1、购房贷款还贷的数学模型班级：热能 091 学号： 姓名： 一、数学模型建立：a=贷款本金；b=每月还款额；n=房贷年数；r=贷款月利率；x=总利息；w=总偿还贷款本息；a(i)=第 i 月归还本金；x(i)=第 i 月偿还的利息；y(i)=第 i 月欠银行的钱；模型描述：无论哪种还款方式，都有一个共同点，就是每月的还款额（也称月供）中包含两个部分：本金还款和利息还款：月还款额=当月本金还款+ 当月利息 b(i)=a(i)+x(i)；当月剩余本金=上月剩余本金-当月本金还款 y(i)=y(i-1)-a(i)；当月利息=上月剩余本金月利率 x(i)=y(i-1)*r ；月利率=年利率 12；其中本
2、金还款是真正偿还贷款的。每月还款之后，贷款的剩余本金就相应减少，利息还款是用来偿还剩余本金在本月所产生的利息的。由上面利息偿还公式中可见，月利息是与上月剩余本金成正比的，由于在贷款初期，剩余本金较多，所以可见，贷款初期每月的利息较多，月还款额中偿还利息的份额较重。随着还款次数的增多，剩余本金将逐渐减少，月还款的利 息也相应减少，直到最后一个月，本金全部还清，利息付最后一次，下个月将 既无本金又无利息，至此，全部贷款偿还完毕。二、模型求解：1.等本息.等本息还款额的推导：每个月的还款额相等，其中月还款额=当月本金还款+当月利息第一个月的利息ar第一个月的本金还款额Y(1)b第一个月的利息bar第
3、一个月剩余本金总贷款额第一个月本金还款额a（bar）a（r）b第二个月，当月利息还款额上月剩余本金月利率第二个月的利息（a（r）b）r第二个月的本金还款额Y(i)b第二个月的利息b（a（ r）b ） r第二个月剩余本金第一个月剩余本金第二个月本金还款额a（r）b（b （ a（r）a ）r）a（r）bb （ a（r）b ）ra（r）2a （r）b(1+r)2 表示(1+r)的 2 次方第三个月的利息第二个月剩余本金月利率第三个月的利息（a（r）2 a （r）b）r第三个月的本金还款额Y(3)b第三个月的利息b（a（ r）2b（r）b）r第三个月剩余本金第二个月剩余本金第三个月的本金还款额a（r）
4、2b （r）b（a（a（r ）2b（r）b）r）a（r）2b （r）b（b（a（r ）2rb（r）b）r）a（r）2（r）（bb（r）b （r）a（r）3 b （r）b（r ） 2b上式可以分成两个部分第一部分：a（r）3第二部分：b （r ）b（r）2b b（r）（r）2通过对前三个月的剩余本金公式进行总结，我们可以看到其中的规律：剩余本金中的第一部分总贷款额（月利率）的次方，（其中还款月数）剩余本金中的第二部分是一个等比数列，以（月利率）为比例系数，月还款额为常数系数，项数为还款月数。推广到任意月份：第月的剩余本金a（r） bs( ) （s(n)为（r）的等比数列的前项和）根据等比数列的前
5、项和公式：zz2z3z（z ）（z）可以得出bs(n)b（r） ）（r）b（r）r所以，第月的剩余本金a（r）b（r）r由于最后一个月本金将全部还完，所以当等于还款次数时，剩余本金为零。剩余本金a（r）n b（r）n ） r0从而得出月还款额1)(2nrab总贷款额月利率 （月利率）还款次数（月利率） 还款次数总利息x=12b*n-a=月还款额 x12 个月 x 年数本金代入数据得：b=4,018.47x=122,216.402.等本金的推导：月还款额=当月本金还款+ 当月利息 b(i)=a(i)+x(i)；每个月的还的本金相同，a(i)= ；na12每个月的利息为， ；riix1那么每个月的
6、还款额为 ；inaib)(21总利息可以用等差数列完成计算 ；rx13.等比递增本金的推导：在此改变一下模型的定义a(i)=第 i 年归还本金；b(i,j)=第 i 年第 j 月的还款额；x(i,j)=第 i 年第 j 月偿还的利息；=第 i 年偿还的总利息；ixy(j)=第 j 月欠银行的钱；月还款额=当月本金还款+ 当月利息 b(i,j)=a(i)+x(ij)；每一年应还的本金分别是：a(1),a(2),a(3)a(10)；每个月应还的利息是：x(1),x(2),x(3)x(119),x(120)；每年应还的总利息是：X1,X2,X3X10;第 j 月应还的利息是： ；rjajxi1第 i
