1、1,牛顿,第二章 运动定律和力学中的守恒律前 言 2-1 牛顿运动定律 2-2 非惯性系 惯性力 2-3 动量 动量守恒定律 2-4 功 动能 势能 机械能守恒定律 2-5 角动量 角动量守恒定律 2-6 刚体的定轴转动 2-7 理想流体的伯努利方程,2,前 言,运动和物体相互作用的关系是人类几千年来不断探索的课题。,力的作用既有瞬时效应，又有积累效应：前者由牛顿定律描述，后者则由三大守恒律所描述；,在深一层次上，人们还发现，反映力在时、空过程中积累效应的三大守恒律是与时、空的某种对称性相联系的。,原来物体作何种运动，既与物体间的相互作用有关，又与物体自身的性质有关。当物体内部出现某种非线性因
2、素时，在一定条件下即可能导致混沌。,从17世纪开始，以牛顿定律为基础建立起来的经典力学体系，一直被认为是“确定论”的。但廿世纪80年代，人们发现了在“确定论”系统中，却可能出现“随机行为”。,在力学中，物体与物体间的相互作用称之为力。,为什么？,3,21 牛顿运动定律,2.1.1 惯性定律 惯性参照系,在运动的描述中，各种参考系都是等价的。但实验表明，动力学规律并非是在任何参考系中都成立。这就引出了惯性参考系的问题。,1、惯性定律,“孤立质点”的模型：,不受其它物体作用或离其他物体都足够远的质点。,例如，太空中一远离所有星体的飞船。,惯性定律：,一孤立质点将永远保持其原来静止或匀速直线运动状态
3、。,4,惯性和惯性运动,惯性运动：物体不受外力作用时所作的运动。,问题的提出：惯性定律是否在任何参照系中都成立？,惯性：任何物体都有保持其原有运动状态的特性，惯性是物质固有的属性。,惯性和第一定律的发现，使人们最终把运动和力分离开来。,、惯性系和非惯性系,左图中，地面观察者和车中观察者对于惯性定律运用的认知相同吗？,5,什么是惯性系：孤立物体相对于某参照系为静止或作匀速 直线运动时，该参照系为惯性系。,如何确定惯性系只有通过力学实验。,*1 地球是一个近似程度很好的惯性系,但,相对于已知惯性系作匀速直线运动的参照系也是惯性系。,一切相对于已知惯性系作加速运动的参照系为非惯性系。,*2 太阳是一
4、个精度很高的惯性系,太阳对银河系核心的加速度为, 马赫认为：所谓惯性系，其实质应是相对于整个宇宙的平均加速度为零的参照系因此，惯性系只能无限逼近，而无最终的惯性系。,6,牛顿第二定律：物体受到外力作用时，它所获得加速度的大小与合外力的大小成正比；与物体的质量成反比；加速度的方向与合外力 F 的方向相同。,比例系数k与单位制有关，在国际单位制中k=1。,2.1.2 牛顿第二定律 惯性质量 引力质量,其数学形式为,o 物体之间的四种基本相互作用；,1、关于力的概念,o 力是物体与物体间的相互作用，这种作用可使物体产生形变，也可使物体获得加速度。,力的概念是物质的相互作用在经典物理中的一种表述。,7
5、,3 o 力的叠加原理,若一个物体同时受到几个力作用，则合力产生的加速度，等于这些力单独存在时所产生的加速度之矢量和。,力的叠加原理的成立，不能自动地导致运动的叠加。,2、关于质量的概念,3、牛顿第二定律给出了力、质量、加速度三者间瞬时的定量关系,o质量是物体惯性大小的量度：,o引力质量与惯性质量的问题：,调节引力常数， 使m引，m惯的比值为1。,惯性质量与引力质量等价是广义相对论的出发点之一。,8,2.1.3 牛顿第三定律,1o作用力与反作用力是分别作用在两个物体上的，不是一对平衡力。,2o作用力与反作用力是同一性质的力。,3o若A给B一个作用，则A受到的反作用只能是B给予的。,* ：牛顿第
6、三定律只在实物物体之间，且运动速度远小于光速时才成立。,9,2.1.4 牛顿定律的应用,1、牛顿定律只适用于惯性系；,在平面直角坐标系,在平面自然坐标系,2、牛顿定律只适用于质点模型；,3、具体应用时，要写成坐标分量式。,10,若F=常量 ， 则,若F=F(v) ， 则,若F=F(r) ， 则,、要根据力函数的形式选用不同的方程形式,运用举例：,11,牛顿定律只适用于惯性系,例2.1 一细绳跨过一轴承光滑的定滑轮，绳的两端分别悬有质量为 和 的物体( )，如图2.2所示.设滑轮和绳的质量可忽略不计，绳不能伸长，试求物体的加速度以及悬挂滑轮的绳中张力.,解 分别以 ， 定滑轮为研究对象，其隔离体
7、受力如图2.2所示.,对 ，它在绳子拉力 及重力 的作用下以加速度 向上运动，取向上为正向，则有,对 ，它在绳子拉力 及重力 作用下以加速度 向下运动，以向下为正方向，则有,12,由于定滑轮轴承光滑，滑轮和绳的质量可以略去，所以绳上各部分的张力都相等；又因为绳不能伸长，所以 和 的加速度大小相等，即有,解和两式得,由牛顿第三定律知： ，又考虑到定滑轮质量不计，所以有,容易证明,13,设x轴正向沿斜面向下，y轴正向垂直斜面向上，则对m应用牛顿定律列方程如下：,例2.2 升降机内有一光滑斜面，固定在底板上，斜面倾角为.当升降机以匀加速度 竖直上升时，质量为m的物体从斜面顶端沿斜面开始下滑，如图2.
