1、2016-2017 学年河北省唐山市度高三年级第三次模拟考试数学（理）试题一、选择题1已知集合 ， ，则 （ ）2|0Ax|log1BxyABA. B. C. D. 0,1,0【答案】A【解析】 , , |2x1xAx2已知 为虚数单位， ，则复数 的共轭复数为（ ）iziizA. B. C. D. 1351353535i【答案】D【解析】 21,21iii iiz z3总体由编号为 01，02，03 ，49，50 的 50 个个体组成，利用随机数表（以下选取了随机数表中的第 1 行和第 2 行）选取 5 个个体，选取方法是从随机数表第 1 行的第 9 列和第 10 列数字开始由左向右读取，则
2、选出来的 4 个个体的编号为（ ）A. 05 B. 09 C. 11 D. 20【答案】C【解析】从随机数表第 1 行的第 9 列和第 10 列数字开始由左向右读取，符合条件的数有 14，05，11，05，09 因为 05 出现了两次，所以选出来的 4 个个体的编号为 09.4已知双曲线 的一条渐近线方程为 ，则 的2:(0,)xyab20xyC离心率为（ ）A. B. 或 C. 2 D. 5255【答案】D【解析】由题2214,beea5执行下图程序框图，若输出 ，则输入的 为（ ）yxA. 或 或 1 B. C. 或 1 D. 1322【答案】C【解析】由题当 时， ,当 时， 0x241
3、yxx0,综上 .242xy12x或点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.6数列 是首项 ，对于任意 ，有 ，则 前 5 项na1*,mnN3nmana和 （ ）5SA. 121 B. 25C. 31 D. 35【答案】D【解析】令 ,有 , 等差，首项为 1，公差为 3， 1m13nana, .32na5325S7某三棱锥的三视图如图所示，则其体积为（ ）A. 4 B. 8 C. D. 438【答案】C【解
4、析】由题可知，几何体是三棱锥，底面是边长为 2 的等腰直角三角形，且顶点到底面的距离为 2， .1423V8函数 （其中 为自然对数的底数）的图象大致为（ ）1xefeA. B. C. D. 【答案】D【解析】 ,所以 为偶111xxxeeef ffx函数,图象关于 轴对称，又 ,所以选 A.y,0f9若 ，则 （ ）929011xaxax 1239aa A. 1 B. 513 C. 512 D. 511【答案】D【解析】令 ，得 ,令 ,得x0x912391215aa 10函数 （ ）在 内的值域为 ，则 的取cos6fx0,31,2值范围是（ ）A. B. C. D. 35,23,25,5
5、,63【答案】D【解析】 且 在 内的值域为 可得0,xfx0,31,2可得1,6x5.6311抛物线 的焦点为 ， 为准线上一点， 为 轴上一点， 2:4CyxFNMy为直角，若线段 的中点 在抛物线 上，则 的面积为（ ）MNFECFAA. B. C. D. 232【答案】C【解析】设 在抛物线 上可得 ,由抛物线的对称10,2mMEC2m性，不妨设 ， 1,1,1,2,0NnnFNnMFNn，可得 ,由两点距离公式可得211323,6, 6.22MNFMS点晴：本题考查的是抛物线中的直角三角形面积问题，先根据 的中点 在抛物线FE上，确定 点的坐标，再根据 为直角， C可得 点的坐标，由
6、两点距离公式可得1,2,0NFn11323,6, 6.22MNFMS12已知函数 有两个极值点 ，且 ，若3fxabx1,x12x，函数 ，则 （ ）102x0gffgA. 恰有一个零点 B. 恰有两个零点C. 恰有三个零点 D. 至多两个零点【答案】B【解析】由已知, 323222000000gxffxabxabxxaxb,由题可知 ,代入上式可得23fxaxb122103x，所以 恰有两个零点.201gxxgx点晴：本题考查的是函数的零点问题，解决本题的关键有两个，一方面利用题目条件有两个极值点 得到 的关系 ，32xabx12,x012,abx， 与 ， 122103axbx并且通过作差
7、化简整理得 ，两者结合22000gxxaxb可得 从而得到 恰有两个零点.201gxxgx二、填空题13已知向量 ， ，则 在 方向上的投影为 _3,1a2,bab【答案】 5【解析】 在 方向上的投影为 .ab2315|b14直角 的三个顶点都在球 的球面上， ，若三棱锥ABCO2ABC的体积为 2，则该球的表面积为_O【答案】 4【解析】由题可知 是截面小圆的直径，所以截面小圆的半径 ,又r,所以1233Vd221,414RSR15已知变量 满足约束条件 ，目标函数 的最小值为 ，,xy0xya2zxy5则实数 _.a【答案】 3【解析】约束条件 对应的可行域为三角形区域，其中一顶点102
8、xya，由 得 ,经过点 时取得最小值-1,2aAzxy2xz1,2aA5，即 .1532az点晴：本题考查的是线性规划问题中的已知最值求参数的问题，线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想，需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最值会在可行域的端点或边界上取得.16数列 的前 项和为 ，若 ，则nanS*214nnaN_n【答案】 12n【解析】 ，两式相减得n-1231+4,+42nSaSa，两边乘以 得 ， 13212nnna12n12nna是等差数列, 又令1+na
