1、第 1 讲 空间几何体的结构、三视图和直观图【2013 年高考会这样考】1几何体的展开图、几何体的三视图仍是高考的热点2三视图和其他的知识点结合在一起命题是新教材中考查学生三视图及几何量计算的趋势【复习指导】1备考中，要重点掌握以三视图为命题背景，研究空间几何体的结构特征的题型2要熟悉一些典型的几何体模型，如三棱柱、长(正)方体、三棱锥等几何体的三视图基础梳理1多面体的结构特征(1)棱柱的侧棱都互相平行，上下底面是全等的多边形(2)棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形(3)棱台可由平行于底面 的平面截棱锥得到，其上下底面是相似多边形2旋转体的结构特征(1)圆柱可以由矩形绕一边所
2、在直线旋转一周得到(2)圆锥可以由直角三角形绕一条直角边所在直线旋转一周得到(3)圆台可以由直角梯形绕直角腰所在直线旋转一周或等腰梯形绕上下底面中心所在直线旋转半周得到，也可由平行于底面的平面截圆锥得到(4)球可以由半圆面绕直径旋转一周或圆面绕直径旋转半周得到3空间几何体的三视图空间几何体的三视图是用平行投影得到，这种投影下，与投影面平行的平面图形留下的影子，与平面图形的形状和大小是全等和相等的，三视图包括正视图、侧视图、俯视图4空间几何体的直观图空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，基本步骤是：(1)画几何体的底面在已知图形中取互相垂直的 x 轴、y 轴，两轴相交于点 O，画直观图时，把它们
3、画成对应的x轴、y轴，两轴相交于点 O，且使xOy45或 135，已知图形中平行于 x 轴、y 轴的线段，在直观图中平行于 x轴、y轴已知图形中平行于 x 轴的线段，在直观图中长度不变，平行于 y 轴的线段，长度变为 原来的一半(2)画几何体的高在已知图形中过 O 点作 z 轴垂直于 xOy 平面，在直观图中对应的 z轴，也垂直于xOy平面，已知图形中平行于 z 轴的线段，在直观图中仍平行于 z轴且长度不变一个规律三视图的长度特征：“长对正，宽相等，高平 齐” ，即正视图和侧视图一样高，正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽若相 邻两物体的表面相交，表面的交 线是它们的分界线，在三视图中，
4、要注意实、虚线的画法两个概念(1)正棱柱：侧 棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱反之，正棱柱的底面是正多边形，侧棱垂直于底面， 侧面是矩形(2)正棱锥：底面是正多 边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫做正棱锥特别地，各棱均相等的正三棱锥叫正四面体反 过来，正棱锥的底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面正多边形的中心双基自测1(人教 A 版教材习题改编)下列说法正确的是( )A有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱C有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥D棱台各侧棱的延长线交于一点
5、答案 D2(2012杭州模拟 )用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是( )A圆柱 B圆锥C球体 D圆柱、圆锥、球体的组合体解析 当用过高线的平面截圆柱和圆锥时，截面分别为矩形和三角形，只有球满足任意截面都是圆面答案 C3(2011陕西 )某几何体的三视图如图所示，则它的体积是( )A8 B823 3C8 2 D.23解析 圆锥的底面半径为 1，高为 2，该几何体体积为正方体体积减去圆锥体积，即V2 22 1228 ，正确 选项为 A.13 23答案 A4(2011浙江 )若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是( )解析 所给选项中，A、 C 选项的正
6、视图、俯视图不符合，D 选项的侧视图不符合，只有选项 B符合答案 B5(2011天津 )一个几何体的三视图如图所示( 单位：m)则该几何体的体积为_m 3.解析 由三视图可知该几何体是组合体，下面是长方体，长、 宽、高分别为 3、2、1，上面是一个圆锥，底面圆半径为 1，高为 3，所以该几何体的体 积为 321 36(m 3)13答案 6考向一 空间几何体的结构特征【例 1】(2012 天津质检)如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱锥” ，四条侧棱称为它的腰，以下 4 个命题中，假命题是( )A等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等B等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补C等腰四
