习三:为了加强居民的节水意识,某市制订了以下生活用水收费标准:每户每
8、月用水未超过7m3时,每立方米收费1.0元,并加收0.2元的城市污水处理费;超过7m3的部分,每立方米收费1.5元,并加收0.4元的城市污水处理费,请你写出某户居民每月应交纳的水费y(元)与用水量x(m3)之间的函数关系,然后设计一个求该函数值的算法.,解:y与x之间的函数关系为:,(当0x7时) (当x7时),解:y与x之间的函数关系为:,(当0x7时) (当x7时),求该函数值的算法分析:,第一步:输入每月用水量x; 第二步:判断x是否不超过7.若是,则y=1.2x;若否,则y=1.9x-4.9. 第三步:输出应交纳的水费y.,计算机解决任何问题都要依赖于算法.只有将解决问题的过程分解为若
9、干个明确的步骤,即算法,并用计算机能够接受的“语言”准确地描述出来,计算机才能够解决问题.,1.1.2 程序框图,问题提出,1.算法的含义是什么？,在数学中，按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤称为算法.,2.算法是由一系列明确和有限的计算步骤组成的，我们可以用自然语言表述一个算法，但往往过程复杂，缺乏简洁性，因此，我们有必要探究使算法表达得更加直观、准确的方法，这个想法可以通过程序框图来实现.,知识探究（一）：算法的程序框图,思考1:“判断整数n（n2）是否为质数”的算法步骤如何？,第一步，给定一个大于2的整数n；,第二步，令i=2；,第三步，用i除n，得到余数r；,第四步，判断“r
10、=0”是否成立.若是，则n 不是质数，结束算法；否则，将i 的值增加1，仍用i表示；,第五步，判断“i(n-1)”是否成立，若是， 则n是质数，结束算法；否则，返回 第三步.,i=i+1,思考2 ：为了使算法的程序或步骤表达得更为直观,我们更经常地用图形方式来表示它.,程序框图又称流程图,是一种用规定的图形、指向线及文字说明来准确、直观地表示算法的图形.,通常,程序框图由程序框和流程线组成.,一个或几个程序框的组合表示算法中的一个步骤;,流程线是方向箭头,按照算法进行的顺序将程序 框连接起来.,思考3：基本的程序框和它们各自表示的功能？,终端框(起止框),表示一个算法的起始和结束,输入、输出框
11、,表示一个算法输入和输出的信息,处理框(执行框),判断某一条件是否成立,成立时在出口处标明“是”或“Y”；不”成立时标明“否”或“N”.,判断框,赋值、计算,流程线,连接程序框,连接点,连接程序框图的两部分,设n是一个大于2的整数.,一般用i=i+1表示.,i=i+1,说明:i表示从2(n-1)的所有正整数,用以判断例1步骤2是否终止,i是一个计数变量,有了这个变量,算法才能依次执行.逐步考察从2(n-1)的所有正整数中是否有n的因数存在.,思考4：通过上述算法的两种不同表达方式的比较,你觉得用程序框图来表达算法有哪些特点?,用程序框图表示的算法更加简练,直观,流向清楚.,顺序结构,思考:5：
12、用程序框图来表示算法，有几种不同的基本逻辑结构？,条件结构,循环结构,知识探究（二）：算法的顺序结构,思考1:任何一个算法各步骤之间都有明确的顺序性，在算法的程序框图中，由若干个依次执行的步骤组成的逻辑结构，称为顺序结构，用程序框图可以表示为：,思考2:若一个三角形的三条边长分别为a，b，c，令 ，则三角形的面积.你能利用这个公式设计一个计算三角形面积的算法步骤吗？,第一步，输入三角形三条边的边长 a，b，c.,第二步，计算 .,第三步，计算 .,第四步，输出S.,思考3:上述算法的程序框图如何表示？,例1 一个笼子里装有鸡和兔共m只，且鸡和兔共n只脚，设计一个计算鸡和兔各有多少只的算法，并画
13、出程序框图表示.,算法分析：,第一步，输入m，n.,第二步，计算鸡的只数 .,第三步，计算兔的只数y=m-x.,第四步，输出x，y.,程序框图：,例2 已知下图是“求一个正奇数的平方加5的值”的程序框图，若输出的数是30，求输入的数n的值.,练习：,1.就（1）、（2）两种逻辑结构，说出各自的算法功能,（2）,答案：（1）求直角三角形斜边长；,（2）求两个数的和,2.已知梯形上底为2，下底为4，高为5，求其面积，设计出该问题的流程图,开始,输出,结束,顺序结构的程序框图的基本特征：,顺序结构知识小结,（2）各程序框从上到下用流程线依次连接.,（1）必须有两个起止框，穿插输入、输出框和处理框，没