8、3所示.已知斜面长为l，求物体对斜面的压力，物体从斜面顶点滑到底部所需的时间.,解 以物体m为研究对象.其受到斜面的正压力N和重力mg.以地为参考系，设物体m相对于斜面的加速度为 ，方向沿斜面向下，则物体相对于地的加速度为,14,解方程，得,由牛顿第三定律可知，物体对斜面的压力N与斜面对物体的压力N大小相等，方向相反，即物体对斜面的压力为,垂直指向斜面. 因为m相对于斜面以加速度,沿斜面向下作匀变速直线运动，所以,得,15,解 跳伞员的运动方程为,改写运动方程为,例2.3 跳伞运动员在张伞前的俯冲阶段，由于受到随速度增加而增大的空气阻力，其速度不会像自由落体那样增大.当空气阻力增大到与重力相等
9、时，跳伞员就达到其下落的最大速度，称为终极速度.一般在跳离飞机大约10 s，下落约300400 m左右时，就会达到此速度(约50 m/s).设跳伞员以鹰展姿态下落，受到的空气阻力为 (k为常量)，如图2.4(a)所示.试求跳伞员在任一时刻的下落速度.,显然，在 的条件下对应的速度即为终极速度，并用 表示：,16,因t0时，v0；并设t时，速度为v，对上式两边取定积分：,由基本积分公式得,最后解得,当 时， .,17,设运动员质量m70 kg，测得终极速度 54 m/s，则可推算出,以此 值代入v(t)的公式，可得到如图2.4(b)所示的v-t函数曲线.,18,1、 单位制：基本量、导出量,单位
10、制的任务是：规定哪些物理量是基本量及所使用的基本量的数量级。,七个基本量为长度、质量、时间、电流、温度、物质的量和发光强度,2、 SI制中三个基本量的操作型定义,长度,时间 1秒=铯-133原子基态的两个超精细能级之间跃迁时对应辐射的9，192，631 ，770个周期。,从基本量导出的量称为导出量，相应的单位称为导出单位。,* 2.1.5 国际单位制和量纲（自学提纲）,19,3、量纲：,因为导出量是由基本量导出的，所以导出量可用基本量的某种组合(乘、除、幂等)表示。这种由基本量的组合来表示物理量的式子称为该物理量的量纲式，,例如：在SI制中,通过物理定律、定理、定义等将某个物理量表示成某种单位
11、制中基本物理量的方次。,质量 千克质量,20,2-2 非惯性系 惯性力,我们知道牛顿定律只在惯性系中成立，可是，在实际问题中，有时我们又必须在非惯性系中去观察和处理问题。那么物理上如何解决这个问题的呢？,通过本节的讨论，我们将会看到，如果引入一个惯性力的概念，那么我们在非惯性系中将仍可沿用牛顿定律的形式而使问题得到简化。,21,1、惯性力的提出,设有一质量为m的小球，放在一小车光滑的水平面上，平面上除小球(小球的线度远远小于小车的横向线度）之外别无他物，即小球水平方向合外力为零。然后突然使小车向右对地作加速运动，这时小球将如何运动呢？,(1)地面上的观察者：小球将静止在原地，符合牛顿第一定律；
12、,(2)车上的观察者：小球以as 相对于小车作加速运动；,22,注意：此时小车是非惯性系，那么小车上的观察者如何解释呢？,我们假设车上的人熟知牛顿定律，尤其对加速度一定是由力引起的印象至深，以致在任何场合下，他都强烈地要求保留这一认知，于是车上的人说：小球之所以对小车有 -as 的加速度，是因为受到了一个指向左方的作用力，且力的大小为 - mas；但他同时又熟知，力是物体与物体之间的相互作用，而小球在水平方向不受其它物体的作用,因此，物理上把这个力命名为惯性力。,23,(2)惯性力的大小等于研究对象的质量m与非惯性系的加速度as的乘积，而方向与 as 相反，即,注意式中 m 是研究对象的质量，
13、即在同一非惯性系中若选取的研究对象不同，其质量不同，则 f 不同；,2、惯性力的特点,(1) 惯性力不是物体间的相互作用。因此，没有反作用。,另外 f 与 as 有关，非惯性系相对于惯性系的加速度的形式不同，则 f 也不同。,后面将从三个方面加以说明。,24,3、 非惯性系中的运动定律的形式,设有惯性系O和非惯性系O，O系以加速度as相对于O系运动，现在O系中有一质点，其质量为m，且相对于O系以相对加速度 a/ 运动，于是质点m相对惯性系的加速度 a=as+a/ 现在惯性系O中运用牛顿定律得,因为我们已引入惯性力 ，所以上式为,这就是在非惯性系中运动定律的形式.,即：在非惯性系中运用牛顿定律时
