2013高考数学必考点.doc-道客多多

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1、第 1 页共 58 页 2013 高中数学必考点01. 集合与简易逻辑集合与简易逻辑 1.一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真. 否命题逆命题.一个命题为真，则它的逆否命题一定为真. 原命题逆否命题.例：若 325bab或，则应是真命题.解：逆否：a = 2 且 b = 3，则 a+b = 5，成立，所以此命题为真. ，且1yx yx.解：逆否：x + y =3 x = 1 或 y = 2.2且 3,故是 21yx且的既不是充分，又不是必要条件.小范围推出大范围；大范围推不出小范围.1. 例：若 25x或， . 2. 集合运算：交、并、补. |,ABABxU交：且并：

2、或补：且C3. 主要性质和运算律（1）包含关系： ,; ;,.UAABCBAB（2）等价关系： UC1.整式不等式的解法根轴法（零点分段法）将不等式化为 a0(x-x1)(x-x2)(x-xm)0(0”,则找“线”在 x 轴上方的区间；若不等式是“b 解的讨论；一元二次不等式 ax2+box0(a0)解的讨论.0 0 0二次函数 cbxay2（ 0）的图象一元二次方程的根02acbx有两相异实根 )(,212x有两相等实根 abx21无实根的解集)(221或 R的解集)0(2acbx21x 2.分式不等式的解法（1）标准化：移项通分化为 )(xgf0(或 )(ff(x2),

3、则说 f(x) 在这个区间上是减函数.第 4 页共 58 页若函数 y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，则就说函数 y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数 y=f(x)的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数.2.函数的奇偶性7. 奇函数，偶函数：偶函数： )(xff设（ ba,）为偶函数上一点，则（ ba,）也是图象上一点.偶函数的判定：两个条件同时满足定义域一定要关于 y轴对称，例如： 12xy在 ),上不是偶函数.满足 )(xff，或 0)(fxf，若 0(f时， 1)(xf.奇函数： ff设（ ba,）为奇函数上一点，则（ ba,）也是图象上一点.奇

4、函数的判定：两个条件同时满足定义域一定要关于原点对称，例如： 3xy在 )1,上不是奇函数 .满足 )(xff，或 0)(fxf，若 0(f时， 1)(xf.8. 对称变换：y = f（x））（轴对称 xfyy y =f（x））（轴对称 xfy =f（x））（原点对称 fy9. 判断函数单调性（定义）作差法：对带根号的一定要分子有理化，例如： 212122121 )()( bxxbxff ）（第 5 页共 58 页 xy在进行讨论.10. 外层函数的定义域是内层函数的值域.例如：已知函数 f（x ）= 1+ x1的定义域为 A，函数 ff（x）的定义域是 B，则集合 A

5、与集合 B 之间的关系是 . 解： )(f的值域是 )(f的定义域 B， )(xf的值域 R，故，而 A 1|x，故A.11. 常用变换： )()()( yfxfyfxyf .证： )()( yffxfff )()()( yfyfxyf 证： )(fxfyff 12. 熟悉常用函数图象：例： |2xy |关于 y轴对称. |21xy|1xy|21xy x x(0,1) x(-2,)|12|y |y关于 x轴对称.熟悉分式图象：例： 3721xy定义域 ,3|Rx，值域 ,|R值域前的系数之比.（三）指数函数与对数函数指数函数 )10(aayx且的图象和性质a1 00 时，y1;x0 时

6、，01.性质（5）在 R 上是增函数（5）在 R 上是减函数对数函数 y=logax 的图象和性质:对数运算： nanaaacbbaNana aaa NMNNM1121 loglog.logloglogloglog1logll logloglogll)(l 32l )12)1(推论：换底公式：（以上 10且.a,c0,b0,0,N0,M n21 ）第 7 页共 58 页注：当 0,ba时， )log()l()log(baba .：当 M时，取“+ ”，当 n是偶数时且 0M时， n，而 0，故取“”.例如： xxxaaal2(llog2中 x0 而 2lxa中 xR）. y（

