1、(1)二次函数的解析式 二次函数的一般式为_. 二次函数的顶点式为_,其中顶 点为_. 二次函数的两根式为_,其中 x1,x2是方程ax2+bx+c=0的两根.(也就是函数的零点) 根据已知条件,选择恰当的形式,利用待定系数法可求 解析式.,y=ax2+bx+c （a0）,y=a(x-h)2+k (a0),y=a(x-x1)(x-x2)(a0),(h,k),二次函数与幂函数,(3)二次函数图象和性质 二次函数y=ax2+bx+c (a0)的顶点坐标为;对称轴方程为 .熟练通过配 方法求顶点坐标及对称轴,并会画示意图. 在对称轴的两侧单调性相反. 当b=0时为偶函数,当b0时为非奇非偶函数.,2
2、.二次函数、一元二次方程、一元二次不等式三者之间的关系,x1,x2 (x1x2),x0,x|xx2 或xx1,x|xR 且xx0,R,x|x1xx2,3.幂函数(1)幂函数的定义形如_( R)的函数称为幂函数,其中x是_, 为_.(2)幂函数的图象,自变量,常数,1.一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+bx+c在同一坐标 系中的图象大致是 （ ）解析 选项A中，一次函数的斜率a0，而二次函数开口向下，相互矛盾，排除A.同理排除D,y=ax2+bx+c的对称轴为当a0,b0时， 排除B.当a0,b0时， 故选C.,C,2.已知二次函数y=x2-2ax+1在区间（2，3）内是单调 函数，则实
3、数a的取值范围是 （ ）A.a2或a3 B.2a3C.a-3或a-2 D.-3a-2解析 本题考查二次函数图象及其性质，由于二次函数的开口向上,对称轴为x=a,若使其在区间(2,3)内是单调函数，则需所给区间在对称轴的同一侧，即a2或a3.,A,3.方程x2-mx+1=0的两根为 且 则实数m的取值范围是_.解析,题型一 二次函数的解析式的求法 【例1】已知二次函数f(x)满足f(2)=-1,f(-1)=-1,且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数.确定二次函数采用待定系数法，有三种形式，可根据条件灵活运用.,思维启迪,题型分类 深度剖析,解. 设f(x)=a(x-m)2+n. f(2)=f
4、(-1), 抛物线对称轴为 m=,又根据题意函数有最大值为n=8， y=f（x）= f（2）=-1， 解之，得a=-4.,二次函数的解析式有三种形式： (1)一般式：f(x)=ax2+bx+c (a0) (2)顶点式：f(x)=a(x-h)2+k (a0) (3)两点式：f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a0) 具体用哪种形式，可根据具体情况而定.,探究提高,知能迁移1 设二次函数f(x)满足f(x+2)=f(2-x)，且 f（x）=0的两实数根平方和为10，图象过点(0,3),求f（x）的解析式.解 设f(x)=ax2+bx+c (a0).由f(x+2)=f(2-x)知，该函数图象关于直
5、线x=2对称, 即b=-4a. 又图象过（0，3）点，c=3. ,b2-2ac=10a2. 由得a=1,b=-4,c=3. 故f（x）=x2-4x+3.,题型二 二次函数的图象与性质 【例2】 已知函数 在区间0,1上的最大值是2，求实数a的值.研究二次函数在给定区间上的最值问题，要讨论对称轴与给定区间的关系.解 对称轴为,思维启迪,(1)当0 1，即0a2时， 得a=3或a=-2,与0a2矛盾.不合要求； (2)当 1，即a2时，y在0，1上单调递增， 有ymax=f(1),f(1)=2 综上，得a=-6或a=,探究提高 (1)要注意抛物线的对称轴所在的位置对 函数最值的影响. (2)解二次
