1、第2课时利用导数研究函数的最值,第一章1.3.2利用导数研究函数的极值,学习目标1.理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系.2.会求某闭区间上函数的最值.,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,问题导学,思考1,知识点函数的最大(小)值与导数,观察a，b上函数yf(x)的图象，试找出它的极大值、极小值.,答案,答案极大值为f(x1)，f(x3)，极小值为f(x2)，f(x4).,如图为yf(x)，xa，b的图象.,思考2,结合图象判断，函数yf(x)在区间a，b上是否存在最大值，最小值？若存在，分别为多少？,答案,答案存在，f(x)minf(a)，f(x)maxf(x3).,思考3
2、,函数yf(x)在a，b上的最大(小)值一定是某极值吗？,答案,答案不一定，也可能是区间端点的函数值.,思考4,怎样确定函数f(x)在a，b上的最小值和最大值？,答案比较极值与区间端点的函数值，最大的是最大值，最小的是最小值.,(1)函数的最值假设函数yf(x)在闭区间a，b上的图象是一条连续不间断的曲线，则该函数在a，b内一定能够取得最大值与最小值，函数的最值必在 或 取得，由于可导函数在区间(a，b)内的极值只可能在使_的点取得，因此把函数在 的值与区间内使 的点的值作比较，最大者必为函数在a，b上的最大值，最小者必为最小值.,梳理,f(x)0,极值点,区间端点,区间端点,f(x)0,(2
3、)求函数yf(x)在a，b上的最大(小)值的步骤求f(x)在开区间(a，b)内所有使 的点；计算函数f(x)在区间内使 的所有点和 的函数值，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.,f(x)0,f(x)0,端点,题型探究,例1已知函数f(x)x33x，xR.(1)求f(x)的单调区间；,解答,类型一求函数的最值,命题角度1不含参数的函数求最值,解f(x)3x233(x1)(x1)，当x1时，f(x)0；当1x1时，f(x)0，b2，当x1,1时，求f(x)的最小值.,解答,解f(x)3ax23x3x(ax1).,若 1，即0a0)上的最大值和最小值.,解答,解f(x)x24.令f(x)0
4、，得x2或x2(舍去).因为0xa，所以当02时，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：,综上可得：,类型二由函数的最值求参数,解答,例3(1)已知函数f(x)ax36ax2b，x1,2的最大值为3，最小值为29，求a，b的值.,解由题设知a0，否则f(x)b为常函数，与题设矛盾.求导得f(x)3ax212ax3ax(x4)，令f(x)0，得x10，x24(舍去).当a0，且当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：,由表可知，当x0时，f(x)取得极大值b，也就是函数在1,2上的最大值，f(0)b3.,又f(1)7a3，f(2)16a3f(1)，f(2)16a293，解得a2
5、.综上可得a2，b3或a2，b29.,解答,(2)已知h(x)x33x29x1在区间k,2上的最大值是28，求k的取值范围.,解h(x)x33x29x1，h(x)3x26x9.令h(x)0，解得x13，x21，当x变化时，h(x)及h(x)的变化情况如下表：,当x3时，f(x)取极大值28；当x1时，f(x)取极小值4.而h(2)30，求f(x)的最小值为2时的m的值.,解答,所以当x(0，m)时，f(x)0，f(x)在(m，)上是增函数，所以当xm时，f(x)取得极小值，也是最小值，即极小值为2，即f(m)ln m 2，所以me.,类型三与最值有关的恒成立问题,例4(1)已知2xln xx2
6、ax3对一切x(0，)恒成立，则a的取值范围为_.,答案,解析,(，4,解析由2xln xx2ax3，,当x(0,1)时，h(x)0，h(x)为单调增函数.h(x)minh(1)4.ah(x)min4.,(2)设函数f(x)tx22t2xt1(xR，t0).求f(x)的最小值h(t)；,解答,解f(x)t(xt)2t3t1(xR，t0)，当xt时，f(x)取最小值f(t)t3t1，即h(t)t3t1.,若h(t)2tm对t(0,2)恒成立，求实数m的取值范围.,解答,解令g(t)h(t)(2tm)t33t1m，由g(t)3t230，得t1，t1(不合题意，舍去).当t变化时，g(t)，g(t)
7、的变化情况如下表：,g(t)在(0,2)内有最大值g(1)1m.h(t)2tm在(0,2)内恒成立等价于g(t)0在(0,2)内恒成立，即等价于1m0，m的取值范围为(1，).,分离参数求解不等式恒成立问题的步骤,反思与感悟,跟踪训练4设f(x)ln x，g(x)f(x)f(x).(1)求g(x)的单调区间和最小值；,解答,解由题设知f(x)的定义域为(0，)，,令g(x)0，得x1.当x(0,1)时，g(x)0，故(1，)是g(x)的单调增区间.因此，x1是g(x)在(0，)上的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以最小值为g(1)1.,解答,即ln a0成立.由(1)知，g(x)的
8、最小值为1，所以ln a1，解得0ae.故a的取值范围为(0，e).,当堂训练,1.函数f(x)x33x(x0，f(x)为单调增函数；当x(1,1)时，f(x)0时，x0；当f(x)0时，2x0.,当x0时，f(0)0；当x1时，f(1)e2，所以函数的最大值为e2.故选C.,2,3,4,5,1,答案,解析,2,3,4,5,1,4.已知函数f(x) x42x33m，xR，若f(x)90恒成立，则实数m的取值范围是_.,解析,答案,所以f(x)2x36x2，令f(x)0，得x0或x3，经检验知x3是函数的最小值点，所以函数的最小值为f(3)3m .不等式f(x)90恒成立，即f(x)9恒成立，,2,3,4,5,1,2,3,4,5,1,解析,答案,2,3,4,5,1,规律与方法,1.求函数在闭区间上的最值，只需比较极值和端点处的函数值即可；若函数在一个开区间内只有一个极值，这个极值就是最值.2.已知最值求参数时，可先确定参数的值，用参数表示最值时，应分类讨论.3.“恒成立”问题可转化为函数最值问题.,本课结束,