7、 1,0）与 ylog互为反函数.当 1a时， xalog的值越大，越靠近 x轴；当 10a时，则相反.a1 01a0)1,0(x时 0y 时性质（5）在（0，+）上是增函数在（0，+）上是减函数第 8 页共 58 页（四）方法总结.相同函数的判定方法：定义域相同且对应法则相同.对数运算： nanaaacbbaNanaaaaNMNN1121 loglog.logllogll1logoglllogog)(3l )12)1( 推论：换底公式：（以上 10且.a,1c0,b0,0,N0,M n2 ）注：当 0,ba时， )log()l()log(bab .：当 M时，取“+ ”

8、，当 n是偶数时且 0M时， n，而 0，故取“”.例如： xxaaal2(llog2中 x0 而 2lxa中 xR）. y（ 1,0）与 ylog互为反函数.当 1a时， xalog的值越大，越靠近 x轴；当 10a时，则相反.函数表达式的求法：定义法；换元法；待定系数法.反函数的求法：先解 x,互换 x、y，注明反函数的定义域(即原函数的值域).函数的定义域的求法：布列使函数有意义的自变量的不等关系式，求解即可求得函数的定义域.常涉及到的依据为分母不为 0；偶次根式中被开方数不小于 0；对数的真数大于 0，底数大于零且不等于 1；零指数幂的底数不等于零；实际问题要考虑实际意义等.函数值域

9、的求法：配方法(二次或四次)；“判别式法”；反函数法；换元法；不等式法；函数的单调性法.单调性的判定法：设 x1,x 2是所研究区间内任两个自变量，且 x1x 2；判定第 9 页共 58 页 f(x1)与 f(x 2)的大小；作差比较或作商比较.奇偶性的判定法：首先考察定义域是否关于原点对称，再计算 f(-x)与 f(x)之间的关系：f(-x)=f(x)为偶函数；f(-x)=-f(x)为奇函数；f(-x)-f(x)=0 为偶；f(x)+f(-x)=0 为奇；f(-x)/f(x)=1 是偶；f(x)f(-x)=-1 为奇函数.图象的作法与平移：据函数表达式，列表、描点、连光滑曲线；利用熟知函数

10、的图象的平移、翻转、伸缩变换；利用反函数的图象与对称性描绘函数图象.03. 数数列列知识要点知识要点1. 等差、等比数列：等差数列等比数列定义常数）为 (1daPAann 常数）为 (1qaPGann通项公式 n= 1+（n-1）d= k+（n-k）d= +a-dknq1等差数列等比数列定义 dan1 )0(1qan递推公式； mdan1； mna通项公式dnan)1(nqa（ 0,）中项 2kA（ 0,*nNk）)(knknaG（0,*Nkn）前 n项和 )(21aSdnn)2(1)(1qaqaSnnn重要性质 ),(*qpmNqpnmaan ),(*qpnmNqpnaaq

11、pnm 第 10 页共 58 页求和公式 ndadsn)2()1(121)1(1)(1 qaqansnn中项公式 A=b 推广：2 n=mna bG2。推广： mna1 若 m+n=p+q 则 qpna若 m+n=p+q，则 qpa。2 若 nk成 A.P（其中 Nk）则nka也为 A.P。若 nk成等比数列（其中 Nkn），则 nka成等比数列。3 nnss232, 成等差数列。 nss232,成等比数列。4 )(1maadnn1aqn， mnaq )(性质5看数列是不是等差数列有以下三种方法： ),2(1为常数dnan2 ( ) bkna( ,为常数).看数列是不是等比数列有以下

12、四种方法： )0,2(1且为常数qn 2a( ， 1na)注：i. cb，是 a、 b、 c 成等比的双非条件，即 acba、 b、 c 等比数列.ii. a（ac0）为 a、 b、 c 等比数列的充分不必要.iii. cb为 a、 b、 c 等比数列的必要不充分.第 11 页共 58 页 iv. acb且 0为 a、 b、 c 等比数列的充要.注意：任意两数 a、 c 不一定有等比中项，除非有 ac0，则等比中项一定有两个. nq( ,为非零常数).正数列 n成等比的充要条件是数列 nxalog（ 1）成等比数列.数列 na的前项和 nS与通项 na的关系： )2(1nsn注： dd

