1、第 26 卷 第 6 期2010 年 6 月电网与清洁能源Power System and Clean EnergyVol.26 No.6Jun. 2010文章编号： 1674-3814（ 2010） 06-0028-05 中图分类号： TM714 文献标志码： A基于快速傅里叶变换的谐波和间谐波检测修正算法黄 峰，杨洪耕（四川大学 电气信息学院，成都 610065）A Modified Algorithm Based on Fast Fourier Transform for Harmonics andInterharmonics DetectionHUANG Feng, YANG Hong
2、-geng（ School of Electrical Engineering and Information, Sichuan University, Chengdu 610065, Sichuan Province, China）ABSTRACT： Thispaperpresentsamodifiedalgorithmbasedontheanalysis ofthe Fast Fourier Transform (FFT) algotithm due toitsspectral leakage and picket fence effects， and investigates thesp
3、ectral interruptions between harmonics and inter-harmonicsunderunsynchronizedsampling. ThroughsimpletransformsofFFTalgorithm, themodifiedalgorithmcanreducetheleakageerror, andbydetectingtheharmonicsandinter-harmonicsseparatelybymeansof the frequency-domain interpolation it can offset the spectralint
4、erruption between harmonics and inter-harmonics. Results arecompared with those obtained by the direct application of aconventionalFFTalgorithmwithoutcorrections. Itisshownthatthesolutionsobtained bythemodified algorithmaremoreaccuratewithreasonablecomputationaltime.KEY WORDS: Fast Fourier Transform
5、（ FFT）； leakage effect；frequency-domain interpolation； harmonic； interharmonic摘要：详细分析了 FFT算法的频谱泄露和栅栏现象，研究了非同步采样下谐波和间谐波之间的频谱干扰特性，在此基础上提出了修正算法 。该算法通过对 FFT算法做简单变换，减少了频谱泄露误差，利用频域插值算法对谐波和间谐波分开进行分析检测，抑制了谐波和间谐波之间的相互干扰 。结果表明，与直接运用 FFT算法相比，提出的电力系统谐波和间谐波检测方法具有检测精度高和响应速度快的特点 。关键词：快速傅里叶变换（ FFT）；频谱泄露；频域插值；谐波；间谐波
6、0 引言目前快速傅里叶变换 （ Fast Fourier Transform，FFT）已经应用于谐波的频谱分析1-6，但是随着非线性元件的广泛应用，电力系统中不仅有谐波，还有间谐波7-8，且电力系统的频率也不是保持固定不变，利用 FFT算法检测谐波时存在频谱泄露和栅栏现象，导致检测出的谐波的频率 、幅值和相位存在较大误差，不能满足检测的精度要求 。将离散傅里叶变换（ DFT）应用于谐波及间谐波检测，计算效率高，且分辨率较高，可以用于处理噪声信号9-12。采用加窗13和插值14-15技术可以减少频谱泄露，提高分辨率，但是不能从根本上杜绝频谱泄露 。多项式插值技术利用 DFT，将采样信号从时域转变