14、，对研究对象除了分析其受到的真实力以外，还必须加上其受到的惯性力；而等式右边则只考虑研究对象相对于非惯性系的相对加速度a/。,25,作直线加速运动的非惯性系中的惯性力,1）此时的惯性力具有最简形式，,2）若非惯性系（即牵连运动）是恒加速运动，,这时惯性力仅与牵连运动有关，即仅与非惯性系相对于惯性系的加速度有关。,惯性力将具有与重力相类似的特性，即与惯性质量正比。,26,匀角速转动的非惯性系中的惯性离心力,*惯性离心力的引入：,如图所示，在光滑水平圆盘上，用一轻弹簧栓一小球，圆盘以角速匀速转动，这时弹簧被拉伸后而静止。,地面观察者：小球受到弹性力，且指向圆心，作圆周运动；,圆盘上观察者：小球受到
15、弹簧拉力，且指向圆心，但小球仍处于静止状态，为解释这一现象引入,此时,即称为惯性离心力。,27,*地球自转对重力的影响,支持力N、引力F引、惯性离性力*c作用下处于平衡态，,而地面上的观察者通常总是把地面上的物体作二力平衡来处理，即认为物体在重力W和支持力N作用下达到平衡态，,因此重力W实际上应是F引和*c的合力，即：,由是得,以地球为参照系，考虑地球的自转,于是地面上任何 一个物体都是在三个力：,28,我们知道，在地球的两极，地球自转半径为零，故物体重力不受自转影响，该处重力=引力，设该处重力加速度为g0,则F=mgo,于是，,式中是物体所在处的纬度，,29,略去高阶无穷小量 得,即 是一个
16、无穷小量，,利用二项式定理,再次略去高阶无穷小，得,30,可见地面上物体的重力大小随纬度而变化，其方向也不严格指向地心，故常说重力方向为铅垂方向，但由结果看出，重力随纬度变化并不明显，通常可以忽略。,31,在转动的非惯性系中，研究对象相对于非惯性系还有 相对运动时，,惯性离心力：其与牵连运动有关，与对象在非惯性系中的位置有关。,科里奥利力：其与牵连运动有关，还与对象对非惯性系的相对 运动有关，,则研究对象受到的惯性力有：,32,科氏力的引入,一圆盘绕铅直轴以角速转动，盘心有一光滑小孔，沿半径方向有一光滑槽，槽中有一小球被穿过小孔的细线所控制，使其只能沿槽做匀速运动，现小球沿槽以 v 相 向外运
17、动。,从圆盘上观察，则小球仅有径向匀速运动，即小球处于平衡态，,径向：惯性离心力，牵引张力平衡；,横向：必需有一力与槽的侧向推力N平衡，这个力即为科里奥利力,显然，科里奥利力不属于相互作用的范畴，是在非惯性系中观察到的，其既与牵连运动有关，又与物体对牵连参照系的相对运动有关。,33,傅科摆；,落体偏东；,江岸的冲刷（北半球）；,*科氏力在一些自然现象中的作用,34, 信风；,据历史记载，第一次世界大战期间，英、德在阿根廷附近马尔维纳斯岛的洋面上进行了一次大战。当德国军舰位于英国军舰北方大约6-7km时，英舰炮手瞄准德舰开炮，奇怪的是炮弹全都落在德舰的左侧大约100多米以外的地方。怪就怪在英舰炮
18、手都是经过严格训练的富有作战经验的好炮手，不应发生如此大的偏差。,35,后经查实，人们才知道这是科里奥利力在作怪！即瞄准器的设计者是按照海战发生在英国本土（约北纬500）附近来考虑科氏力的作用， 即当向北发射炮弹时应向左校正（因此时科氏力是向右的）。现在海战发生在南半球的马岛（约南纬500）附近，此时科氏力向左，因此应向右校正，但瞄准器依然按原设计向左校正，结果就产生了双倍的向左偏差。,36,2.3.1 质点的动量定理,、动量的引入,在牛顿力学中，物体的质量可视为常数,故,即,2-3 动量 动量守恒定律,力的瞬时效应,力的积累效应,加速度：牛顿定律,37,）式中 叫做动量，是物体运动量的量度。
19、,）动量 是矢量，方向与 同；,动量是相对量，与参照系的选择有关。,、冲量的概念,） 恒力的冲量,） 变力的冲量,此时冲量的方向不能由某瞬时力的方向来决定。,指两个物体相互作用持续一段时间的过程中，在物体间传递着的物理量。,力在某一段时间间隔内的冲量,冲量的方向与力的方向相同。,作用力F恒量，作用时间t1t2，力对质点的冲量，,38,即,其表示：物体所受外力的冲量等于物体动量的增量。,3、质点的动量定理,在直角坐标系中的分量式,39,平均冲力概念,）峰值冲力的估算,） 当相互作用时间极短，相互间冲力极大，此时某些有限主动外力（如重力等）可忽略不计。,、动量定理的应用,）当动量的变化是常量时，有