13、n11（可为零也可不为零为等差数列充要条件（即常数列也是等差数列）若不为 0，则是等差数列充分条件）.等差 na前 n 项和 ndaBnASn 212 可以为零也可不为零为等差的充要条件若 d为零，则是等差数列的充分条件；若不为零，则是等差数列的充分条件. 非零常数列既可为等比数列，也可为等差数列.（不是非零，即不可能有等比数列）2. 等差数列依次每 k 项的和仍成等差数列，其公差为原公差的 k2 倍.,232kkkSS；若等差数列的项数为 2 Nn，则，奇偶 ndS1naS偶奇；若等差数列的项数为 1，则 na12，且偶奇， 1nS偶奇得到所求项数到代入 12n. 3

14、. 常用公式：1+2+3 +n = 2n 613212 2n注：熟悉常用通项：9，99，999， 10na； 5，55，555， 1095na.4. 等比数列的前 n项和公式的常见应用题：生产部门中有增长率的总产量问题. 例如，第一年产量为 a，年增长率为 r，则每年的产量成等比数列，公比为 r1. 其中第 n年产量为 1)(nr，且过年后总产量为：.)1()(.)1()(2 raara银行部门中按复利计算问题. 例如：一年中每月初到银行存 a元，利息为 r，每月利息按复利计算，则每月的 a元过 n个月后便成为 nra)(元. 因此，第二年年初可存款：第 12 页共 58 页 )1(.)1

15、()()1( 02 rararra = )1(2r.分期付款应用题：为分期付款方式贷款为 a 元；m 为 m 个月将款全部付清； r为年利率. 1111.112 mmm raxrxrxrrxrxra5. 数列常见的几种形式： nnqapa12（p 、 q 为二阶常数）用特证根方法求解.具体步骤：写出特征方程 qPx2（ 2对应 2na，x 对应 1na），并设二根 21,x若21x可设 nnxca21.，若 21可设 c1)(；由初始值 2,a确定 ,c. rPn（P 、 r 为常数）用转化等差，等比数列；逐项选代；消去常数 n转化为 nqaa12的形式，再用特征根方法求 na； 12n

16、Pc（公式法），1,c由 ,确定.转化等差，等比： 1)(11 rxPxPnnn .选代法： raran2 xPaann11 )()(Pan21.用特征方程求解：相减，rPan11na 11nnn PaaP）（ .由选代法推导结果： rrcPrccn1212 ）（， .2. 判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：(1)定义法:对于 n2 的任意自然数,验证 )(1nna为同一常数。(2) 通项公式法。(3)中项公式法: 验证 21naNn(221都成立。3. 在等差数列 na中,有关 Sn 的最值问题：(1)当 1a0,d0 时，满足 01m的项数 m 使得 s取最小值。在解第

17、13 页共 58 页含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。（三）、数列求和的常用方法1. 公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。2.裂项相消法:适用于 1nac其中 na是各项不为 0 的等差数列，c 为常数；部分无理数列、含阶乘的数列等。3.错位相减法:适用于 nb其中 n是等差数列， nb是各项不为 0 的等比数列。4.倒序相加法: 类似于等差数列前 n 项和公式的推导方法.5.常用结论1）: 1+2+3+.+n = 2)1(n 2） 1+3+5+.+(2n-1) =3）233)1(1n4） )(622 5） 1)(1nn 21)(n6） )(qpqp04

18、. 三角函数三角函数知识要点知识要点1. 三角函数的定义域：三角函数定义域)(xfsinx Rx|cosxftanx Zkx,21| 且)(fcotx x|且secx kRx,|且第 14 页共 58 页 )(xfcscx ZkxR,|且8、同角三角函数的基本关系式： tancosi cotsi 1cotansin 1esi2taec2 t29、诱导公式： k把的三角函数化为的三角函数，概括为：“奇变偶不变，符号看象限”三角函数的公式：（一）基本关系公式组二公式组三xkcot)2cot(ananssi)i(xcot)t(ansi)i(公式组四公式组五

