1、第八章 立体几何1立体几何初步(1)空间几何体认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合) 的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二侧法画出它们的直观图会用平行投影方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式(2)点、直线、平面之间的位置关系理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理：公理 1：如果一条直线上的两点在同一个平面内，那么这条直线在此平面内公理 2：过不在一条直线上的三点
2、，有且只有一个平面公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线公理 4：平行于同一条直线的两条直线平行定理：空间中如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定定理理解以下判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与此平面垂直一个平面过另一个平面的垂线，则两个平面垂直理解以下性质定理，并能够证明：如果一条直线与一个平面平行，那么过该
3、直线的任一个平面与此平面的交线和该直线平行两个平面平行，则任意一个平面与这两个平面相交所得的交线相互平行垂直于同一个平面的两条直线平行两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题2空间直角坐标系(1)了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置(2)会简单应用空间两点间的距离公式3空间向量与立体几何(1)了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示(2)掌握空间向量的线性运算及其坐标表示(3)掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直(4)理解直线
4、的方向向量及平面的法向量(5)能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系(6)能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理( 包括三垂线定理)(7)能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的应用81 空间几何体的结构、三视图和直观图1棱柱、棱锥、棱台的概念(1)棱柱：有两个面互相_，其余各面都是_，并且每相邻两个四边形的公共边都互相 _，由这些面所围成的多面体叫做棱柱注：棱柱又分为斜棱柱和直棱柱侧棱与底面不垂直的棱柱叫做斜棱柱；侧棱与底面垂直的棱柱叫做直棱柱；底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱(2)棱锥：有一个面是_，
5、其余各面都是有一个公共顶点的 _，由这些面所围成的多面体叫做棱锥注：如果棱锥的底面是正多边形，且它的顶点在过底面中心且与底面垂直的直线上，则这个棱锥叫做正棱锥(3)棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，叫做棱台注：由正棱锥截得的棱台叫做正棱台2.棱柱、棱锥、棱台的性质(1)棱柱的性质侧棱都相等，侧面是_；两个底面与平行于底面的截面是_的多边形；过不相邻的两条侧棱的截面是_；直棱柱的侧棱长与高相等且侧面、对角面都是_(2)正棱锥的性质侧棱相等，侧面是全等的_；棱锥的高、斜高和斜高在底面上的射影构成一个_；棱锥的高、侧棱和侧棱在底面上的射影也构成一个_；斜高、侧棱及底面边
6、长的一半也构成一个_；侧棱在底面上的射影、斜高在底面上的射影及底面边长的一半也构成一个_(3)正棱台的性质侧面是全等的_；斜高相等；棱台的高、斜高和两底面的边心距组成一个_；棱台的高、侧棱和两底面外接圆的半径组成一个_；棱台的斜高、侧棱和两底面边长的一半也组成一个_3圆柱、圆锥、圆台(1)圆柱、圆锥、圆台的概念分别以_的一边、_的一直角边、_中垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周而形成的曲面所围成的几何体分别叫做圆柱、圆锥、圆台(2)圆柱、圆锥、圆台的性质圆柱、圆锥、圆台的轴截面分别是_、_、_；平行于底面的截面都是_4球(1)球面与球的概念以半圆的_所在直线为旋转轴，半圆面旋转
7、一周形成的旋转体叫做球体，简称球半圆的圆心叫做球的_(2)球的截面性质球心和截面圆心的连线_截面；球心到截面的距离 d 与球的半径 R 及截面圆的半径 r 的关系为_5平行投影在一束平行光线照射下形成的投影，叫做_平行投影的投影线互相_6空间几何体的三视图、直观图(1)三视图空间几何体的三视图是用正投影得到的，在这种投影下，与投影面平行的平面图形留下的影子与平面图形的形状和大小是完全相同的三视图包括_、_、_三视图尺寸关系口诀：“长对正，高平齐，宽相等 ”长对正指正视图和俯视图长度相等，高平齐指正视图和侧(左) 视图高度要对齐，宽相等指俯视图和侧(左) 视图的宽度要相等(2)直观图空间几何体的