14、有判断框.,（3）处理框按计算机执行顺序沿流程线依次排列.,条件结构,r=0?,N不是质数,n是质数,是,否,知识探究（三）：算法的条件结构,条件结构-在一个算法中,经常会遇到一些条件的判断,算法的流向根据条件是否成立有不同的流向.条件结构就是处理这种过程的结构.,课本例4:任意给定3个正实数,设计一个算法,判断分别以这3个数为三边边长的三角形是否存在.画出这个算法的程序框图.,算法分析:,第一步:输入3个正实数a,b,c;,第二步:判断a+bc,a+cb,b+ca是否同时成立,若是,则能组成三角形;若否,则组不成三角形.,程序框图:,开始,输入a,b,c,a+bc,a+cb,b+ca是否 同
15、时成立?,是,存在这样的 三角形,不存在这样的 三角形,否,结束,练习1,城区一中学生数学模块学分认定由模块成绩决定，模块成绩由模块考试成绩和平时成绩构成，各占50%，若模块成绩大于或等于60分，获得2学分，否则不能获得学分（为0分），设计一算法，通过考试成绩和平时成绩计算学分，并画出程序框图,算法步骤如下（课本例5）：,开始,输入a，b，c,X1=p+q,X2=p-q,输出x1,x2,输出“方程没 有实数根”,输出p,结束,否,是,否,是,是,练习2：设计一个求任意数的绝对值的算法,并画出程序框图.,算法分析:,第一步:输入数x; 第二步:判断x0是否成立?若是,则|x|=x;若否,则|x|
16、=-x.,程序框图:,开始,输入x,x0?,输出x,否,输出-x,结束,练习3：画程序框图,对于输入的x值,输出相应的y值.,开始,程序框图,x0?,是,y=0,否,0x1?,是,y=1,否,y=x,输出y,结束,输入x,练习4:为了加强居民的节水意识,某市制订了以下生活用水收费标准:每户每月用水未超过7m3时,每立方米收费1.0元,并加收0.2元的城市污水处理费;超过7m3的部分,每立方米收费1.5元,并加收0.4元的城市污水处理费,请你写出某户居民每月应交纳的水费y(元)与用水量x(m3)之间的函数关系,然后设计一个求该函数值的算法,并画出程序框图.,解:y与x之间的函数关系为:,(当0x
17、7时) (当x7时),解:y与x之间的函数关系为:,(当0x7时) (当x7时),算法分析:,第一步:输入每月用水量x; 第二步:判断x是否不超过7.若是,则y=1.2x;若否,则y=1.9x-4.9. 第三步:输出应交纳的水费y.,开始,输入x,0x7?,是,y=1.2x,否,y=1.9x-4.9,输出y,结束,程序框图,练习5：,1.就逻辑结构，说出其算法功能,2.此为某一函数的求值程序图，则满足该流程图的函数解析式为（ ）（不能写成分段函数）,3.求函数的值的算法流程图,开始,输入x,X2?,y=2,输出y,结束,是,答案:1.求两个数中的最大值.,答案:2. y=|x-3|+1.,作业
18、: P20页A组1;(画出程序框图),作业： 设计房租收费的算法,其要求是:住房面积80平方米以内,每平方米收费3元,住房面积超过80平方米时,超过部分,每平方米收费5元.输入住房面积数,输出应付的房租.,作业： 设计房租收费的算法,其要求是:住房面积80平方米以内,每平方米收费3元,住房面积超过80平方米时,超过部分,每平方米收费5元.输入住房面积数,输出应付的房租.,算法分析：,第一步：输入住房面积S,第二步：根据面积选择计费方式：如果S小于或等于80，则租金为M=s3，否则为M=240+(S-80)5,第三步：输出房租M的值。,课本50页1（1）课堂讲评,开始,程序框图,x0?,是,y=
19、0,否,0x1?,是,y=1,否,y=x,输出y,结束,输入x,上交作业: 课本P50页A组1（2）, (画出程序框图),P:50页A组T1(2),开始,程序框图,x0?,是,y=(x+2)2,否,x=0?,是,y=4,否,输出y,结束,输入x,y=(x-2)2,循环结构,i=i+1,in-1,或r=0?,否,是,求n除以i的余数r,循环结构-在一些算法中,也经常会出现从某处开始,按照一定条件,反复执行某一步骤的情况,这就是循环结构.,知识探究（四）：算法的循环结构,引例：设计一算法，求和:1+2+3+100,第一步：确定首数a，尾数b，项数n；,第二步：利用公式“总和=(首数+尾数）项数/2