7、棱锥的底面四边形必存在外接圆D等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上审题视点 可借助几何 图形进行判断解析 如图，等腰四棱锥的侧棱均相等，其侧棱在底面的射影也相等，则其腰与底面所成角相等，即 A 正确；底面四边形必有一个外接圆，即 C 正确；在高线 上可以找到一个点 O，使得该点到四棱锥各个顶点的距离相等，这个点即为外接球的球心，即 D 正确；但四棱锥的侧面与底面所成角不一定相等或互补(若为正四棱锥则成立)故仅命题 B 为假命题选 B.答案 B三棱柱、四棱柱、正方体、长方体、三棱锥、四棱锥是常见的空间几何体，也是重要的几何模型，有些问题可用上述几何体举特例解决【训练 1】 以下命题：以直角三角形的一
8、边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台其中正确命题的个数为( )A0 B1 C2 D3解析 命题错，因为这条边若是直角三角形的斜边，则得不到圆锥命题错，因这条腰必须是垂直于两底的腰命题对命题错，必 须 用平行于圆锥底面的平面截圆锥才行答案 B考向二 空间几何体的三视图【例 2】(2011 全国新课标)在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为( ) 审题视点 由正 视图和俯视图想到三棱锥和圆锥解析 由几何体的正视图和俯视图可知，该几何体应为一个半圆锥和一个有
9、一侧面(与半圆锥的轴截面为同一三角形)垂直于底面的三棱锥的组合体，故其侧视图应为 D.答案 D(1)空间几何体的三视图是该几何体在三个两两垂直的平面上的正投影，并不是从三个方向看到的该几何体的侧面表示的图形(2)在画三视图时 ，重叠的线只画一条，能看见的轮廓线和棱用实线表示，挡住的线要画成虚线【训练 2】 (2011浙江 )若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是 ( )解析 A 中正视图，俯视图 不对，故 A 错B 中正视图 ，侧视图不对，故 B 错C 中侧视图，俯视图不对，故 C 错，故选 D.答案 D考向三 空间几何体的直观图【例 3】已知正三角形 ABC 的边长为 a，那
10、么ABC 的平面直观图AB C的面积为( )A. a2 B. a2 C. a2 D. a234 38 68 616审题视点 画出正三角形 ABC 的平面直观图ABC，求 AB C的高即可解析 如图所示的实际图 形和直观图由斜二测画法可知，ABABa，OC OC a，12 34在图中作 CDA B于 D，则 C D OC a.22 68SABC AB CD a a a2.12 12 68 616答案 D直接根据水平放置的平面图形的直观图的斜二测画法规则即可得到平面图形的面积是其直观图面积的 2 倍，这是一个较常用的重要结论2【训练 3】 如图，矩形 OA B C 是水平放置的一个平面图形的直观图
11、，其中 OA6 cm，OC2 cm ，则原图形是 ( )A正方形 B矩形C菱形 D一般的平行四边形解析 将直观图还原得OABC，则OD OC 2 (cm)，2 2OD2OD4 (cm)，2CDOC2 (cm)，CD2 (cm) ，OC 6 (cm)，CD2 OD2 22 422OAO A 6 (cm)OC，故原图形为菱形答案 C阅卷报告 9忽视几何体的放置对三视图的影响致错【问题诊断】 空间几何体的三视图是该几何体在两两垂直的三个平面上的正投影.同一几何体摆放的角度不同，其三视图可能不同，有的考生往往忽视这一点.【防范措施】 应从多角度细心观察.【示例】一个几何体的正视图为一个三角形，则这个几
12、何体可能是下列几何体中的_(填入所有可能的几何体前的编号)三棱锥；四棱锥；三棱柱；四棱柱；圆锥；圆柱错因 忽视几何体的不同放置对三视图的影响，漏选.实录 正解 三棱锥的正视图是三角形；当四棱锥的底面是四边形放置时，其正视图是三角形；把三棱柱某一侧面当作底面放置，其底面正对着我们的视线时，它的正视图是三角形；对于四棱柱，不论怎样放置，其正视图都不可能是三角形；当圆锥的底面水平放置时，其正视图是三角形；圆柱不论怎样放置，其正视图也不可能是三角形答案 【试一试】 (2011 山东)右图是长和宽分别相等的两个矩形给定下列三个命题：存在三棱柱，其正(主)视图、俯视图如右图；存在四棱柱，其正(主)视图、俯
