1、 1 10/25/2019集 合（一）集合的含义与表示1了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系.2能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题。（二）集合间的基本关系1理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.2在具体情境中，了解全集与空集的含义.（三）集合的基本运算1理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集。2理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集.3能使用韦恩图（Venn）表达集合的关系及运算。根据考试大纲的要求，结合 2009 年高考的命题情况，我们可以预测 2010 年集合部分在选择、填空和解答题中都有涉及，高考
2、命题热点有以下两个方面：一是集合的运算、集合的有关述语和符号、集合的简单应用等作基础性的考查，题型多以选择、填空题的形式出现；二是以函数、方程、三角、不等式等知识为载体，以集合的语言和符号为表现形式，结合简易逻辑知识考查学生的数学思想、数学方法和数学能力，题型常以解答题的形式出现.知识网络考纲导读列举法描述法确定性包含关系无序性互异性集合集合与集合的关系集合的概念元素的性质分类集合的表示法集合运算有限集无限集空集子集相 等真子集并集交集补集高考导航2 10/25/2019第 1 课时 集合的概念一、集合1集合是一个不能定义的原始概念，描述性定义为：某些指定的对象 就成为一个集合，简称 集合中的
3、每一个对象叫做这个集合的 2集合中的元素属性具有：(1) 确定性； (2) ； (3) 3集合的表示法常用的有 、 和韦恩图法三种，有限集常用 ，无限集常用 ，图示法常用于表示集合之间的相互关系二、元素与集合的关系4元素与集合是属于和 的从属关系，若 a 是集合 A 的元素，记作 ，若 a 不是集合B 的元素，记作 但是要注意元素与集合是相对而言的三、集合与集合的关系5集合与集合的关系用符号 表示6子集：若集合 A 中 都是集合 B 的元素，就说集合 A 包含于集合 B（或集合 B 包含集合 A），记作 7相等：若集合 A 中 都是集合 B 的元素，同时集合 B 中 都是集合 A 的元素，就说
4、集合 A 等于集合 B，记作 8真子集：如果 就说集合 A 是集合 B 的真子集，记作 9若集合 A 含有 n 个元素，则 A 的子集有 个，真子集有 个，非空真子集有 个10空集 是一个特殊而又重要的集合，它不含任何元素， 是任何集合的 ， 是任何非空集合的 ，解题时不可忽视 例 1. 已知集合 8|6AxN，试求集合 A的所有子集.解：由题意可知 是 的正约数，所以 x可以是 1,248；相应的 x为2,45，即 2,45. A的所有子集为 ,24,5,5.变式训练 1.若 a,bR,集合 10baa求 b-a 的值.解：由 1,0,ba可知 a0，则只能 a+b=0，则有以下对应关系：1
5、b或 1ab典型例题基础过关3 10/25/2019由得1,ab符合题意；无解.所以 b-a=2.例 2. 设集合 2,3Ua， |21|,Aa， 5UCA，求实数 a 的值.解：此时只可能 5，易得 或 4。当 2a时， ,A符合题意。当 4时， 93不符合题意，舍去。故 。变式训练 2：（1）Px|x22x30，Sx|ax20，S P，求 a 取值？（2）A2x5，Bx|m1x2m1，B A,求 m。解：（1）a0,S ， P 成立 a 0，S ，由 S P，P3，1得 3a20，a 或a20，a2； a 值为 0 或 23或 2.（2）B ，即 m12m1,m13.（2）A 中只有一个元
