1、1河北省唐山市 2018 届高三第三次模拟考试数学（理科）第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合 13,0MxNx，则集合 03x（ ）A N B C. RMCN D RCMN 2.复数 z满足 234izi（ 为虚数单位） ，则 z（ ）A i B C. 2i D 2i 3.已知 tan16，则 tan6（ ）A 23 B 23 C. 23 D 23 4.已知命题 :p在 AC中，若 siniAB，则 ；命题 :0,qx， 1sin2x.则下列命题为真命题的是（ ）A q B pq
2、 C.p D pq 5.已知双曲线2:10,xyEab的两条渐近线分别为 12,l，若 E的一个焦点 F关于1l的对称点 F在 2l上，则 的离心率为（ ）A 5 B2 C. 23 D 52 6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）2A6 B7 C. 152 D 23 7.已知函数 sin03fx的图象与 x轴相切，则 f（ ）A 32 B 12 C. 312 D 312 8.已知 P是抛物线 4yx上任意一点， Q是圆 24xy上任意一点，则 PQ的最小值为（ ）A 52 B3 C. 31 D 231 9.利用随机模拟的方法可以估计圆周率 的值，为此设计如图所示的程序框图，其中
3、rand表示产生区间 0,1上的均匀随机数（实数)，若输出的结果为 786，则由此可估计的近似值为（ ）A3.134 B3.141 C.3.144 D3.14710.在 C中，点 G满足 0AC.若存在点 O，使得 16GBC，且Omn，则 n（ ）A2 B 2 C. 1 D 1 11.若异面直线 ,所成的角是 60，则以下三个命题:存在直线 l，满足 l与 ,mn的夹角都是 ；存在平面 ，满足 ， 与 所成角为 60；存在平面 ,，满足 ,， 与 所成锐二面角为 60.3其中正确命题的个数为（ ）A0 B1 C. 2 D312.已知 ,xeafa，若 f的最小值为 1，则 a（ ）A 2e
4、B C. e D 2e 第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 设变量 ,xy满足约束条件10,25,xy则 zxy的最大值为 14.某种袋装大米的质量 X（单位： kg）服从正态分布 50,.1N，任意选一袋这种大米，质量在 49.850.1kg:的概率为 15.设函数 2,xf则使得 fxf成立的 x得取值范围是 16. ABC的内角 ,的对边分别为 ,abc，角 A的内角平分线交 BC于点 D，若1,2abc，则 D的取值范围是 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知数列
5、na是等差数列， nb是等比数列， 1,2ab， 237,1ab.（1）求 和 b的通项公式；（2）若 ,nac为 奇 数为 偶 数 ，求数列 nc的前 2项和 2nS.18. 某球迷为了解 ,AB两支球队的攻击能力，从本赛季常规赛中随机调查了 20 场与这两支球队有关的比赛.两队所得分数分别如下：A球队：122 110 105 105 109 101 107 129 115 100114 118 118 104 93 120 96 102 105 83B球队：114 114 110 108 103 117 93 124 75 10691 81 107 112 107 101 106 120
6、107 794（1）根据两组数据完成两队所得分数的茎叶图，并通过茎叶图比较两支球队所得分数的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，得出结论即可）；（2）根据球队所得分数，将球队的攻击能力从低到高分为三个等级：球队所得分数 低于 100 分 100 分到 119 分 不低于 120 分攻击能力等级 较弱 较强 很强记事件 :C“ A球队的攻击能力等级高于 B球队的攻击能力等级”.假设两支球队的攻击能力相互独立. 根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求 C的概率.19.如图，四棱锥 PBCD的底面 A是平行四边形， 90BAPD.（1）求证：平面 PAB平面 CD；（2）若 3C