9、（ ）12n三、解答题17在 中，角 ， ， 所对应的边分别为 ， ， ， .ABCBCabccosabC（1）求证： ；sinta（2）若 ， 为锐角，求 的取值范围.ac【答案】 （）见解析;（） .1,2【解析】试题分析：（）由正弦定理及 ，结合 化sinABCcosab简可得.（）表示 ，再由2222co48cabCbb知 ，和 为锐角，得 .求值域可得.osabC1ss1试题解析：（）由 根据正弦定理得 ，sinsincoABC即 ，inincoBB，scosisnC，iiC得 ta（）由余弦定理得 ，2222cos48cabbb由 知 ，osb1sC由 为锐角，得 ，所以 .C0从
10、而有 .218c所以 的取值范围是 .1,218某学校用简单随机抽样方法抽取了 100 名同学，对其日均课外阅读时间（单位：分钟）进行调查，结果如下：t0,15,30,45,60,75,90男同学人数 7 11 15 12 2 1女同学人数 8 9 17 13 3 2若将日均课外阅读时间不低于 60 分钟的学生称为“读书迷”.（1）将频率视为概率，估计该校 4000 名学生中“读书迷”有多少人？（2）从已抽取的 8 名“读书迷”中随机抽取 4 位同学参加读书日宣传活动.（i）求抽取的 4 位同学中既有男同学又有女同学的概率；（ii）记抽取的“读书迷”中男生人数为 ，求 的分布列和数学期望.X【
11、答案】 （）320 人;（） （） ;（）见解析.13【解析】试题分析：（）按比例列式 ，解得 . 804x320（） （）借助其对立事件，可求概率 .581CP（）列出 可能取 0，1，2，3.并求各可能值的概率，列出分布列，求期望.X试题解析：（）设该校 4000 名学生中“读书迷”有 人，则 ，解得x8104x.320x所以该校 4000 名学生中“读书迷”约有 320 人. （） （）抽取的 4 名同学既有男同学，又有女同学的概率：.4581CP（） 可取 0，1，2，3.X， ，458135487CPX， ，235487CP31548的分布列为：X0 1 2 3P14373714.3
12、1021742EX19如图，平行四边形 中， ， ， ， ABCDAB60CPAD， 分别为 ， 的中点，FPE平面 .A（1）求证： 平面 ；PABCD（2）求直线 与平面 所成角的正弦值.F【答案】 （1）见解析;（2） .217【解析】试题分析：（1）由已知条件证明 ，又因为 ， EPAAD，可得 平面 .ADEPABCD（2）以 为坐标原点，建立如空间直角坐标系，求解即可.试题解析：（1）连接 ，因为 平面 ， 平面 ，所以FPEDPE，F在平行四边形 中， ， ，ABCD24AB60C所以 ， ，2E3从而有 ，2所以 ，又因为 ，F所以 平面 ， 平面 ，DPAPAE从而有 ，E又
13、因为 ， ，D所以 平面 .BC（2）以 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则 ， ， ，0,2A3,0D3,10B因为 平面 ，所以 ，FPEAFPE又因为 为 中点，所以 ，2所以 ， ，,1， ， ，0A3,0D3,01B设平面 的法向量为 ，Fnxyz由 ， 得， ，0n0230令 ，得 .1x,3设直线 与平面 所成的角为 ，则：BFAD，231sinco, 7BFn即直线 与平面 所成角的正弦值为AD20已知椭圆 经过点 ，且离心率为 .2:1(0)xyab13,2E32（1）求椭圆 的方程；（2）直线 与圆 相切于点 ，且与椭圆 相交于不同的两点 ， l22:OxyMA，
14、求 的最大值.BA【答案】 （） ;（）2.214xy【解析】试题分析：（）由已知列式 ， ， 可得椭圆2314ab23ab方程.（）由直线 与圆 相切，得 ，即 ，l2:1Oxy21mk21k再由 代入 ，联立结合韦达定理可得ykxm242214kAB利用均值不等式求最值即可.231k试题解析：（）由已知可得 ， ，解得 ， 2314ab23ab2a，1b所以椭圆 的方程为 21xy（）当直线 垂直于 轴时，由直线 与圆 ： 相切，l lO21xy可知直线 的方程为 ，易求 .1x3AB当直线 不垂直于 轴时，设直线 的方程为 ，l lykxm由直线 与圆 相切，得 ，即 ，l2:1Oxy2
15、1mk21k将 代入 ，整理得 ，ykm24224840xm设 ， ，则 ， ，1,Ax2,Bxy122kx21k1212124kkx，2 222864mkm又因为 ，21k所以 ，2231344kAB当且仅当 ，即 时等号成立，21k2综上所述， 的最大值为 2.AB点睛：本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用21已知函数 ， .2ln1fxax0（1）讨论函数 的单调性；（2）若函数 在区间 有唯一零点 ，证明： .fx,00x210exe【答案】 （）见解析;（）见解析.【解析】试题分析：（）求导得 ， 分 ， ， 21afx0，三种情况讨论可得单调区间.0（）由（1）及 可知：仅当极大值等于零，即 且 0f10f1fx所以 ，且 ，消去 得201ax2000ln1fxaxa，构造函数，证明单调且零点存在且唯一即可.00ln