7、 年应还的总利息是： ；)12()2(1xxXi那么 a=12a(1)+a(2)+a(3)+a(10)；a(i)=1.1a(i-1)；该等比数列之和为 a=12 ，a(1)=0.00523a；1.)(0a第一年第一个月：x(1,1)=ar第二个月：x(1,2)=(a-a(1)*r第十二个月：x(1,12)=(a-a(1)*11)*r；总利息：X1=12ar66a(1)r；第二年以此类推X2=12(a12a(1)*r 66a(2)*r；X3=12(a12a(1) 12a(2)*r66a(3)*r；X10=12(a12a(1)12a(2)12a(9)*r66a(9)*r；X=X1+X2+X3+X4
8、+X5+X6+X7+X8+X9+X10;；在计算时遇到 0 0a(1) a(1)=a(1) 10).(a(1)+a(2) a(1) =a(1).12.2a(1)+a(2)+a(3)+a(9)a(1) =a(1) ；1.9 10).(9求和；经过计算可得 100a(1)*( )；2-1.0X= ；raar 1261.1200b(1,1)=a(1)+x(1,1)b(1,2)=a(1)+x(1,2)b(10,12)=a(10)+x(10,12)；三、C 语言程序把以上各房贷款还款情况用 c 语言程序简单编辑出来，可以计算不同贷款本金，房贷年数，年利率下的三种还贷方式每个月需要还款的金额和总利息：#i
9、nclude#includeint main()double a,r,b,x,r1,x1,x2,x3,b1,b2,b12,b22,a1;int n,m,i=1;printf(“请依次输入贷款本金额：万元，房贷年数：，贷款年利率%：“);scanf(“%lf%d%lf“,a=a1*10000;n=m*12;r=r1/1200;b=a*r/(1-1/pow(1+r,n);x=b*n-a;b1=a/n+(a-a*(i-1)/n)*r;b12=a/n+(a-a*(120-1)/n)*r;x1=0.5*n*a*r+0.5*a*r;b2=0.00523*a+a*r;b22=pow(1.1,9)*0.005
10、23*a+(a-pow(1.1,9)*0.00523*(12-1)*r;x2=12*r*(10*a-1200*0.00523*a*(pow(1.1,10)-2)-66/12*a*r;printf(“用等额本息贷款每月的付款额为： %.2ft 总利息为：%.2fn“,b,x);printf(“用等额本金贷款第一个月付款额为： %.2ft 最后一个月：%.2f 总利息为：%.2fn“,b1,b12,x1);printf(“用等比本金贷款第一个月付款额为： %.2ft 最后一个月：%.2f 总利息为：%.2fn“,b2,b22,x2);return 0; 图例：四、如何选择适合自己的方式等额本息还款
11、法的特点是每个月归还一样的本息和，容易作出预算。还款初期利息占每月供款的大部分，随本金逐渐返还供款中本金比重增加。等额本金还款法的特点是每月归还本金一样，利息则按贷款本金余额逐日计算，前期偿还款项较大，每月还款额在逐渐减少。由于是递减，每个月的还款需要精心计算。根据一般的收入变化趋势，等额本息还款法更适用于现期收入少，预期收入将稳定或增加的借款人，或预算清晰的人士和收入稳定的人士，一般为青年人，特别是刚开始工作的年轻人也适合选用这种方法，以避免初期太大的供款压力。而等额本金还款法适用于现在收入处于高峰期的人士，特别是预期以后收入会减少或是家庭经济负担会加重的，一般为中老年人。等比递增本金的特点是随着工作经历的增长，一般家庭收入也在增加。以逐年增加还款额的方式偿还贷款可以又想缩短还款时间又不至于因缩短还款时间，初期的还款压力并不大，后期虽然还款额增加，但由于收入的增加，也不会让借代人感到还款的鸭梨增大，并且如果遇到通货膨胀，货币价值萎缩，钱不值钱，那就赚了这种贷款方式非常适合创业初期，未婚或刚结婚处于职业初期的年轻人，初期还款额小，后期还款额会增加，但随着工作收入，家庭收入的增长，对于还款的压力并不会有显着提升。