20、,40,2.3.2 质点系的动量定理,1、内力与外力,i质点所受的内力,i质点所受合力,2、i质点动量定理,41,3、质点系的动量定理（对i求和）,因为内力成对出现,这说明内力对系统的总动量无贡献， 但对每个质点动量的增减是有影响的。,42,质点系合外力的冲量 = 质点系动量的增量。,于是有,或,43,2.3.3 质点系的动量守恒定律,若系统所受的合外力,系统总动量守恒,一个孤立的力学系统（即无外力作用的系统）或合外力为零的系统，系统内各质点动量可以交换，但系统的总动量保持不变。这就是动量守恒定律。,注意：动量守恒式是矢量式,(1)守恒条件是,而不是,44,若 ，但若某一方向的合外力零， 则该
21、方向上 动量守恒；,(3)必须把系统内各量统一到同一惯性系中；,(4)若作用时间极短，而系统又只受重力作用，则可略去重力， 运用动量守恒。,(2)若,表示系统与外界无动量交换，,表示系统与外界的动量交换为零。,则系统无论沿那个方向的动量都守恒；,45,例2.5 一弹性球，质量m0.20 kg，速度v5 m/s，与墙碰撞后弹回.设弹回时速度大小不变，碰撞前后的运动方向和墙的法线所夹的角都是(图2.12)，设球和墙碰撞的时间t0.05 s，60 ，求在碰撞时间内，球和墙的平均相互作用力.,解 以球为研究对象.设墙对球的平均作用力为f，球在碰撞前后的速度为 和 ，由动量定理可得,将冲量和动量分别沿图
22、中N和x两方向分解得：,解方程得,按牛顿第三定律，球对墙的平均作用力和 的方向相反而等值，即垂直于墙面向里.,46,例2.6 如图2.13所示，一辆装矿砂的车厢以v4 m/s的速率从漏斗下通过，每秒落入车厢的矿砂为k200 kg/s，如欲使车厢保持速率不变，须施与车厢多大的牵引力(忽略车厢与地面的摩擦).,解 设t时刻已落入车厢的矿砂质量为m，经过dt后又有dmkdt的矿砂落入车厢.取m和dm为研究对象，则系统沿x方向的动量定理为,Fdt(mdm)v(mvdm0)vdmkdt v,则,47,例2.7 如图2.14所示，一质量为m的球在质量为M的1/4圆弧形滑槽中从静止滑下.设圆弧形槽的半径为R
23、，如所有摩擦都可忽略，求当小球m滑到槽底时，M滑槽在水平上移动的距离.,解 以m和M为研究系统，其在水平方向不受外力(图中所画是m和M所受的竖直方向的外力)，故水平方向动量守恒.设在下滑过程中，m相对于M的滑动速度为 v，M对地速度为V，并以水平向右为x轴正向，则在水平方向上有,解得,设m在弧形槽上运动的时间为t，而m相对于M在水平方向移动距离为R，故有,于是滑槽在水平面上移动的距离,48,* 2.3.4 质心和质心运动定理,1.问题的提出,2.质心运动定理,3.质心的含义及其计算,49,2.4.1 功 功率,1、恒力的功,即某力的功等于力与质点在该力作用下位移的标积。,(中学）力在位移方向上
24、的投影与该物体位移大小的乘积。,由矢量标积定义式，有,2- 功 动能 势能,50,功值的图示法,2、 变力的功,）力的元功,设质点沿X轴运动，则力 在区间x1, x2内做的功，即为图中有阴影部分的面积。,物体在变力的作用下从 a 运动到 b,b,51,2 ) dA 在F-S图上的几何意义,3）变力在一段有限位移上的功,功的直角坐标系表示式,因为功是标量，所以总功等于各方向上的分量之代数和。,dA=F（s）ds ，其在Fs图上即为有阴影的小方块的面积。,52,一对作用力与反作用力的功只与相对位移有关,所以一般情况下,式中drij为相对位移,53,、功率单位时间内所作的功称为功率,功率的单位：在S
25、I制中为瓦特（w）,54, 重力的功,4、保守力的功,55, 弹簧弹性力的功,56,万有引力的功,由图知,元位移,力函数,57,1) 保守力,如重力、弹簧弹性力、万有引力、静电力、分子作用力等均为保守力。,即保守力沿任一闭合路径的功为零。,如果某力的功只与始末位置有关而与具体路径无关，则该力谓之保守力。,58,L,S+,保守力的共同特征：,a、 力函数或为常数，或者仅为位置的函数；,b、 保守力的功总是“原函数”增量的负值。,2) 非保守力,若力的功值与具体路径有关,则为非保守力，,如摩擦力、爆炸力等。,如在一水平面上,59,解 由题知，虽然力的大小不变，但其方向在不断变化，故仍然是变力做功.