6、素，方程 mx2-2x+3=0 只有一个解.若 m=0，方程为-2x+3=0，只有一解 x= 32;若 m0，则 =0，即 4-12m=0,m=1.m=0 或 m=13.探究 1：若 A 中至多只有一个元素，求 m 的取值范围.答案：A 中至多只有一个元素包含 A 中只有一个元素和 A 是空集两种含义，根据（1）、（2）的结果，得4 10/25/2019m=0 或 m 13.变式训练 3.（1）已知 A=a+2，（a+1）2，a2+3a+3且 1A，求实数 a 的值；（2）已知 M=2，a，b，N=2a，2，b2且 M=N，求 a，b 的值.解：（1）由题意知：a+2=1 或(a+1)2=1
7、或 a2+3a+3=1，a=-1 或-2 或 0，根据元素的互异性排除-1，-2,a=0 即为所求.（2）由题意知, 2ab或 201ab或 或14,2ab根据元素的互异性得 或 412b即为所求.例 4. 若集合 A2，4， 327a，B1，a1， 2a， 21(38)a、327a，且 AB2，5，试求实数 的值解:2，5，2A 且 5A，则 325 (a2)(a1)(a1)0，a1 或 a1 或 a2当 a1 时，B1，0，5，2，4，与 AB2，5矛盾，a1当 a1 时，B1，2，1，5，12，与集合中元素互异性矛盾，a1当 a2 时，B1，3，2，5，25，满足 AB2，5故所求 a
8、的值为 2探究 2：已知集合 Aa，ad，a2d，Ba，aq， 2q ，其中 a0，若 AB，求 q 的值.答案：AB () 2q或 () ad2由()得 q1，由()得 q1 或 q1当 q1 时，B 中的元素与集合元素的互异性矛盾，q 211本节的重点是集合的基本概念和表示方法，对集合的认识，关键在于化简给定的集合，确定集合的元素，并真正认识集合中元素的属性，特别要注意代表元素的形式，不要将点集和数集混淆2利用相等集合的定义解题时，特别要注意集合中元素的互异性，对计算的结果要检验3注意空集 的特殊性，在解题时，若未指明集合非空，则要考虑到集合为空集的可能性4要注意数学思想方法在解题中的运用
9、，如化归与转化、分类讨论、数形结合的思想方法在解题中的应用小结归纳归纳小结5 10/25/2019第 2 课时 集合的运算一、集合的运算1交集：由 的元素组成的集合，叫做集合 A 与 B 的交集，记作 AB，即 AB 2并集：由 的元素组成的集合，叫做集合 A 与 B 的并集，记作 AB，即 AB 3补集：集合 A 是集合 S 的子集，由 的元素组成的集合，叫做 S 中子集 A 的补集，记作 SCA，即 SC 二、集合的常用运算性质1AA ，A ，AB= ，BA，AA ，A ，AB BA2 UA ， UAC ， ()UCA 3 ()CB ，U，4ABA ABA 例 1. 设全集 UR， |Mm
10、方程 210x有实数根 ， |Nn方程 20xn有实数根 ，求 ()CN.解：当 0m时， 1x，即 0；当 时， 4,即 14，且 0 14m， |UCM而对于 N， 140,n即 14， 1|4Nn. ()|UCx基础过关典型例题6 10/25/2019变式训练 1.已知集合 A= 6|1,R,xB=2|0,xm （1）当 m=3 时，求 ()RACB；（2）若 AB |14x，求实数 m 的值.解： 由 6,得 50.-1 x5,A= |15x.（1）当 m=3 时，B= |3x，则 RCB= |3x即， ()RACB=|5.(2)A= |,|14,xAx有 42-24-m=0,解得 m
11、=8.此时 B= |24,符合题意，故实数 m 的值为 8.例 2. 已知 |3Axa, |1Bx或 5.(1)若 B,求 的取值范围;(2) 若 ,求 的取值范围 .解:(1) A, 135a，解之得 2a.(2) B, B. 或 5， 4或 5a若 ,则 a的取值范围是 1,2；若 AB,则 的取值范围是 (,4)(5,).变式训练 2：设集合 A=2|30xB 22|(1)()0.xx（1）若 A B ,求实数 a 的值；（2）若 AB=A，求实数 a 的取值范围；（3）若 U=R，A （ UC）=A.求实数 a 的取值范围.解:由 x2-3x+2=0 得 x=1 或 x=2,故集合 A
