1、 2012 年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（文史类）一、选择题：本大题共 9 小题，每小题 5 分，共 45 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合 M=-1,0,1，N=x|x 2=x，则 MN=A.-1，0，1 B.0,1 C.1 D.0【答案】 B【解析】 M=-1,0,1 MN=0,1,1N【点评】本题考查了集合的基本运算，较简单，易得分.先求出 ，再利用交集定0,1N义得出 MN.2.复数 z=i（i+1）（i 为虚数单位）的共轭复数是A.-1-i B.-1+i C.1-i D.1+i【答案】 A【解析】由 z=i（i+1）= ，及共轭复数定
2、义得 .1i1zi【点评】本题考查复数代数形式的四则运算及复数的基本概念，考查基本运算能力.先把 Z化成标准的 形式，然后由共轭复数定义得出 .(,)abiRi3.命题“若 = ，则 tan=1”的逆否命题是 中%国教由指数函数的图b0ccab像与性质知正确；由 ab1， 知 ，由对数函数的图像与性1a质知正确.【点评】本题考查函数概念与基本初等函数中的指数函数的图像与性质、对数函数的图像与性质，不等关系，考查了数形结合的思想.函数概念与基本初等函数是常考知识点.8 . 在ABC 中，AC= ， BC=2，B =60，则 BC 边上的高等于7A B. C. D.32362394【答案】B【解析
3、】设 ，在ABC 中，由余弦定理知 ，c22cosACBABC即 ， 又274os60230,(-)1cc即 =.0,3.设 BC 边上的高等于 ，由三角形面积公式 ，知hsin22ABCShAA，解得 .1132sin602h【点评】本题考查余弦定理、三角形面积公式，考查方程思想、运算能力，是历年常考内容.9. 设定义在 R 上的函数 f(x)是最小正周期为 2 的偶函数， 是 f(x)的导函数，当()fx时，0f(x)1；当 x（0，） 且 x 时 ， ，则函数,x()02fy=f(x)-sinx 在-2，2 上的零点个数为A .2 B .4 C.5 D. 8 【答案】【解析】由当 x（0
4、，） 且 x 时 ， ，知2()(0xf,(),()2xff时 为 减 函 数 ； ),()fxf， 时 ,为 增 函 数又 时，0f(x )1，在 R 上的函数 f(x)是最小正周期为 2 的偶函数，在同一坐,标系中作出 和 草图像如下，由图知 y=f(x)-sinx 在-2 ，2 上的零点siny(fx个数为 4 个. xyo2211siny()yf【点评】本题考查函数的周期性、奇偶性、图像及两个图像的交点问题.二、填空题，本大题共 7 小题，考生作答 6 小题.每小题 5 分共 30 分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.（一）选做题，（请考生在第 10，,1 两题中任选一题作答，如
5、果全做 ，则按前一题记分）10.在极坐标系中，曲线 ： 与曲线 ： 的一个交1C(2cosin)12Ca(0)点在极轴上，则 a=_.【答案】 2【解析】曲线 的直角坐标方程是 ，曲线 的普通方程是直角坐标方程1C21xy2C，因为曲线 C1： 与曲线 C2： 的一个交22xya(cosin)a(0)点在极轴上，所以 与 轴交点横坐标与 值相等，由 ，知 .1xa0,yx2【点评】本题考查直线的极坐标方程、圆的极坐标方程，直线与圆的位置关系，考查转化的思想、方程的思想，考查运算能力；题型年年有，难度适中.把曲线 与曲线 的极坐1C2标方程都转化为直角坐标方程，求出与 轴交点，即得.x11.某制
6、药企业为了对某种药用液体进行生物测定，需要优选培养温度，实验范围定为 2963.精确度要求1.用分数法进行优选时，能保证找到最佳培养温度需要最少实验次数为_.【答案】【解析】用分数法计算知要最少实验次数为 7.【点评】本题考查优选法中的分数法，考查基本运算能力.(二)必做题（1216 题）中#国教育*出%版网12.不等式 x2-5x+60 的解集为_.【答案】 3【解析】由 x2-5x+60，得 ，从而的不等式 x2-5x+60 的解集为()20x.【点评】本题考查一元二次不等式的解法，考查简单的运算能力.13.图 2 是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则该运动员在这五场比赛
7、中得分的方差为_.0891352图(注：方差 ，其中 为 x1，x 2，x n 的平2 21()()()nsxxxn 均数)来【答案】6.8【解析】 ，(89035)15x.2222221)1)(3)(15)s 68【点评】本题考查统计中的茎叶图方差等基础知识，考查分析问题、解决问题的能力.14.如果执行如图 3 所示的程序框图，输入 ,则输出的数 = .4.xi中国% 教05x057,y，或 ，或 ，或 .(2,3)(,)18(,)18(,)【点评】本题考查曲线与方程、直线与曲线的位置关系，考查运算能力，考查数形结合思想、函数与方程思想等数学思想方法.第一问根据条件设出椭圆方程，求出 即得椭
8、圆,cabE 的方程，第二问设出点 P 坐标，利用过 P 点的两条直线斜率之积为 ，得出关于点 P 坐12标的一个方程，利用点 P 在椭圆上得出另一方程，联立两个方程得点 P 坐标.22.（本小题满分 13 分）已知函数 f(x)=ex-ax，其中 a0.#中国教育出版&网（1）若对一切 xR，f(x) 1 恒成立，求 a 的取值集合；z（2)在函数 f(x)的图像上去定点 A（x 1, f(x1)）,B(x 2, f(x2)(x1x2)，记直线 AB 的斜率为 k，证明：存在 x0（x 1,x2）,使 恒成立.0(fk【解析】解： 令 .(),xfea)lna得当 时 单调递减；当 时 单调
9、递增，故当lnxafx()0,()fxf时， 取最小值lnxa()fx(ln)l.fa于是对一切 恒成立，当且仅当,1R. l令 则()n,gtt()ln.gtt当 时， 单调递增；当 时， 单调递减.010,1t()0,gtt故当 时， 取最大值 .因此，当且仅当 时，式成立.t()t(1)a综上所述， 的取值集合为 .a（）由题意知，2121().xfxfeka令 则21() ,xexf1211 12()(),xxe122 2()().xx令 ，则 .tFe1tFe当 时， 单调递减；当 时， 单调递增.0t()0,()tt 0t()0,()Ftt故当 ， 即,.te从而 ， 又211()0xe122()10,x 120,xe21,x所以 1),2.因为函数 在区间 上的图像是连续不断的一条曲线，所以存在(yx12,x使 即 成立.012(,)x00()fk【点评】本题考查利用导函数研究函数单调性、最值、不等式恒成立问题等，考查运算能力，考查分类讨论思想、函数与方程思想等数学方法.第一问利用导函数法求出 取最()fx小值 对一切 xR，f(x) 1 恒成立转化为 从而得出求 a 的(ln)l.famin()1fx取值集合；第二问在假设存在的情况下进行推理，然后把问题归结为一个方程是否存在解的问题，通过构造函数，研究这个函数的性质进行分析判断.