26、 如题图所示，以岸边为坐标原点，向左为x轴正向，则力F在坐标为x处的任一小段元位移dx上所做元功为,即,例2.8 在离水面高为H的岸上，有人用大小不变的力F拉绳使船靠岸，如图2.21所示，求船从离岸 处移到 处的过程中，力F对船所做的功.,由于 ，所以F做正功.,60,解 (1)由点(0,0)沿x轴到(2,0)，此时y0，dy0，所以,例2.9 质点所受外力 ，求质点由点(0,0)运动到点(2,4)的过程中力F所做的功：(1)先沿x轴由点(0,0)运动到点(2,0)，再平行y轴由点(2,0)运动到点(2,4)；(2)沿连接(0,0)，(2,4)两点的直线；(3)沿抛物线由点(0,0)到点(2,
27、4)(单位为国际单位制).,由点(2,0)平行y轴到点(2,4)，此时x2，dx0，故,61,(2)因为由原点到点(2,4)的直线方程为y2x，所以,(3)因为 ，所以,可见题中所示力是非保守力.,62,2.4.2 动能定理,1、动能,是一个独立的物理量，,与力在空间上的积累效应对应。,这说明,又，m为常数,63,是质点作机械运动时所具有的运动量的量度，称之为动能；,是状态量，相对量，与参照系的选取有关。,2、动能定理,或,即，作用于物体上合外力的功等于物体动能的增量。,合力对质点作用一段距离所产生的积累作用，从而导致动能的有限变化。,64,动能与动量的区别,引入,两种度量作用,65,例2.1
28、0 一质量为10 kg的物体沿x轴无摩擦地滑动，t0时物体静止于原点，(1)若物体在力F34t N的作用下运动了3 s，它的速度增为多大？(2)物体在力F34x N的作用下移动了3 m，它的速度增为多大？,解 (1)由动量定理 ，得,(2)由动能定理 ，得,66,2.4.3 势能,描述机械运动的状态参量是,对应于：,弹簧弹性力的功,万有引力的功,重力的功,1、势函数,为此我们回顾一下保守力的功,67,由上所列保守力的功的特点可知，其功值仅取决于物体初、终态的相对位置，故可引入一个由相对位置决定的函数；,由定积分转换成不定积分，则是,式中c为积分常数，在此处是一个与势能零点的选取相关的量。,又由
29、于功是体系能量改变量的量度。因此，这个函数必定具有能量的性质；而这个具有能量性质的函数又是由物体相对位置所决定，故把这种能量称之为势能（或曰位能），用表示。,则有：,68,2、已知保守力求势能函数,弹性势能：,保守力的力函数,若取坐标原点，即弹簧原长处，为势能零点，则 c=0,于是,重力势能,保守力的力函数,若取坐标原点为势能零点，则c=0,69,引力势能,保守力的力函数,若取无穷远处为引力势能零点，则,势能函数的一般特点,1) 对应于每一种保守力都可引进一种相关的势能；,2) 势能大小是相对量，与所选取的势能零点有关；,3) 一对保守力的功等于相关势能增量的负值；,4) 势能是彼此以保守力作
30、用的系统所共有。,70,、已知势能函数求保守力,若保持y，z 不变， 则dydz0,同理,则,71,72,势能曲线,将势能随相对位置变化的函数关系用一条曲线描绘出来，就是势能曲线。,73,1、势能曲线能说明质点在轨道上任一位置时，质点系所具有的势能值。,2、势能曲线上任一位置处的钭率（dEP/dl ）的负值，表示质点在该处所受的保守力。,设有一保守系统，其中一质点沿x方向作一维运动，则有,由教材中之图可知，凡势能曲线有极值时，即曲线钭率为零处，其受力为零。这些位置点称为平衡位置。,势能曲线有极大值的位置点是不稳定平衡位置，势能曲线有极小值的位置点是稳定平衡位置。,由势能曲线所获得的信息,74,
31、2.4.4 质点系的功能定理与 功能原理,1、质点系的动能定理, 质点系的内力和外力, 对于单个质点,75, 对 i 求和质点系的动能定理,质点系总动能的增量等于外力的功与质点系内部保守力的功、非保守力的功三者之和。,76,若引入 (机械能） 则可得,系统机械能的增量等于外力的功与内部非保守力功之和。,2、功能原理,由于内力总是成对出现的，而对每一对内部保守力均有,77,）功能原理只适用于惯性系（从牛顿定律导出；,3 )具体应用时，一是要指明系统，二是要交待相关的势能零点；,注意的问题：,） 功能原理是属于质点系的规律（因涉及P），与质点系的动能定理不同；,质点系动能定理,质点功能原理,4）当