7、到频域，在频域利用插值技术可以算出正确的基波频率16。该方法计算速度快，分辨精度高，且能有效地改良频谱泄露的影响 。本文提出一种基于 FFT的修正算法来检查信号中的谐波和间谐波，能有效减少信号检测中基波频率变化的影响，克服较低的频率分辨率 。该算法通过对 FFT算法做简单变换，减少了频谱泄露误差，利用频域插值算法对谐波和间谐波分开进行分析检测，抑制了谐波和间谐波之间的相互干扰 。仿真结果表明，本文提出的电力系统谐波和间谐波检测方法具有检测精度高和响应速度快等特点 。1 检测谐波和间谐波的修正算法假设有一信号 v（ t），对其采样：v（ n） =v（ t）t=nTsn=0， 1， 2， ， N-
8、 1 （ 1）智 能电网Smart Grid第 26 卷 第 6 期 电网与清洁能源式中， Ts=1/fs，为采样间隔时间， fs为采样频率； N为每个周期采样点数 。一般采样信号可以分为 2个部分：v（ n） =vh（ n） +vi（ n） （ 2）式中， vh（ n）为基波和谐波分量； vi（ n）为间谐波分量 。1.1 频谱泄露和栅栏效应FFT应用于信号处理时，由于时域波形某小段时间被截断会引起频谱泄露 。当采样频率和周期一定时，基频频率波动会加剧频谱泄露，从而导致检测结果存在较大误差 。为了减少频谱泄露的影响，可以选取合适的采样频率，使得时域的采样数据是基波周期的整数倍，即：fs=Ns
9、fd（ 3）式中， Ns为每个基波周期的采样点数； fs为采样频率；fd为基波频率，可通过频域插值算法求取 。此外，在非同步采样时，由于实际信号的各次谐波分量频谱并不能准确落在频率分辨点上，而是落在两个频率分布点之间，因此，通过 FFT并不能得到各次谐波分量的准确值，而只能以临近频率分辨点的值来近似代替，这就是通常所说的栅栏效应 。为了减少栅栏效应的影响，可以选取合适的频率分辨率 。如果采样频率和采样点数相等，此时频率分辨率为 1 Hz，即：fr=fs/N （ 4）式中， fr为频率分辨率； N为采样点数 。然而，谐波频率过高，采样数据随着增多，此时谐波检测的实时性将会降低 。为了防止栅栏效应
10、，可以采用频域插值算法估计间谐波，且不存在频率分辨率的问题 。1.2 谐波和间谐波频谱的相互干扰FFT是对信号离散时间傅里叶变换（ DTFT）频域采样17-18。当信号中只含谐波成分且同步采样时， FFT 所得谐波参数是完全准确的，不存在相互干扰 。当信号中存在间谐波时，由于此时采样对间谐波而言是非同步的，其 DTFT在谐波对应的离散频点上不为 0，此时通过 FFT检测到的谐波参数就会有误差 。根据时域频域的相互关系，可以通过加长采样窗口的长度使各分量频谱接近脉冲信号，以减小间谐波对谐波的干扰，但是实时性将会变差 。谐波对间谐波频谱存在干扰，由于 FFT谐波频谱在除了整数倍基频点外的其他频点上
11、为 0，因此，以 5 Hz为频率分辨率的各个离散频谱（去除谐波对应频点）为间谐波单独作用的结果 。当谐波与间谐波的频率差大于半个主瓣宽度时（对应矩形窗为10 Hz），谐波在 FFT结果上对间谐波主瓣内谱线没有影响，间谐波检测的误差主要是由栅栏效应和各个间谐波之间的频谱干扰所引起 。但当所加窗的主瓣较宽时，或间谐波的频率与某一谐波频率之差小于主瓣宽度时，谐波在 FFT 结果上就会对间谐波产生影响 。1.3 谐波和间谐波检测过程本文提出检测谐波和间谐波的基本原理和主要步骤如下 。1）以预定的采样频率 fs和采样间隔 Ts对待检测信号 v（ t）在时域进行采样 。2）运用频域插值算法16算出正确的基
12、波频率 fs。3）运用频域插值算法求出待检测信号中的基波和谐波成分 vh（ n） 。4）将步骤 3）中检测出的基波和谐波分量 vh（ n）从采样信号 v（ n）中去掉，即得到间谐波分量，即：vi（ n） =v（ n） -vh（ n） （ 5）5）利用频域插值算法算出间谐波分量 vi（ n）中幅值最大的间谐波分量的幅值 、相位和频率 。6）将 vi（ n）中的幅值最大的间谐波分量去除 。7）验证是否满足收敛标准 。满足，则停止检测；不满足，则返回步骤 5）继续计算间谐波分量 。2 仿真过程及结果为了验证修正算法检测谐波和间谐波的实用性，仿真信号和实际信号将分别在 Matlab7.0中进行试验，并