7、， E为 的中点， F为棱 PB上的点， /D平面 AEF，求二面角 DF的余弦值.20.已知点 2,0A，点 1,0B，点 ,，动圆 O与 x轴相切于点 ，过点 B的直线1l与圆 O相切于点 ，过点 C的直线 2l与圆 相切于点 E（ ,D均不同于点 A），且l与 2交于点 P，设点 的轨迹为曲线 .（1）证明： B为定值，并求 的方程；（2）设直线 1l与 的另一个交点为 Q，直线 CD与 交于 ,MN两点，当 ,ODC三点共线时，求四边形 MPN的面积.21.已知 0a，函数 24lnafx.（1）记 2gf，求 g的最小值；（2）若 yfx有三个不同的零点，求 a的取值范围.请考生在
8、22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修 4-4：坐标系与参数方程5已知点 A在椭圆 2:4Cxy上，将射线 OA绕原点 逆时针旋转 2，所得射线 OB交直线 :2ly于点 B.以 O为极点， x轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求椭圆 C和直线 l的极坐标方程；（2）证明：: RtAB中，斜边 上的高 h为定值，并求该定值.23.选修 4-5：不等式选讲已知函数 123fxx.（1）求不等式 0f的解集；（2）设 gxffx，求 g的最大值.6数学（理科）参考答案一、选择题1-5: CADBB 6-10: BBDCD 11、12：DA二、填空题13. 4 1
9、4.0.8185 15. (),10, - 16. 3,12 三、解答题17.解：（1）设数列a n的公差为 d，数列 bn的公比为 q，依题意有，解得 d2，q2，1 d 2q 7，1 2d 2q2 13，)故 an2n1，b n2 n， （2）由已知 c2n1 a 2n1 4n3，c 2nb 2n4 n，所以数列c n的前 2n 项和为S2n(a 1a 3a 2n1 )( b2b 4b 2n) 2n 2n (4n1)n(1 4n 3)2 4(1 4n)1 4 4318解：（1）两队所得分数的茎叶图如下A 球队 B 球队7 5 93 8 13 6 9 3 15 2 4 0 7 1 9 5 5
10、 10 8 3 6 7 7 1 6 78 8 4 5 0 11 4 4 0 7 20 9 2 12 4 0通过茎叶图可以看出，A 球队所得分数的平均值高于 B 球队所得分数的平均值；A 球队所得分数比较集中，B 球队所得分数比较分散（2）记 CA1 表示事件：“A 球队攻击能力等级为较强”，CA2 表示事件：“A 球队攻击能力等级为很强”；CB1 表示事件：“B 球队攻击能力等级为较弱”，CB2 表示事件：“B 球队攻击能力等级为较弱或较强”，则 CA1 与 CB1 独立， CA2 与 CB2 独立，C A1 与 CA2 互斥，C( CA1CB1)( CA2CB2)7P(C) P(CA1CB1
11、)+ P(CA2CB2)P (CA1)P(CB1)P (CA2)P(CB2)由所给数据得 CA1，C A2，C B1，C B2 发生的频率分别为 ， ， ， ，故1420 320 520 1820P(CA1) ，P (CA2) ，P (CB1) ，P (CB2) ，1420 320 520 1820P(C) 0.311420 520 320182019解：（1）ABCD，PCCD，ABPC，ABAC ，ACPC C，AB平面 PAC，ABPA，又 PAAD， ABADA，PA平面 ABCD，PA 平面 PAB， 平面 PAB 平面 ABCD（2）连接 BD 交 AE 于点 O，连接 OF，E
12、为 BC 的中点 ，BC AD， ，BOOD BEAD 12PD平面 AEF，PD 平面 PBD， 平面 AEF平面 PBDOF，PDOF， ，BFFP BOOD 12以 AB，AC ，AP 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系 Axyz，则 A(0， 0，0)，B(3，0，0)，C(0，3，0) ，D(3，3，0)，P(0，0，3)，E ( ，0 )，F( 2， 0，1) ，32328设平面 ADF 的法向量 m(x 1，y 1，z 1)， (2，0，1 )， (3，3，0) ，AF AD 由 m0， m0 得 取 m(1 ，1，2)AF AD 2x1 z1 0， 3x1