19、公式组六 xcot)ct(anassi)i(xcot)2t(ansi)i(xcot)t(ansi)i(（二）角与角之间的互换公式组一公式组二sincos)cos(cosin2i222sin1csicos sincosin)si(2tan1ta iii cositan1t)tan(21cs tt)t(公式组三公式组四公式组五2tan1si公式组一sinxc=1taxcosini2x+cs=1oeitaeta2coscs21sinocosinsi21sinco sinco1sico2tansi)2(co1sin第 15 页共 58 页 2tan1cos2 tat24675cos1i

20、n, 42615cos7in, 3275cot1tan, 3215cot7tan.10. 正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质： xAysin（A、 0）定义域 R R R值域 1,1,R R ,周期性 222奇偶性奇函数偶函数奇函数奇函数当 ,0非奇非偶当 ,奇函数单调性2,k上为增函数； 23,k上为减函数（ Zk）,1k；上为增函数1,上为减函数（ Z）k2,上为增函数（ Zk）1,k上为减函数（ Z） )(21),(Ak上为增函数； )(23),(Ak上为减函数（ Zk）注意： xysin与 xysi的单调性正好相反； xycos与 xycs的单调性也同样相反.一般地，若

21、)(f在 ,ba上递增（减），则 )(f在 ,ba上递减（增）.2cossin2isniscsiiZkx,21|且 Zkx,|且ycotytanxycosxysin sin)21cos(s)si(cttacottanOyx第 16 页共 58 页 xysin与 xcos的周期是 . )(或 )(y（ 0）的周期 2T.2tay的周期为 2 （ 2T，如图，翻折无效）. )sin(x的对称轴方程是 kx（ Z），对称中心（ 0,k）；coy的对称轴方程是（），对称中心（ 21）；)ta(x的对称中心（ 0,2）. xyycos)s(2cs 原点对称当 tan ,1)(Zk； tan

22、,1)(2Zk. xycos与 2i是同一函数,而 )(xy是偶函数，则)cos()()( xk.函数 xytan在 R上为增函数.（）只能在某个单调区间单调递增 . 若在整个定义域，为增函数，同样也是错误的.定义域关于原点对称是 )(xf具有奇偶性的必要不充分条件.（奇偶性的两个条件：一是定义域关于原点对称（奇偶都要），二是满足奇偶性条件，偶函数： )(xf，奇函数：)(xff）奇偶性的单调性：奇同偶反. 例如： xytan是奇函数， 31tan(xy是非奇非偶.（定义域不关于原点对称）奇函数特有性质：若 x0的定义域，则 )(f一定有 0)(f.（的定义域，则无此性质） xysin不是

23、周期函数； ysin为周期函数（ T）；co是周期函数（如图）； xco为周期函数（）；21sxy的周期为（如图），并非所有周期函数都有最小正周期，例如： Rkff),(5)(. abbabay cos)sin(sinco2 有 y2.11、三角函数图象的作法：）、几何法： yx=cos|图象 1/2yx|cos+图象第 17 页共 58 页）、描点法及其特例五点作图法（正、余弦曲线），三点二线作图法（正、余切曲线）.）、利用图象变换作三角函数图象三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等函数 yAsin（x ）的振幅|A|，周期 2|T，频率 1|2fT，相位 ;x初相（

25、轴方向的平移(用 x 替换x)由 ysinx 的图象上所有的点向上（当 b0）或向下（当 b0）平行移动b个单位，得到 ysinxb 的图象叫做沿 y 轴方向的平移（用 y+(-b)替换 y）由 ysinx 的图象利用图象变换作函数 yAsin（x ）（A0，0）（xR）的图象，要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象延 x 轴量伸缩量的区别。05. 平面向量平面向量知识要点知识要点1.向量的运算运算类型几何方法坐标方法运算性质向量的加法1.平行四边形法则2.三角形法则 12(,)abxyab()()cACB向量的减法三角形法则 12(,)xy ()ab第 18

26、页共 58 页 AB, ABO数乘向量1. a是一个向量,满足:|2. 0 时, 与同向;b 解的讨论；一元二次不等式 ax2+bx+c0(a0)解的讨论.（2）分式不等式的解法：先移项通分标准化，则 ()0()()0()0;fxgfxfxfgg （3）无理不等式：转化为有理不等式求解()()ffxxg定义域 10)()(0)(2xfxfgf 或 2)(0)(xgfxgf 2 3（4）.指数不等式：转化为代数不等式 ()() ()()1;1()0,()lgfxg fxgafaafbb（5）对数不等式：转化为代数不等式 0()0log()l()1();log()l()01aa aafx f