13、视图如右图；存在圆柱，其正(主)视图，俯视图如右图其中真命题的个数是( )A 3 B2C1 D0尝试解答 如图的正(主) 视图和俯视图都与原题相同，故选 A.答案 A经典作业一、选择题1一个与球心距离为 1 的平面截球所得的圆面面积为 ，则球的表面积为( )A8 B8 C4 D42 2答案 B解析 球的半径 R ，12 12 2S 4R28 故选 B.2已知一个空间几何体的三视图及其尺寸如图所示，则该空间几何体的体积是( )A. B. C 14 D7143 73分析 根据三视图还原出空间几何体，按照体积计算公式进行计算答案 A解析 这个空间几何体是一个一条侧棱垂直于底面的四棱台，这个四棱台的高
14、是 2，上底面是边长为 1 的正方形、下底面是边长为 2 的正方形，故其体 积 V (12 2 2)2 .13 1222 1433设矩形的边长分别为 a，b(ab) ，将其按两种方式卷成高为 a 和 b 的圆柱筒，以其为侧面的圆柱的体积分别为 Va和 Vb，则( )AV aV b BV aV bCV aV b DV a和 Vb的大小不确定答案 B解析 由题意， Vb( )2b a2b，Va( )2a b2a，因为 ab，所以 VaV b.a2 14 b2 144(2010新课标文)设长方体的长、宽、高分别为 2a，a，a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )A3 a2 B6a 2C12
15、a 2 D24 a2答案 B解析 本题考查了长方体的外接球的表面积的算法，此 题 是简单题，在解决问题时首先考虑借助长方体和球的关系求得球的半径由题可知，长方体的长、宽、高分别为 2a，a，a，其 顶点在同一个球面上，所以球的直径等于长方体的体对角线的长度，故 2R ，解得 R a，所以球的表面积 S4R 26 a2，故选 B.4a2 a2 a2625已知三棱锥 OABC 中，OA、OB 、OC 两两垂直，OC 1，OAx，OBy，若 xy4，则三棱锥体积的最大值是( )A. B. 13 23C1 D.43答案 B解析 由条件可知 V 三棱锥 OABC OAOBOC xy ( )2 ，当 xy
16、2 时，取得最大值 .16 16 16x y2 23 236某几何体的三视图如图所示(单位：cm )，则该几何体的体积为( )A(16)cm 3 B(163)cm 3C(204)cm 3 D(18 )cm 3分析 本题考查三视图、长方体和圆柱体的体积计算，解题的关键是根据三视图想象出几何体的直观图，再利用体积公式进行求解答案 B解析 由三视图知，该几何体的上部分是正四棱柱，下部分是圆柱正四棱柱的底面边长为 4cm，高为 1cm，其体积为 16cm3；圆柱的底面半径为 1cm，高为 3cm，其体积为 3cm3.所以该几何体的体积为(163)cm 3.7若圆锥轴截面的顶角 满足 ，则其侧面展开图中
17、心角 满足( )3 2A. B. 4 3 3 2C. D 2 2答案 D解析 ，(3，2) 2 (6，4)sin .(12，22)又 sin ，rl (12，22)其 侧面展开 图中心角 2(， )rl 28(2010全国卷理)已知在半径为 2 的球面上有 A、B 、C 、D 四点，若 ABCD2.则四面体ABCD 的体积的最大值为( )A. B. C2 D.233 433 3 833答案 B解析 过 CD 作平面 PCD，使 AB平面 PCD，交 AB 于 P，设点 P 到 CD 的距离为 h，则有 V 四面体ABCD 2 2h h，当直径通过 AB 与 CD 的中点时， hmax2 2 ，
18、故 Vmax .13 12 23 22 12 3 433二、填空题9(2010天津理)一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为_答案 103解析 由三视图知，该几何体由一个高 为 1，底面边长为 2 的正四棱锥和一个高为 2，底面边长为 1的正四棱柱组成，则体积为 221 112 .13 10310(2011广东广州)将圆心角为 ，面积为 3 的扇形，作为圆锥的侧面，则圆锥的表面积等于23_答案 4解析 设扇形的半径为 r，弧 长为 l，则有 rl r23，所以 r3，l2，于是 圆锥的母线长为12 12233，底面半径为 1，故表面积 S131 24.11(2010湖北理)圆柱形容器