13、 3y1 0，)设平面 DEF 的法向量 n(x 2，y 2，z 2)， ( ， ，0 )， ( ， ，1 )，DE 92 32 EF 12 32由 n0， n0 得 取 n(1，3，4)DE EF cosm，n ，mn|m|n| 23939二面角 A-DF-E 为钝二面角，二面角 A-DF-E 的余弦值为 2393920解：（1）由已知可得|PD|PE|，|BA|BD|，|CE|CA| ，所以|PB|PC|PD|DB| |PC|PE|PC| |AB|CE| |AB|AC|AB|4|BC|所以点 P 的轨迹 是以 B，C 为焦点的椭圆（去掉与 x 轴的交点） ，可求 的方程为 1(y0)x24
14、 y23（2）由 O，D，C 三点共线及圆的几何性质，可知 PB CD，又由直线 CE，CA 为圆 O的切线，可知 CECA，OA OE ，所以OAC OEC ，进而有 ACO ECO ，所以|PC|BC|2，又由椭圆的定义，|PB|PC| 4，得|PB|2，所以PBC 为等边三角形，即点 P 在 y 轴上，点 P 的坐标为(0， ) 3(i)当点 P 的坐标为(0， )时，PBC60 ，BCD 30 ，3此时直线 l1 的方程为 y (x1) ，直线 CD 的方程为 y (x1)，333由 整理得 5x28x0，得 Q( ， )，所以|PQ| ，85 335 165由 整理得 13x28x3
15、20，设 M(x1，y 1)，N(x 2，y 2)，x 1x 2 ，x 1x2 ，813 32139|MN| |x1x 2| ，4813所以四边形 MPNQ 的面积 S |PQ|MN| 12 38465(ii)当点 P 的坐标为(0， )时，由椭圆的对称性，四边形 MPNQ 的面积为 338465综上，四边形 MPNQ 的面积为 3846521解：（1）g (a)ln a2 22 (lna 1 )，4aa2 a2 1ag(a)2 ( ) ，1a 1a2 2(a 1)a2所以 0a1 时，g (a)0，g (a)单调递减；a1 时，g (a)0，g (a)单调递增 ，所以 g(a)的最小值为 g
16、(1)0（2）f (x) ，x01x 4a(x a2)2 x2 (2a2 4a)x a4x(x a2)2因为 yf (x)有三个不同的零点，所以 f(x)至少有三个单调区间，而方程 x2(2a 24a)x a 40 至多有两个不同正根，所以，有 解得，0a 12a2 4a 0， 16a2(1 a) 0，)由（1）得，当 x1 时，g (x)0，即 lnx 10，1x所以 lnx ，则 xe (x0)，1x 1x 令 x ，得 e a22 a22 2a2 因为 f(e ) 2 0，f (a2)0，2a22a2 4a 2(a 1)2a2f(1) 2 0，f (e2) 0，4a1 a2 2(a 1)
17、21 a2 4ae2 a2所以 yf (x)在 (e ，a 2)，(a 2，1)，( 1，e 2)内各有一个零点，2a2故所求 a 的范围是 0a 11022解：（1）由 x cos，ysi n 得椭圆 C 极坐标方程为 2(cos22sin 2)4，即 2 ；41 sin2直线 l 的极坐标方程为 sin2，即 2sin（2）证明：设 A(A，)，B (B， )， 2 2 2由（1）得|OA |2 ，|OB| 2 ，2A41 sin2 2B 4sin2( f( ,2) 4cos2由 SOAB |OA|OB| |AB|h 可得，12 12h2 2|OA|2|OB|2|AB|2 |OA|2|OB|2|OA|2 |OB|2故 h 为定值，且 h 223解：（1）由题意得|x1|2x3|,所以|x 1|2|2x3| 2整理可得 3x210x80，解得 x2，43故原不等式的解集为 x| x243（2）显然 g(x)f (x)f (x)为偶函数，所以只研究 x0 时 g(x)的最大值g(x)f (x)f (x)|x1| |2x3|x 1|2x3| ，所以 x0 时，g (x)|x 1| |2x3|x2 4， 0x1，2x 6， 1 x 32， 2x， x32，)所以当 x 时，g (x)取得最大值3，32故 x 时，g (x)取得最大值332