32、质点系内各质点有相对运动时，注意将各量统一到同一惯性系中。,78,例2.12 一轻弹簧一端系于固定斜面的上端，另一端连着质量为m的物块，物块与斜面的摩擦系数为，弹簧的劲度系数为k，斜面倾角为，今将物块由弹簧的自然长度拉伸l后由静止释放，物块第一次静止在什么位置上？(如图2.25),解 以弹簧、物体、地球为系统，取弹簧自然伸长处为原点，沿斜面向下为x轴正向，且以原点为弹性势能和重力势能零点，则由功能原理式(2.46)，在物块向上滑至x处时，有,物块静止位置与v0对应，故有,解此二次方程，得,另一根xl，即初始位置，舍去.,79,2.4.5 机械能守恒定律,由功能原理可知,机械能守恒的条件：,系统
33、与外界无机械能的交换；,系统内部无机械能与其他能量形式的转换。,当系统机械能守恒时，应有,即系统内，动能的增量势能增量的负值,若 和 ,则系统的机械能保持不变。,80,2.4.6 能量转换与守恒定律,在一个孤立的系统内，各种形态的能量可以相互转换，但无能怎样转换，这个系统的总能量将始终保持不变。,81,解 如图2.26所示，设子弹对沙箱作用力为f，沙箱位移为s；沙箱对子弹作用力为f，子弹的位移为sl，ff.,Af(sl)fsf l0,说明 沙箱对子弹做功f(sl)与子弹对沙箱做的功fsf s两者不相等；而这一对内力做功之和不为零，它等于子弹与沙箱组成的系统的机械能的损失.损失的机械能转化为热能
34、.,则这一对内力的功,例2.13 在光滑的水平台面上放有质量为M的沙箱，一颗从左方飞来质量为m的弹丸从箱左侧击入，在沙箱中前进一段距离l后停止.在这段时间内沙箱向右运动的距离为s，此后沙箱带着弹丸以匀速运动.求此过程中内力所做的功.(假定子弹所受阻力为一恒力),82,例2.14 如图2.28所示，一质量为M的平顶小车，在光滑的水平轨道上以速度v作直线运动.今在车顶前缘放上一质量为m的物体，物体相对于地面的初速度为零.设物体与车顶之间的摩擦系数为，为使物体不致从车顶上跌下去，问车顶的长度l最短应为多少？,解 由于摩擦力做功的结果，最后使得物体与小车具有相同的速度，这时物体相对于小车为静止而不会跌
35、下.在这一过程中，以物体和小球为一系统，水平方向动量守恒，有,而m相对于M的位移为l，如图2.28所示，则一对摩擦力的功为,联立以上两式即可解得车顶的最小长度为,83,例2.15 试分析航天器的三种宇宙速度.,式中 为地球表面处的重力加速度.若rR时，则,这就是第一宇宙速度.,84,这就是第二宇宙速度.,(2)第二宇宙速度.在地球表面处的航天器要脱离地球引力范围而必须具有的最小速度，称为第二宇宙速度.以地球和航天器为一系统，航天器在地球表面处的引力势能为 ，动能为 ，航天器能脱离地球时，地球的引力可忽略不计，系统势能为零，动能的最小量为零，由机械能守恒定律，有,85,(3)第三宇宙速度.在地球
36、表面发射的航天器，能逃逸出太阳系所必须的最小速度，称为第三宇宙速度.作为近似处理可分两步进行：第一步，从地球表面把航天器送出地球引力圈，在此过程中略去太阳引力，这一步的计算方法与分析第二宇宙速度类似，所不同的是航天器还必须有剩余动能 ，因此有,由前讨论知： ，代入上式有,第二步，航天器由脱离地球引力圈的地点(近似为地球相对于太阳的轨道上)出发，继续运动，逃离太阳系，在此过程中，忽略地球的引力.以太阳为参考系，地球绕太阳的公转速度(相当于计算地球相对于太阳的第一宇宙速度)为,86,为了充分利用地球的公转速度，使航天器在第二步开始时的速度沿公转方向，这样，在第二步开始时，航天器所需的相对地球速度为