19、内部盛有高度为 8cm 的水，若放入三 个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同) 后，水恰好淹没最上面的球 (如右图所示)， 则球的半径是_cm.答案 4解析 设球的半径为 r，根据 题意可得 8r23 r36r 3，解得43 r4.三、解答题12已知球的半径为 R，在球内作一个内接圆柱，这个圆柱底面半径与高为何值时，它的侧面积最大？侧面积的最大值是多少？解析 作轴截面如图，令圆 柱的高为 h，底面半径为 r，侧面积为 S，则 2r 2R 2，即 h2 ，(h2) R2 r2S 2rh4 r R2 r24 r2R2 r24 2 R2，(r2 R2 r22 )2当且仅当 r2R 2r 2时取等
20、号，此 时内接圆柱底面半径为 R，高为 R，最大侧面积等于 2R2.22 213(2010新课标卷)如图，已知四棱锥 PABCD 的底面为等腰梯形，AB CD，ACBD，垂足为 H，PH 为四棱锥的高(1)证明：平面 PAC平面 PBD；(2)若 AB ，APB ADB60 ，求四棱锥 PABCD 的体积6解析 本题综合考查立体几何的知识，其中主要考 查面面垂直的判定定理和棱 锥的体积公式，在解决时要仔细审核题意，找准入手点 进行解决， 题目定位于中低档 题，考查处理立体几何的常规方法解：(1)因为 PH 是四棱锥 P ABCD 的高，所以 ACPH.又 ACBD，PH，BD 都在平面 PBD
21、 内，且 PHBDH ，所以 AC平面 PBD，故平面 PAC平面 PBD.(2)因为 ABCD 为等腰梯形，ABCD，ACBD ，AB ，6所以 HAHB .3因为APBADB 60，所以 PAPB ，HDHC1，6可得 PH ，3等腰梯形 ABCD 的面积为 S ACBD2 .12 3所以四棱锥的体积为 V (2 ) .13 3 3 3 23314已知四棱柱 ABCDA1B1C1D1 的侧棱 AA1 垂直于底面，底面 ABCD 为直角梯形，ADBC ，AB BC，ADAA 12，ABBC1，E，F 分别为 A1D，CD 中点(1)求证：EF平面 A1ACC1；(2)求证：CD 平面 A1A
22、CC1，并求四棱锥 DA1ACC1 的体积证明 (1)连 A1C，E、F 分别为 A1D，CD 中点，EFA1C，又 A1C 平面 A1ACC1，EF平面 A1ACC1EF平面 A1ACC1(2)四边形 ABCD 为直角梯形且 ADBC，ABBC，AD2，AB BC1 ，ACCD ，2AD2AC 2CD 2，CDAC，又 AA1平面 ABCD，CD 平面 ABCD，CDAA1，AA1 平面 A1ACC1.AC 平面 A1ACC1，CD平面 A1ACC1CD 为四棱锥 DA1ACC1 的高，V SA1ACC1CD 2 .13 13 2 2 4315如图，侧棱垂直于底面的三棱柱 ABCA1B1C1
23、 的底面 ABC 位于平行四边形 ACDE 中，AE 2，ACAA 14，E60 ，点 B 在线段 DE 上(1)当点 B 在何处时，平面 A1BC平面 A1ABB1；(2)点 B 在线段 DE 上运动的过程中，求三棱柱 ABCA1B1C1 全面积最小值分析 本题属于立体几何探究问题，第(1)问解题思路是逆向的推理问题，从结论下手，寻求解题突破口；第(2)问解决的关键是将动点转化为代数表达式，从而将问题解决解析 (1)由于三棱柱 ABCA1B1C1为直三棱锥， 则AA1平面 ABC，BC 平面 ABC，AA1BC.而 AA1ABA，只需 BC平面 A1ABB1，即 ABBC，就有“平面 A1B
24、C平面 A1ABB1”在平行四边形 ACDE 中，AE2，AC4，E60.过点 B 作 BH 垂直 AC 于 H，则 BH .3若 ABBC，有 BH2AHCH ，AC4， AH1 或 3.两种情况下，B 为 ED 的中点或与点 D 重合(2)三棱柱 ABCA1B1C1 全面积等于侧面积与两个底面积之和显然其底面积和平面 ACC1A1 的面积为定值，只需保 证侧面 ABB1A1 和侧面 B1C1CB 面积之和最小即可过点 B 作 BF 垂直 AC 于 F，则 BF .3令 AFx，则侧面 ABB1A1 和侧面 B1C1CB 面积之和等于 4(ABBC)4 3 x2 3 4 x2其中 表示动点(x,0) 到定点(0， )和(4， )的距离之和，当且仅当 x2 时取得最3 x2 3 4 x2 3 3小值所以三棱柱的全面积的最小值为2 4 242432 74 8 16.3 7点评 立体几何题中求值问题多数情况下是求体积和面 积问题，解 题时重点关注题目中的位置关系，垂直是求值的根源本题中的动 点问题， 还有存在性问题都是当前高考命 题的热点，同学们需认真把握