27、xfx fxg （6）含绝对值不等式应用分类讨论思想去绝对值；应用数形思想； 1 2应用化归思想等价转化 3 )()(0)(,0)(|)(| xgfxfgxgfxgxf 或或不同时为注：常用不等式的解法举例（x 为正数）： 2 31124()()()7x 第 25 页共 58 页 222 3(1)1423(1) ()79xxyxy y类似于 2sincosini， 1|()2x与同号，故取等第 26 页共 58 页 07. 直线和圆的方程直线和圆的方程知识要点知识要点1. 直线的交角：直线 1l到 2的角（方向角）；直线 1l到 2的角，是指直线 1l绕交点依逆时针方

28、向旋转到与 2l重合时所转动的角，它的范围是 ),0(，当 90时 21tank.两条相交直线 1l与 2的夹角：两条相交直线 1l与 2的夹角，是指由 l与相交所成的四个角中最小的正角，又称为 1l和 2所成的角，它的取值范围是 2,0，当 90，则有21tank.2. 过两直线 0:2211CyBxAl的交点的直线系方程(0)(2211 CyBxACyBxA为参数，不包括在内）3. 点到直线的距离：点到直线的距离公式：设点 ),(0yxP，直线 Pyxl,0:到 l的距离为 d，则有20BAyxd.注：1. 两点 P1(x1,y1)、P 2(x2,y2)的距离公式： 212121)

29、()(| yxP.特例：点 P(x,y)到原点 O 的距离： |y2. 定比分点坐标分式。若点 P(x,y)分有向线段 1212P所成的比为即 ,其中 P1(x1,y1),P2(x2,y2).则 ,112yx特例，中点坐标公式；重要结论，三角形重心坐标公式。3. 直线的倾斜角（0 180）、斜率: tank4. 过两点 1221),(),( xyyx的直线的斜率公式： . 12()x当 2121,x（即直线和 x 轴垂直）时，直线的倾斜角 90，没有斜率新疆学案王新敞两条平行线间的距离公式：设两条平行直线 )(:,: 212211 CByAxlCByAxl

30、，第 27 页共 58 页它们之间的距离为 d，则有 21BAC.注；直线系方程1. 与直线：Ax+By+C= 0 平行的直线系方程是：Ax+By+m=0.( mR, Cm).2. 与直线：Ax+By+C= 0 垂直的直线系方程是：B x-Ay+m=0.( mR)3. 过定点（x 1,y1）的直线系方程是： A(x-x1)+B(y-y1)=0 (A,B 不全为 0)4. 过直线 l1、 l2 交点的直线系方程：（A 1x+B1y+C1）+( A2x+B2y+C2）=0 (R）注：该直线系不含 l2.7. 关于点对称和关于某直线对称：关于点对称的两条直线一定是平行直线，且这个点到两直线的距

31、离相等.关于某直线对称的两条直线性质：若两条直线平行，则对称直线也平行，且两直线到对称直线距离相等.若两条直线不平行，则对称直线必过两条直线的交点，且对称直线为两直线夹角的角平分线.点关于某一条直线对称，用中点表示两对称点，则中点在对称直线上（方程），过两对称点的直线方程与对称直线方程垂直（方程）可解得所求对称点.注：曲线、直线关于一直线（ bxy）对称的解法：y 换 x，x 换 y. 例：曲线 f(x ,y)=0关于直线 y=x2 对称曲线方程是 f(y+2 ,x 2)=0. 曲线 C: f(x ,y)=0 关于点(a ,b)的对称曲线方程是 f(a x, 2b y)=0. 二、圆的方程.1