37、,这就是第一步航天器所需的剩余动能所对应的速度.因此,式中 为太阳的质量， 为太阳中心到地球中心的距离.以太阳参考系计算，逃离太阳引力范围所需的速度(相当于计算地球相对于太阳的第二宇宙速度)，即,这就是第三宇宙速度.,87,力矩,1、力对固定点的力矩,1）定义：作用于质点的力对惯性系中某参考点的力矩，等于力的作用点对该点的位矢与力的矢积，即,力矩是矢量，M 的方向垂直于r和 F所决定的平面，其指向用右手螺旋法则确定。,2）力矩的单位、 牛米(Nm),2-角动量定理 角动量守恒定律,88,3）力矩的计算：,M 的大小、方向均与参考点的选择有关,在直角坐标系中，其表示式为,89,力矩在x,y,z轴
38、的分量式，称力对轴的矩。例如上面所列 x , My , Mz , 即为力对轴、轴、轴的矩。,、力对轴的矩：,设力 的作用线就在Z轴的转动平面内，作用点到轴的位矢为r，则力对轴的力矩为,式中为力F到轴的距离,若力的作用线不在转动在平面内，则只需将力分解为与轴垂直、平行的两个分力即可。,90,力对固定点的力矩为零的情况：,力F等于零， 力F的作用线与矢径r共线（力F的作用线穿过0点, 即，有心 力对力心的力矩恒为零）。,力对固定轴的力矩为零的情况：,B）力的方向沿矢径的方向（ ）,有心力的力矩为零,A）,91,质点系内一对内力对任一点的力矩之矢量和为零,92,2.5.1 质点的角动量,在质点的匀速
39、圆周运动中，动量mv 不守恒，但,角动量的引入：,开普勒行星运动定律的面积定律,许多实例都说明 是一个独立的物理量，,再考虑到行星的质量m为恒量，,93,在描述行星的轨道运动，自转运动，卫星的轨道运动及微观粒子的运动中都具有独特作用。因此必须引入一个新的物理量角动量 L，来描述这一现象。,卫星,94,、质点对固定点的角动量,动量为 mv 的质点，对惯性系内某参考点0的角动量，等于质点对该参考点的位矢 r 与其动量 mv 的矢积。,角动量是矢量，角动量 L 的方向垂直于 r 和 mv 所组成的平 面，其指向可用右手螺旋法则确定。, 在直角坐标系中,注意：为表示是对哪个参考点的角动量，通常将角动量
40、 L 画在参考点上。,L 的大小为,95, 角动量的单位是：千克米2秒-1(kgm2s-1)。,当质点作圆周运动时, 有 v=r, 且r与 v 互相垂直， 故有, 是相对量： 与参照系的选择有关，与参考点的选择有关,Lr mv=m r2,角动量的定义并没有限定质点只能作曲线运动而不能作直线运动。,96,2、质点对轴的角动量, 假定质点的动量就在转动平面内，且质点对轴的矢径为r，则质点对z 轴的角动量为 ，方向沿 z 轴，可正、可负, 质点动量不在转动平面内，则只需考虑动量在转动平面内的分量；,或运用坐标分量式求得：,97,2.5.2 质点的角动量定理,、对点的角动量定理（微分形式）,若用 r
41、叉乘牛顿定律 即,式中 r 是质点对参考点o的位矢。,又,即：作用在质点上的力矩等于质点角动量对时间的变化率。此即质点对固定点的角动量定理。,98,、角动量定理的积分形式：,叫冲量矩,*：M 和 L 必须是对同一点而言,a、对点的角动量守恒律,若 ，则,质点所受外力对某参考点的力矩为零，则质点对该参考点的角动量守恒。这就是质点的角动量守恒定律。,外力距对某固定点的冲量距等于质点对该点的角动量的增量。,若质点受有心力作用，则该质点对力心的角动量一定守恒。,2.5.3 质点角动量守恒定律,99,b、对轴的角动量守恒律：,若 Mz=0， 则 Lz =常数，即若力矩在某轴上的分量为零（或力对某轴的力矩
42、为零），则质点对该轴的角动量守恒。,100,在由AB的过程中，子弹、木块系统机械能守恒,例2.16 在光滑的水平桌面上，放有质量为M的木块，木块与一弹簧相连，弹簧的另一端固定在O点，弹簧的劲度系数为k，设有一质量为m的子弹以初速 垂直于OA射向M并嵌在木块内，如图2.31所示.弹簧原长 ，子弹击中木块后，木块M运动到B点时刻，弹簧长度变为l，此时OB垂直于OA，求在B点时，木块的运动速度 .,解 击中瞬间，在水平面内，子弹与木块组成的系统沿 方向动量守恒，即有,在由AB的过程中木块在水平面内只受指向O点的弹性有心力，故木块对O点的角动量守恒，设 与OB方向成角，则有,101,由、式联立求得 的