6、函数求最值问题，首先采用配方法，将二 次函数化为y=a(x-m)2+n的形式，得顶点（m，n）或 对称轴方程x=m，分三个类型： 对称轴固定，区间固定； 对称轴含参数，区间固定； 对称轴固定，区间变动.,知能迁移2 已知函数f(x)=-x2+8x,求函数f(x)在区间 t,t+1上的最大值h(t).解 f（x）=-x2+8x=-(x-4)2+16当t+14时，f(x)在t,t+1上单调递减.此时h(t)=f(t)=-t2+8t.综上可知,题型三 幂函数的图象及应用 【例3】 点( ,2)在幂函数f(x)的图象上,点 在幂函数g（x）的图象上，问当x为何值时，有f(x)g(x)，f(x)=g(x
7、)，f(x)g(x).由幂函数的定义，求出f(x)与g(x)的解析式，再利用图象判断即可. 解 设 则由题意得 =2，即f（x）=x2，再设 则由题意得 =-2，即g（x）=x-2，,思维启迪,在同一坐标系中作出f(x)与g(x)的图象，如图所示. 由图象可知： 当x1或x-1时，f（x）g（x）; 当x=1时,f(x)=g(x); 当-1x1且x0时，f（x）g（x）. (1)函数图象在解方程和不等式时有着 重要的应用. (2)注意本题中，g（x）的定义域为x|x0，所以 中不包含x=0这一元素.,探究提高,知能迁移3 已知幂函数 的图象与x、y 轴都无公共点，且关于y轴对称，求整数n的值并
8、画出该函数的草图.解 函数图象与x、y轴都无公共点，n2-2n-30，-1n3.又n为整数，n-1，0，1，2，3.又图象关于y轴对称，n2-2n-3为偶数.n=-1，1，3.,当n=-1和3时,n2-2n-3=0，y=x0图象如图（1）所示; 当n=1时，y=x-4，图象如图（2）所示.图（1） 图（2）,题型四 幂函数的性质 【例4】 已知幂函数 (mN*)的图象关于y轴对称，且在（0，+）上是减函数，求满足 的a的取值范围.由 (mN*)的图象关于y 轴对称知m2-2m-3为偶数,又在（0，+）上是减函数，m2-2m-30，从而确定m值，再由函数f(x)=的单调性求a的值.,思维启迪,解
9、 函数在(0，+)上递减， m2-2m-33-2a0 或0a+13-2a或a+103-2a.,解得 故a的取值范围为 12分本题集幂函数的概念、图象及单调性、 奇偶性于一体,综合性较强，解此题的关键是弄清幂 函数的概念及性质.解答此类问题可分为两大步：第 一步，利用单调性和奇偶性（图象对称性）求出m的 值或范围;第二步，利用分类讨论的思想，结合函数 的图象求出参数a的取值范围.,探究提高,知能迁移4 指出函数 的单调区间,并比较 的大小.解 =1+(x+2)-2,其图象可由幂函数y=x-2的图象向左平移2个单位,再向上平移1个单位得到，,该函数在(-2，+)上是减函数，在(-，-2)上是 增函
10、数，且其图象关于直线x=-2对称（如图所示）.,1.二次函数的解析式有三种形式:一般式、顶点式和两根式.根据已知条件灵活选用. 2.二次函数的单调性只与对称轴和开口方向有关系,因此单调性的判断通常用数形结合法来判断. 3.幂函数 （ R）,其中 为常数,其本质特征是以幂的底x为自变量，指数 为常数，这是判断一个函数是否是幂函数的重要依据和唯一标准.应当注意并不是任意的一次函数、二次函数都是幂函数，如y=x+1，y=x2-2x等都不是幂函数.,方法与技巧,思想方法 感悟提高,4.在（0，1）上，幂函数中指数愈大，函数图象愈靠近x轴（简记为“指大图低”），在（1，+）上，幂函数中指数越大，函数图象
11、越远离x轴.1.幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限内，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.,失误与防范,2.幂函数的定义域的求法可分5种情况： 为零； 为正整数； 为负整数； 为正分数； 为负分数. 3.作幂函数的图象要联系函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等，只要作出幂函数在第一象限内的图象，然后根据它的奇偶性就可作出幂函数在定义域内完整的图象. 4.利用幂函数的图象和性质可处理比较大小、判断复合函数的单调性及在实际问题中的应用等类型.进一步培养学生的数形结合、分类讨论等数学思想和方法.,