12、=1,2. （1）A B 2,2 B，代入 B 中的方程，得 a2+4a+3=0,a=-1 或 a=-3;当 a=-1 时，B= 2|402,x满足条件；7 10/25/2019当 a=-3 时，B= 2|402,x满足条件；综上，a 的值为-1 或-3. （2）对于集合 B，=4（a+1）2-4(a 2-5)=8(a+3).A B=A，B A,当 0,即 a-3 时，B= ，满足条件；当 =0，即 a=-3 时，B ,，满足条件；当 0，即 a-3 时，B=A= 12.才能满足条件， 则由根与系数的关系得 21()5a即 2,7矛盾；综上，a 的取值范围是 a-3.（3）A （ UCB）=A
13、，A UB，A ; 若 B=，则 0 3a适合；若 B ，则 a=-3 时，B= 2，A B= ，不合题意；a-3，此时需 1B 且 2 B，将 2 代入 B 的方程得 a=-1 或 a=-3（舍去）；将 1 代入 B 的方程得 a2+2a-2=0 13.a-1 且 a-3 且 a-1 . 综上，a 的取值范围是 a-3 或-3a-1- 或-1- a-1 或-1a-1+ 3或 a-1+ . 例 3. 已知集合 A=2|()10,R,xxB |0x，试问是否存在实数 a，使得 AB？若存在，求出 a 的值；若不存在，请说明理由.解:方法一 假设存在实数 a 满足条件 AB=则有（1）当 A 时，
14、由 AB= ，B |x，知集合 A 中的元素为非正数，设方程 x2+(2+a)x+1=0 的两根为 x1,x2,则由根与系数的关系，得01;0,)(42xaa解 得（2）当 A=时，则有 =(2+a)2-40，解得-4a0.综上（1）、（2），知存在满足条件 AB=的实数 a,其取值范围是（-4，+）.方法二 假设存在实数 a 满足条件 A B ，则方程 x2+(2+a)x+1=0 的两实数根 x1，x 2至少有一个为正，8 10/25/2019因为 x1x2=10，所以两根 x1,x2均为正数.则由根与系数的关系，得 12()40,a解得 4,.2aa即即又集合 |4a的补集为 |,存在满足
15、条件 AB=的实数 a,其取值范围是（-4，+）.探究 1：设集合 A=（x,y）|y=2x-1,xN*,B=(x,y)|y=ax2-ax+a,xN*，问是否存在非零整数 a,使AB ？若存在，请求出 a 的值；若不存在，说明理由.解：假设 AB ，则方程组2yxa有正整数解，消去 y,得 ax2-(a+2)x+a+1=0.由 0，有（a+2）2-4a(a+1)0,解得- 23a.因 a 为非零整数，a=1，当 a=-1 时，代入（*）， 解得 x=0 或 x=-1,而 xN*.故 a-1.当 a=1 时，代入（*）,解得 x=1 或 x=2，符合题意.故存在 a=1,使得 AB ,此时 AB
16、=（1，1），（2，3）.探究 2：例 4. 已知 Axx22ax(4a3)0，xR，又 Bxx22 axa2a20，xR，是否存在实数 a，使得 AB ?若存在，求出实数的值；若不存在，说明理由解：1a2 即实数 (1，2)时， 探究 3：设集合 为函数 2ln(8)yx的定义域, 集合 为函数 1yx的值域,集合 C为不等式 1()40ax的解集 .（1）求 ；（2）若 RCA,求 a的取值范围解：（1）解得 A=（-4，2）， B= ,31, 。 所以 4,31,2B（2）a 的范围为 a0 1在解决有关集合运算题目时，关键是准确理解题目中符号语言的含义，善于转化为文字语言2集合的运算可以用韦恩图帮助思考，实数集合的交、并运算可在数轴上表示，注意在运算中运用数形结合思想3对于给出集合是否为空集，集合中的元素个数是否确定，都是常见的讨论点，解题时要有分类讨论的意识.小结归纳归纳小结