43、大小为,由式求得 与OB的夹角为,102,例2.17 一质点m被一长为l的轻线悬于天花板上的B点，质点m在水平面内作匀角速的圆周运动，设圆轨道半径为 .试计算(1)质点m对圆心O和悬点B的角动量 和 ；(2)作用在质点m上的重力mg和张力T对圆心O和悬点B的力矩 和 ；(3)试讨论m对O点或B点的角动量是否守恒(如图2.32所示).,解 (1) 在图(a)中由圆心O点向质量m引矢量 ，则,其方向垂直于轨道平面沿OB方向向上，因为 mv，故,即圆锥摆对圆心O点的角动量 是个沿OB向上的大小和方向都不变的恒矢量.,103,在图(b)中，由悬点B向在某位置P处的质点m引矢径 ，则,(2) 如图(c)
44、，质点m所在位置对于圆心O，张力T的力矩为,因在竖直方向有Tcosmg，所以,即 的方向垂直于 与mv所组成的平面.显然，质点m在不同的位置处，例如在p点处，其矢径 和动量mv各不相同，因此，其矢积 也不相同.即 的方向是不断地变化着的.这时 的大小为,其方向垂直于纸面向外，大小为,104,此时重力对圆心O的力矩为,由上面计算可以得出，作用在质点m上的张力T，重力mg对圆心O的合力矩为,其方向垂直于纸面向里.因mg始终垂直于轨道平面，所以 mg，故 的大小为,同样，如图(c)质点所在位置，对于悬点B，张力T因与 始终共线，故T对B点的力矩为零.而重力mg对B点的力矩为,其方向始终垂直于 与重力
45、作用线mg所组成的平面.由于 的方向在不断地变化，所以 的方向也在不断地变化，如图(c)所在位置， 的方向垂直于纸面向里.,105,(3) 由(2)中的讨论可知，重力mg和张力T对O点的合力矩为零(实际上mg与T的合力构成了m作圆周运动的向心力，为有心力，其对O点合力矩必定为零)，所以质点m对O点的角动量守恒，这与(1)中讨论一致.,同样，由(2)中讨论知，因mg对B点的力矩方向始终变化，即对B点的力矩不为零，故质点m对B点的角动量不守恒.这与前面结果也是一致的.,106,2-6 刚体的定轴转动,刚体是指在任何情况下，都没有形变的物体。,当物体自身线度l与所研究的物体运动的空间范围r相比不可以
46、忽略；物体又不作平动而作转动时，即必须考虑物体的空间方位时，我们可以引入刚体模型。,刚体也是一个各质点之间无相对位置变化且质量连续分布的质点系。,质点模型基本上只能表征物体的平动特征。,平动和转动是刚体的两种基本运动形式。刚体的任何复杂运动都可以看成平动与转动的合成。,本节讨论转动中最简单的运动定轴转动。,107,2.6.1 刚体定轴转动的描述,若物体在运动过程中，其所有的质元都绕某一直线作圆周运动，这种运动称之为转动。该直线称为转轴。,108,若转动轴固定不动，即既不能改变方向又不能平移，这个转轴为固定轴，这种转动称为定轴转动。,我们只讨论定轴转动。,、转动瞬轴、定轴转动,若转轴的方向或位置
47、在运动过程中变化，这个轴在某个时刻的位置称为该时刻的转动瞬轴。,109,垂直于转动轴的平面为转动平面。,）角量描述：,角位移,角速度,角加速度,由于这时组成刚体的各质点均在各自的转动平面内绕轴作圆周运动，因此前面关于质点圆周运动的全套描述方法，此处全部可用。,以转动平面与轴的交点为原点，任引一射线为极轴，原点引向考察点的矢径与极轴的夹角为角位置，并引入,2、 定轴转动的角量描述,110,)刚体定轴转动的特点,所有质点的角量都相同 ； 质点的线量与该质点的轴矢径大小成正比 。,111,2.6.2 质点系的角动量定理,1、质点系对固定点的角动量定理,i质点对固定点O的角动量定理,设有一质点系，共有n个质点，其第i个质点受力为,则i质点对固定点o的角动量定理为,112,对i求和质点系对固定点O的角动量定理,由于内力成对出现，每对内力对O的力矩之和为零，因此内力矩之总和为零，于是有,（i)内力矩对系统的总角动量无贡献，（与质点系的动量定理相似）,113,(iii) 质点系对固定点的角动量定理的物理意义：,质点系对o点的角动量随时间的变化率等于外力对该点力矩的矢量和。,(ii)在质点系的情况下，求外力对固定点的力矩之和时，不能先求合力，再求合力矩。只能说外力矩之和不能说合外力之矩。,