8、直观图常用斜二测画法来画，其规则是：在已知图形所在空间中取水平面，在水平面内作互相垂直的轴 Ox，Oy ，再作 Oz 轴，使xOz_且yOz _ 画直观图时，把 Ox，Oy ，Oz 画成对应的轴 Ox，O y ，Oz，使xO y_，x O z_xOy所确定的平面表示水平面已知图形中，平行于 x 轴、y 轴或 z 轴的线段，在直观图中分别画成_x轴、y轴或 z轴的线段，并使它们和所画坐标轴的位置关系与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同已知图形中平行于 x 轴和 z 轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于 y 轴的线段，长度为原来的_画图完成后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的
9、直观图自查自纠1(1)平行 四边形 平行 (2)多边形 三角形2(1)平行四边形 全等 平行四边形 矩形(2)等腰三角形 直角三角形 直角三角形 直角三角形 直角三角形(3)等腰梯形 直角梯形 直角梯形 直角梯形3(1)矩形 直角三角形 直角梯形(2)矩形 等腰三角形 等腰梯形 圆4(1)直径 球心 (2) 垂直于 d R2 r25平行投影 平行6(1)正(主)视图 侧(左)视图 俯视图(2)90 90 45(或 135) 90 平行于一半以下关于几何体的三视图的论述中，正确的是( )A球的三视图总是三个全等的圆B正方体的三视图总是三个全等的正方形C水平放置的正四面体的三视图都是正三角形D水平
10、放置的圆台的俯视图是一个圆解：几何体的三视图要考虑视角，只有球无论选择怎样的视角，其三视图总是三个全等的圆故选 A.(2017全国卷)如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为( )A90 B63 C42 D36解法一：由三视图知，该几何体可以看作由底面半径为 3，高为 10 的圆柱截去底面半径为 3，高为 6 的圆柱的一半所得，故其体积 V3 210 32663.12解法二：该几何体可以看作由底面半径为 3，高为 10 的圆柱截去底面半径为 3，高为 6 的圆柱的一半所得，其体积等于底面半径为 3，高为 7
11、 的圆柱的体积，所以其体积 V3 2763.故选 B.(2017全国卷)某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为 2，俯视图为等腰直角三角形该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为( )A10 B12 C14 D16解：由三视图可知该多面体是一个组合体，下面是底面为等腰直角三角形的直三棱柱，上面是底面为等腰直角三角形的三棱锥，等腰直角三角形的腰长、直三棱柱的高、三棱锥的高均为 2，易知该多面体有 2 个面是梯形，这 2 个梯形的面积之和为 212，故选 B.（2 4）22(2017北京)某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱
12、的长度为_解：由三视图还原为如图所示的四棱锥 ABCC1B1，易得，最长的棱为 AC1，且AC1 2 .故填 2 .（22 22） 22 3 3(2017山东)由一个长方体和两个 圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为_14解：由三视图可知 V1212 1212 .故填 2 .14 2 2类型一 空间几何体的结构特征给出下列四个命题：有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱；侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥；侧面都是矩形的直四棱柱是长方体；若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱其中所有错误命题的序号是( )A B. C D. 解：认识棱柱一般要从侧棱与底面的垂直与否和底面多边形的形状两
13、方面去分析，故错误，对等腰三角形的腰是否为侧棱未作说明，故错误，平行六面体的两个相对侧面也可能与底面垂直且互相平行，故错误故选 D.【点拨】解决该类题目需要准确理解几何体的定义，要真正把握几何体的结构特征，并且学会通过反例对概念进行辨析，即要说明一个命题是错误的，设法举出一个反例即可下面是关于四棱柱的四个命题：若有一个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；若过两个相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱；若四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱其中，真命题的编号是_解：显然错；正确，因两个过相对侧棱的截面都垂直于底面可得到侧棱垂直于底