20、”求和；,第三步：输出求和结果。,算法1：,课本例6:设计一个计算1+2+3+100的值的算法,并画出程序框图.,算法分析:,第1步:0+1=1; 第2步:1+2=3; 第3步:3+3=6; 第4步:6+4=10 第100步:4950+100=5050.,第(i-1)步的结果+i=第i步的结果,各步骤有共同的结构:,为了方便有效地表示上述过程,我们引进一个变量S来表示每一步的计算结果,从而把第i步表示为 S=S+i,S=0 S=S + 1 S=S + 2 S=S + 3 S=S + 100,求和:1+2+3+100,S=S+ i,怎么用程序框图表示呢？,思考1：i有什么作用?S呢？,S=0 S
21、=S + 1 S=S + 2 S=S + 3 S=S + 100,累加变量S来表示每一步的计算结果,从而把第i步表示为 S=S+i,S的初始值为0,i依次取1,2,100,由于i同时记录了循环的次数,所以i称为计数变量.,解决方法就是加上一个判断，判断是否已经加到了100，如果加到了则退出，否则继续加。,试分析两种流程的异同点,直到型结构,当型结构,i=100?,i100?,请填上判断的条件。,程序框图:,开始,i=1,S=0,S=S+i,i=i+1,i100?,是,输出S,结束,否,直到型循环结构,开始,i=1,S=0,i100?,是,S=S+i,i=i+1,否,输出S,结束,当型循环结构,
22、思考2：若将“i=1”改成“i=0”，则程序框图怎么改？,直到型循环结构,当型循环结构,思考:3:将步骤A和步骤B交换位置，结果会怎样？能达到预期结果吗？为什么？要达到预期结果，还需要做怎样的修改？,答：达不到预期结果；当i = 100时，没有退出循环，i的值为101加入到S中；修改的方法是将判断条件改为i100,Until（直到型）循环,说明（1）循环结构分为两种-当型和直到型.,当型循环在每次执行循环体前对循环条件进行判断,当条件满足时执行循环体,不满足则停止;(当条件满足时反复执行循环体),直到型循环在执行了一次循环体之后,对控制循环条件进行判断,当条件不满足时执行循环体,满足则停止.(
23、反复执行循环体,直到条件满足),（2）注意:循环结构不能是永无终止的“死循环”,一定要在某个条件下终止循环,这就需要条件结构来作出判断,因此,循环结构中一定包含条件结构.,说明:一般地,循环结构中都有一个计数变量和累加变量.计数变量用于记录循环次数,同时它的取值还用于判断循环是否终止,这个变量的取值一般都含在执行或终止循环体的条件中。 累加变量用于输出结果.累加变量和计数变量一般是同步执行的,累加一次,记数一次.,结束,输出S,i=0，S=0,开始,i = i + 1,S=S + i,i=n?,否,是,输入n,改进上面的算法，表示输出1,1+2,1+2+3, , 1+2+3+(n-1)+n(
24、) 的过程。,练习巩固,1、设计一算法，求积:123100，画出流程图,思考：该流程图与前面的课本例6中求和的流程图有何不同？,课本例7： 某工厂2005年的年生产总值为200万，技术革新以后每年的年生产总值比上一年增长5。设计一个程序框图，输出预计年生产总值超过300万元的最早年份。,算法分析：,第一步，输入2005年的年生产总值。,第二步，计算下一年的年生产总值。,第三步，判断所得的结果是否大于300.若是，则输出该年的年份；否则，返回第二步,由于“第二步”是重复操作的步骤，所以可以用循环结构来实现。我们按照“确定循环体” “初始化变量” “设定循环控制条件”的顺序来构造循环结构。,（2）
25、初始化变量：若将2005年的年生产总值堪称计算的起始点，则n的初始值为2005，a的初始值为200.,（3）设定循环控制条件：当“年生产总值超过300万元”时终止循环，所以可通过判断“a300”是否成立来控制循环。,（1）确定循环体：设a为某年的年生产总值，t为年生产总值的年增长量，n为年份，则循环体为,程序框图:,开始,n=2005,a=200,t=0.05a,n=n+1,a300?,是,输出n,结束,否,a=a+t,小结,1、循环结构的特点,2、循环结构的框图表示,3、循环结构有注意的问题,避免死循环的出现，设置好进入（结束）循环体的条件。,当型和直到型,重复同一个处理过程,【答案】D,【答案】C,【答案】B.,【答案】B,作业: 课本P20页A组2;,