13、与其他算法进行比较分析 。2.1 仿真信号设含有多个谐波和间谐波分量的采样信号v（ t） =100 cos（ f2t+11） +27cos（ 3f2t+22） +18cos（ 5f2t+33） +11cos（ 7f2t+44） +9cos（ 11f2t+55） +7cos（ 13f2t+66） +4cos（ 277.72t+36） +3cos（ 393.92t+49） （ 6）f=50.5 Hz电力系统中基波频率一般并不是保持 50 Hz固智 能电网Smart Grid29定 不变的，而是在一定范围内波动 。GB/T 15945-1995规定电力系统的频率偏差范围为 0.20.5 Hz。现考虑
14、非同步采样下信号基波频率为 f=50.5 Hz, 更加贴近实际电网频率波动的情况 。现对式（ 6）所示信号做仿真分析，信号具体参数如表 1所示， FFT变换的频谱图如图 1所示 。采样频率为 10 kHz，采样窗口长度为 M=10个基波周期 。分别采用 3种方法对谐波和间谐波参数进行计算 ,方法 1为传统 FFT方法，方法 2为频域插值法，方法 3为本文修正算法 。谐波和间谐波的计算结果及相对误差如表 2和表 3所示 。由表 2和表 3知，检测出的基波频率（ 50.5 Hz）偏离额定基波频率（ 50.0 Hz）0.5 Hz。由检测结果可知，当电力系统基波频率波动时，随着谐波次数的增大，频谱泄露
15、和栅栏效应影响增大， FFT所得计算结果误差越来越大，导致检测结果出现较大误差，尤其是相位的计算结果已完全不可信 。方法 2在信号不含间谐波时能较准确地测量出谐波分量，当信号中含有间谐波时，由于谐波和间谐波之间的相互干扰，且谐波在信号中含量很图 1 基于 FFT的检测信号频谱图表 2 仿真信号参数及结果对比修 正算法频 率 /Hz 幅 值 /pu 相 位 /（ ） 幅 值 /pu 相 位 /（ ） 幅 值 /pu 相 位 /（ ） 幅 值 /pu 相 位 /（ ）50.5(1st) 100 11 98.691 2 28.880 0 100.009 8 11.010 5 100.009 8 11
16、.010 5151.5(3rd) 27 22 22.827 0 76.939 0 26.999 4 22.002 3 26.999 4 22.002 3252.5(5th) 18 33 11.572 4 - 60.031 0 18.070 5 33.823 6 18.070 5 33.823 6353.5(7th) 11 44 9.685 4 - 13.890 0 11.001 6 44.051 3 11.001 6 44.051 3555.5(11th) 9 55 8.624 4 71.545 0 9.001 4 55.018 2 9.001 4 55.018 2656.5(13th) 7
17、66 5.650 0 120.490 0 6.999 5 65.992 1 6.999 5 65.992 1277.7 4 36 4.018 4 - 57.589 0 1.001 0 244.175 5 4.000 6 36.032 0393.9 3 49 3.202 4 - 2.399 6 1.581 7 - 26.293 7 2.999 9 48.995 6仿 真信号 FFT 频 域插值算法表 3 仿真信号误差对比相 位相对误差 /%频 率 /Hz 幅 值 /pu 相 位 /（ ） 方 法 1 方 法 2 方 法 3 方 法 1 方 法 2 方 法 350.5(1st) 100 11 -
18、1.31 0.01 0.01 162.55 0.01 0.01151.5(3rd) 27 22 - 15.46 - 0.01 - 0.01 249.72 0.01 0.01252.5(5th) 18 33 - 35.71 0.39 0.39 - 281.91 2.50 2.50353.5(7th) 11 44 - 11.95 0.02 0.02 - 131.57 0.12 0.12555.5(11th) 9 55 - 4.17 0.02 0.02 30.08 0.01 0.01656.5(13th) 7 66 - 19.29 0.01 0.01 82.56 - 0.01 - 0.01277.7