14、面；错，可以是斜四棱柱；正确，对角线两两相等，则此两对角线所在的平行四边形为矩形故填.类型二 空间几何体的三视图已知三棱锥的正视图与俯视图如图所示，俯视图是边长为 2 的正三角形，则该三棱锥的侧视图可能为( )解：三视图中正侧高平齐，排除 A，俯侧宽相等，排除 C，D.故选 B.【点拨】根据几何体的直观图画三视图，要根据三视图的画法规则进行要严格按以下几点执行：三视图的安排位置，正视图、侧视图分别放在左、右两边，俯视图放在正视图的下边正俯长对正，正侧高平齐，俯侧宽相等注意实虚线的区别如图，几何体的正视图与侧视图都正确的是( )解：侧视时，看到一个矩形且不能有实对角线，故 A、D 排除而正视时，
15、有半个平面是没有的，所以应该有一条实对角线，且其对角线位置应为 B 中所示故选 B.类型三 空间多面体的直观图已知几何体的三视图如图所示，用斜二测画法画出它的直观图(单位：cm)解：由三视图可知该几何体是底面边长为 2 cm，高为 3 cm 的正六棱锥，其直观图如图所示，画法如下：(1)画轴：画底面中心 O，画 x轴，y轴和 z轴，使xOy 45， xOz90.(2)画底面：在水平面 xOy内画边长为 2 cm 正六边形的直观图(3)画高线：在 Oz上取点 P，使 OP3 cm.(4)成图：连接 PA，PB ，P C，PD ，PE ，PF ，去掉辅助线，并将遮住部分改为虚线，就得到如图所示的直
16、观图【点拨】根据三视图可以确定一个几何体的长、宽、高，再按照斜二测画法，建立 x 轴、y 轴、z 轴，使 xOy 45， xOz 90， 确 定 几 何 体 在 x 轴 、 y 轴 、 z 轴 方 向 上 的 长 度 ， 最 后 连 线 画 出 直 观 图 平 行 于 x 轴 和z 轴 的 线 段 长 度 不 变 ， 平 行 于 y 轴 的 线 段 ， 长 度 为 原 来 的 一 半 ， 且 平 行 于 轴 的 线 段 平 行 关 系 不 变 原 图 形 面 积S 与 其 直 观 图 面 积 S之 间 的 关 系 为 S S.24已知一个四棱锥的高为 3，其底面用斜二测画法所画出的水平放置的直
17、观图是一个边长为 1 的正方形，则此四棱锥的体积为( )A. B6 C. D22 213 2解：因为四棱锥的底面直观图是一个边长为 1 的正方形，该正方形的对角线长为 ，根据斜二测画法的规则，2原图底面的底边长为 1，高为直观图中正方形的对角线长的两倍，即 2 ，则原图底面积为 S2 .因此该四2 2棱锥的体积为 V Sh 2 32 .故选 D.13 13 2 2类型四 空间旋转体的直观图一个圆台的母线长为 12 cm，两底面面积分别为 4 cm2 和 25 cm2.求：(1)圆台的高；(2)截得此圆台的圆锥的母线长解：(1)O 1A1 2，OA5，所以圆台的高 h 3 cm.122 32 1
18、5(2)由 ，得 SA20 cm.SA 12SA 25【点拨】用平行于底面的平面去截柱、锥、台等几何体，注意抓住截面的性质(与底面全等或相似) ，同时结合旋转体中的轴截面(经过旋转轴的截面 )的几何性质，利用相似三角形中的相似比，设相关几何变量列方程求解一个直角梯形上底、下底和高之比为 24 ，将此直角梯形以垂直于底的腰为轴旋转一周形成一5个圆台，求这个圆台上底面积、下底面积和侧面积之比解：由题意可设直角梯形上底、下底和高为 2x，4x， x，它们分别为圆台的上、下底半径和高如图示，5过点 B 作 BCOA 于 C，则 RtABC 中，ACOA OCOAO B4x2x2x，BCOO x，所以
19、AB5 3x.所以 S 上 S 下 S 侧 (2x) 2(4 x)2(2 x4x)3x 2 89.AC2 BC2 （2x）2 （5x）21在研究圆柱、圆锥、圆台的相关问题时，主要方法就是研究它们的轴截面，这是因为在轴截面中容易找到这些几何体的有关元素之间的位置关系以及数量关系2建议对下列一些具有典型意义的重要空间图形的数量关系予以推证并适当记忆(1)正多面体正四面体就是棱长都相等的三棱锥，正六面体就是正方体，连接正方体六个面的中心，可得到一个正八面体，正八面体可以看作是由两个棱长都相等的正四棱锥拼接而成棱长为 a 的正四面体中：a斜高为 a； b高为 a； c对棱中点连线长为 a；32 63
20、22d外接球的半径为 a，内切球的半径为 a；64 612e正四面体的表面积为 a2，体积为 a3.3212如图，在棱长为 a 的正方体 ABCDA1B1C1D1 中，连接 A1B，BC 1，A 1C1，DC 1，DA 1，DB，可以得到一个棱长为 a 的正四面体 A1BDC1，其体积为正方体体积的 .213正方体与球有以下三种特殊情形：一是球内切于正方体；二是球与正方体的十二条棱相切；三是球外接于正方体它们的相应轴截面如图所示(正方体的棱长为 a，球的半径为 R)(2)长方体的外接球长、宽、高分别为 a，b，c 的长方体的体对角线长等于外接球的直径，即 2R.a2 b2 c2棱长为 a 的正