32、. 圆的标准方程：以点 ),(baC为圆心， r为半径的圆的标准方程是 22)()(rbyax.特例：圆心在坐标原点，半径为的圆的方程是： 2ryx.注：特殊圆的方程：与 x轴相切的圆方程 2)()(ba ),(,ba或圆心与 y轴相切的圆方程 22)()(bya ),(,bar或圆心与 x轴轴都相切的圆方程 2ax ,圆心2. 圆的一般方程： 02FEyDx .当 042FED时，方程表示一个圆，其中圆心 2,EDC，半径 24FEDr.当 2时，方程表示一个点 2,.当 04时，方程无图形（称虚圆） .注：圆的参数方程： sincorbyax（为参数）.方程 022 FEDCB

33、Ax表示圆的充要条件是： 0B且 0CA且第 28 页共 58 页 042AFED.圆的直径或方程：已知 0)()(),(),( 212121 yxyxBA （用向量可征）.3. 点和圆的位置关系：给定点 ),(0M及圆 22)()(:rbyaC.M在圆 C内 220)(rbyax 在圆上 0)(（在圆外 220)(rbyax4. 直线和圆的位置关系：设圆圆 C： )0()()(22r；直线 l： )0(2BACyAx；圆心 ),(ba到直线 l的距离 2BACbad. rd时， l与 C相切；附：若两圆相切，则 02211FyExDy相减为公切线方程. rd时， l与相交；附：公

34、共弦方程：设有两个交点，则其公共弦方程为 0)()()( 212121 FyExD. rd时， l与 C相离. 附：若两圆相离，则 02211Fyxy相减为圆心 21O的连线的中与线方程.由代数特征判断：方程组 )()(CBArba用代入法，得关于 x（或 y）的一元二次方程，其判别式为，则：l0与 C相切；与相交；l与相离.注：若两圆为同心圆则 0112FyExDy， 022FyExDy相减，不表示直线.5. 圆的切线方程：圆 2ryx的斜率为 k的切线方程是 rkxy21过圆02FEyDx0:22111yxy第 29 页共 58 页上一点 ),(0yxP的切线方程为： 0200

35、FyExDyx .一般方程若点(x 0 ,y0)在圆上，则( x a)(x0 a)+(y b)(y0 b)=R2. 特别地，过圆2r上一点的切线方程为 r.若点 x0 ,y0)不在圆上，圆心为(a,b) 则 1)(2001Rxakyb，联立求出 k切线方程.1.求曲线方程的方法：.1）直接法：建系设点，列式表标,简化检验; 2）参数法; 3）定义法， 4）待定系数法.ABCD(a,b)第 30 页共 58 页 08. 圆锥曲线方程知识要点一、椭圆方程.椭圆的标准方程：i. 中心在原点，焦点在 x 轴上： )0(12bay. ii. 中心在原点，焦点在 y轴上：)0(12baxy. 一般方

36、程： )0,(12BAyx.椭圆的标准参数方程： 12byax的参数方程为sincobyax（一象限应是属于 2）.顶点： ),0(b或 )0,(,ba.轴：对称轴：x 轴， y轴；长轴长 a2，短轴长 b2.焦点： ,)(c或 ,c.焦距： 221,bacF.准线： cx或ay2.离心率： )0(ea.焦点半径：i. 设 ),(0xP为椭圆 12byx上的一点， 21,为左、右焦点，则由椭圆方程的第二定义可以推出.ii.设 ),(0y为椭圆 )0(2ab上的一点， 21,F为上、下焦点，则由椭圆方程的第二定义可以推出.由椭圆第二定义可知： )0()(),()( 020201 xaecpxe

37、cxepF 归结起来为“左加右减”.注意：椭圆参数方程的推导：得 )sin,o(baN方程的轨迹为椭圆. 通径：垂直于 x 轴且过焦点的弦叫做通经.坐标： ),(22abcd和 ),(2共离心率的椭圆系的方程：椭圆 )0(12bayx的离心率是 )2bace，方程 tbyax(2是大于 0 的参数， )0ba的离心率也是 ac 我们称此方程为共离心率的椭圆系方程.若 P 是椭圆： 12byax上的点. 21,F为焦点，若 21PF，则 21F的面积为2tanb（用余弦定理与 aP可得）. 若是双曲线，则面积为 cotb.二、双曲线方程.双曲线标准方程： )0,(1),0,(122 baxybyax. 一般方程：)0(12ACyx.0201,exaPFexa0201,yy asin,()Nyx的轨迹是椭圆

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