19、 4 36 0.46 - 75.98 0.02 - 259.14 578.27 0.01393.9 3 49 0.68 - 47.28 - 0.01 - 104.90 - 153.66 0.01仿 真信号 幅 值相对误差 /%表 1 仿真信号参数p 波 形 fp/Hz Ap/V p/()1 基 波 50.5 100 112 谐 波 151.5 27 223 谐 波 252.5 18 334 谐 波 353.5 11 445 谐 波 555.5 9 556 谐 波 656.5 7 667 间 谐波 277.7 4 368 间 谐波 393.9 3 49黄 峰等：基于快速傅里叶变换的谐波和间谐波检
20、测修正算法 Vol.26 No.6智能电网Smart Grid30第 26 卷 第 6 期 电网与清洁能源由图 3和图 4，根据修正算法检测到的结果重构的波形和采样波形基本相同，验证了检测结果的准确性 。图 3 采样波形图 5和图 6分别为 FFT和修正算法检测时的信号频谱分布图 。图 5中由于基波和谐波对间谐波的干扰，只能看到基波和谐波频谱，间谐波只有在滤除了基波和谐波成分后可以看到，如图 6所示，可以清晰看出间谐波在 3035 Hz以及 6570 Hz附近，和检测结果一致，能够比较准确地检测出间谐波 。表 4 电弧炉启动电流谐波间谐波检测结果参 数 基 波 3次谐波 5次谐波 7次谐波 9
21、次谐波 11次谐波 间 谐波 间 谐波幅 值 /V 0.816 0 0.010 1 0.615 1 0.414 7 0.005 5 0.134 4 0.010 4 0.008 7频 率 /Hz 50.016 0 150.406 0 249.941 0 349.951 6 451.076 6 549.975 0 31.750 7 68.311 0相 位 /（ ） 47.195 0 - 148.647 8 10.618 5 102.900 2 102.139 4 71.724 9 47.195 0 36.991 1大，对邻近的间谐波频谱有较大影响，插值算法计算间谐波时结果有较大误差 。由表 2和表
22、 3知： 5次谐波对 5.5次间谐波的检测存在较大的影响，导致检测间谐波时幅值和相位结果均存在较大的误差 。本文通过对算法修正，先检测基波和谐波部分，然后消除谐波对间谐波频谱的影响，计算得到的间谐波和谐波参数精度较高，且计算量很小，由只含间谐波频谱的图 2可以清晰看出，间谐波在 250300 Hz以及 400 Hz附近 。修正算法在系统频率波动和信号中含有间谐波的情况下，都能检测出较好的结果，而且修正算法的计算量与 FFT和插值算法相比，并没有增加，检测精度却优于 FFT和插值算法 。2.2 实际信号根据电弧炉启动过程中实测电流数据进行频谱分析，采用 MATLAB分析计算，验证修正算法检测实际
23、信号中间谐波频率 、幅值和相位的准确性 。信号采样频率为 5 kHz,，采样窗口长度为 M=10个基波周期，采样点数为 1 000，用修正算法对实际信号进行仿真分析，结果如表 4所示 。基波频率50.016 2 Hz,符合实际情况， 3次谐波和 9次谐波含量较小， 5次谐波和 7次谐波含量较大，间谐波在基波附近，且含量很小，不去除基波成分时很难检测到 。图 2 只含间谐波的信号频谱图图 4 根据检测结果重构波形智 能电网Smart Grid313 结论1）非同步采样时， FFT对谐波计算存在较大误差，且谐波频谱和间谐波频谱之间存在相互干扰 。2）频域插值方法能准确计算谐波的参数，但对基波和谐波
24、附近间谐波频谱计算存在较大误差 。3）本文先利用频率插值方法算出准确的基波和谐波成分 , 然后在时域去掉原信号中检测到的基波和谐波成分 , 大大抑制了基波和谐波对间谐波检测的干扰，提高了间谐波的检测精度，计算简单快速 。仿真结果表明了本文方法的准确性 。参考文献1 Santamaria-Caballero I, Pantaleon-Prieto C J, Ibanez-Diaz J， et al. Improved Procedures for Estimating Amplitudesand Phases of Harmonics with Application to VibrationA
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