21、方体的体对角线长等于外接球的直径，即 a2R.33三视图的正(主)视图、侧(左) 视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线，主视图反映了物体的长度和高度；俯视图反映了物体的长度和宽度；左视图反映了物体的宽度和高度由此得到：主俯长对正，主左高平齐，俯左宽相等4一个平面图形在斜二测画法下的直观图与原图形相比，有“三变、三不变” 三变：坐标轴的夹角改变，与 y 轴平行线段的长度改变(减半 )，图形改变三不变：平行性不变，与 x 轴平行的线段长度不变，相对位置不变5对于直观图，除了了解斜二测画法的规则外，还要了解原图形面积 S 与其直观图面积 S之间联系：S S，并能进
22、行相关的计算241一图形的投影是一条线段，这个图形不可能是( )线段；直线；圆；梯形；长方体A B C D解：线段、圆、梯形都是平面图形，且在有限范围内，投影都可能为线段；长方体是三维空间图形，其投影不可能是线段；直线的投影，只能是直线或点故选 D.2下列命题：若一个几何体的三视图是完全相同的，则这个几何体是正方体；若一个几何体的正视图和俯视图都是矩形，则这个几何体是长方体；若一个几何体的三视图都是矩形，则这个几何体是长方体；若一个几何体的正视图和侧视图都是等腰梯形，则这个几何体是圆台其中真命题的个数是( )A0 B1 C2 D3解：假命题，也可以是球；假命题，也可以是横放的圆柱；是真命题；是
23、假命题，也可以是棱台故选 B.3四个正方体按如图所示的方式放置，其中阴影部分为我们观察的正面，则该物体的三视图正确的为( )解：正视图、侧视图、俯视图分别从几何体的正面、左边和上面正投影即可知 B 正确故选 B.4某几何体的正视图和侧视图均如图 1 所示，则该几何体的俯视图不可能是( )解：D 选项的正视图应为如图所示的图形 故选 D.5某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面中面积最大的是( )A8 B6 C10 D82 2解：由三视图可知，该几何体的四个面都是直角三角形，面积分别为 6，6 ，8，10，所以面积最大的是 10.2故选 C.6如图，正方形 OABC的边长为 1 cm，它是水平
24、放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是( )A8 cm B6 cmC2(1 ) cm D2(1 ) cm3 2解：根据直观图的画法可知，在原几何图形中，OABC 为平行四边形，且有 OBOA ，OB2 ，OA1，所2以 AB3.从而原图的周长为 8.故选 A.7一个几何体的正视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的_(填入所有可能的几何体前的编号)三棱锥 四棱锥 三棱柱 四棱柱 圆锥 圆柱解：三棱锥、四棱锥和圆锥显然合要求，当三棱柱的一个侧面平行于水平面，底面对着观测者时其正视图是三角形，其余的正视图均不是三角形故填.8有一枚正方体骰子，每一个面都有一个英文字母，如图所示的是从
25、 3 种不同角度看同一枚骰子的情况，则与 H 相对的字母是_ 解：正方体的骰子共有 6 个面，每个面都有一个字母，从每一个图，都可看到有公共顶点的三个面，与标有S 的面相邻的面共有四个，由这三个图知这四个面分别标有字母 H，E，O ，d，翻转图，使 S 面调整到正前面，则 O 为正下面，所以与 H 相对的是 O.故填 O.9如图是截去一个角的长方体，试按图示的方向画出其三视图解：图中几何体的三视图如图所示：10用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为 116，截去的圆锥的母线长是 3cm，求圆台的母线长解：设圆台的母线长为 l，截得圆台的上、下底面半径分别为 r，4
26、r.根据相似三角形的性质得， ，解得 l9.33 l r4r所以，圆台的母线长为 9cm.11在四棱锥 PABCD 中，底面为正方形，PC 与底面 ABCD 垂直该四棱锥的正视图和侧视图如图所示，它们是腰长为 6 cm 的全等的等腰直角三角形(1)根据所给的正视图、侧视图，画出相应的俯视图，并求出该俯视图的面积；(2)求 PA 的长度解：(1)该四棱锥的俯视图为边长为 6 cm 的正方形，如图，其面积为 36cm2.(2)在正方形 ABCD 中，易得 AC6 cm，因为 PC面 ABCD，所以 PCAC.2在 RtACP 中，PA 6 cm.PC2 AC2 62 （62）2 3某长方体的一条体对角线长为 ，在该长方体的正视图中，这条对角线的投影长为 ，在该长方体的7 6侧视图与俯视图中，这条体对角线的投影长分别为 a 和 b，求 ab 的最大值解：如图，则有AC1 ，DC 1 ，7 6BC1a，ACb，设 ABx，ADy ，AA 1z，有x2y 2z 27，x 2z 26，所以 y21.因为 a2y 2z 2z 21，b 2x 2y 2x 21，所以 a ，b .z2 1 x2 1所以 ab 4，（z2 1）（x2 1）z2 1 x2 12当且仅当 z21x 21，即 xz 时，ab 的最大值为 4.3
