1、12009 年山东省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分）1 （5 分） （2009 山东）集合 A=0，2，a ，B=1，a 2，若 AB=0，1，2，4，16 ，则a 的值为（ ）A0 B1 C2 D4【考点】并集及其运算菁优网版权所有【专题】集合【分析】根据题意，由并集的计算方法，结合 a 与 a2 的关系，易得 ，即可得答案【解答】解：A=0 ，2，a，B=1，a 2，A B=0，1，2，4，16a=4，故选 D【点评】本题考查了集合的并集运算，并用观察法得到相对应的元素，从而求得答案，本题属于容易题2 （5 分） （2009
2、 山东）i 是虚数单位， =（ ）A1+2i B1 2i C2+i D2i【考点】复数代数形式的乘除运算菁优网版权所有【专题】数系的扩充和复数【分析】将分式分子、分母同乘分母的共轭复数，分母实数化，分子化简即可【解答】解： =故选 C【点评】分母实数化，是计算复数除法的原则，需要正确计算是基础题目3 （5 分） （2009 山东）将函数 y=sin2x 的图象向左平移 个单位，再向上平移 1 个单位，所得图象的函数解析式是（ ）Ay=2cos 2x By=2sin 2x C Dy=cos2x【考点】函数 y=Asin（x+）的图象变换菁优网版权所有【专题】三角函数的图像与性质【分析】按照向左平
3、移，再向上平移，推出函数的解析式，即可2【解答】解：将函数 y=sin2x 的图象向左平移 个单位，得到函数 =cos2x 的图象，再向上平移 1 个单位，所得图象的函数解析式为 y=1+cos2x=2cos2x，故选 A【点评】本题考查函数 y=Asin（x+）的图象变换，考查图象变化，是基础题4 （5 分） （2009 山东）一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A2 + B C D4【考点】由三视图求面积、体积菁优网版权所有【专题】立体几何【分析】由三视图可以看出，此几何体是一个上部为圆锥、下部为圆柱的几何体，故可以分部分求出圆锥与圆柱的体积再相加求出此简单组合体的体积
4、【解答】解：所求几何体为一个圆柱体和圆锥体构成其中圆锥的高为 其体积为 =圆柱的体积为 122=2故此简单组合体的体积 V= +2故选 C【点评】本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公式求表面积与体积，本题求的是简单组合体的体积三视图的投影规则是：“主视、俯视 长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视 宽相等”三视图是高考的新增考点，不时出现在高考试题中，应予以重视5 （5 分） （2009 山东）已知 ， 表示两个不同的平面，m 为平面 内的一条直线，则“”是“m”的（ ）A充分不必要
5、条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【考点】必要条件；空间中直线与平面之间的位置关系菁优网版权所有【专题】空间位置关系与距离；简易逻辑3【分析】判充要条件就是看谁能推出谁由 m，m 为平面 内的一条直线，可得 ；反之， 时，若 m 平行于 和 的交线，则 m，所以不一定能得到 m【解答】解：由平面与平面垂直的判定定理知如果 m 为平面 内的一条直线，且 m，则 ，反之， 时，若 m 平行于 和 的交线，则 m，所以不一定能得到 m，所以“”是“m”的必要不充分条件故选 B【点评】本题考查线面垂直、面面垂直问题以及充要条件问题，属基本题6 （5 分） （2009 山东）函数
6、y= 的图象大致为（ ）A B C D【考点】函数的图象与图象变化菁优网版权所有【专题】函数的性质及应用【分析】欲判断图象大致图象，可从函数的定义域x|x0方面考虑，还可从函数的单调性（在函数当 x0 时函数为减函数）方面进行考虑即可【解答】解析：函数有意义，需使 exex0，其定义域为x|x0，排除 C，D ，又因为 ，所以当 x0 时函数为减函数，故选 A答案：A【点评】本题考查了函数的图象以及函数的定义域、值域、单调性等性质本题的难点在于给出的函数比较复杂，需要对其先变形，再在定义域内对其进行考查其余的性质7 （5 分） （2009 山东）设 P 是ABC 所在平面内的一点， ，则（ ）
7、A B C D【考点】向量的加法及其几何意义；向量的三角形法则菁优网版权所有【专题】平面向量及应用4【分析】根据所给的关于向量的等式，把等式右边二倍的向量拆开，一个移项一个和左边移来的向量进行向量的加减运算，变形整理，得到与选项中一致的形式，得到结果【解答】解： ， ，故选 B【点评】本题考查了向量的加法运算和平行四边形法则，可以借助图形解答向量是数形结合的典型例子，向量的加减运算是用向量解决问题的基础，要学好向量的加减运算8 （5 分） （2009 山东）某工厂对一批产品进行了抽样检测如图是根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是96，106，样本数
8、据分组为96，98） ，98，100） ，100，102） ，102 ，104） ，104 ，106 ，已知样本中产品净重小于 100 克的个数是 36，则样本中净重大于或等于 98 克并且小于 104 克的产品的个数是（ ）A90 B75 C60 D45【考点】频率分布直方图；收集数据的方法菁优网版权所有【专题】概率与统计【分析】根据小长方形的面积=组距 求出频率，再根据 求出频数，建立等式关系，解之即可【解答】解：净重大于或等于 98 克并且小于 104 克的产品的个数设为 N2，产品净重小于100 克的个数设为 N1=36，样本容量为 N，则 ，故选 A5【点评】用样本估计总体，是研究统
9、计问题的一个基本思想方法对于总体分布，总是用样本的频率分布对它进行估计，频率分布直方图：小长方形的面积=组距 ，各个矩形面积之和等于 1， ，即 ，属于基础题9 （5 分） （2009 山东）设双曲线 的一条渐近线与抛物线 y=x2+1 只有一个公共点，则双曲线的离心率为（ ）A B5 C D【考点】双曲线的简单性质菁优网版权所有【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】由双曲线方程求得双曲线的一条渐近线方程，与抛物线方程联立消去 y，进而根据判别式等于 0 求得 ，进而根据 c= 求得 即离心率【解答】解：双曲线 的一条渐近线为 ，由方程组 ，消去 y，有唯一解，所以= ，所以 ， ，故选
10、D【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质离心率问题是圆锥曲线中常考的题目，解决本题的关键是找到 a 和 b 或 a 和 c 或 b 和 c 的关系10 （5 分） （2009 山东）定义在 R 上的函数 f（x）满足，则 f（2009）的值为（ ）A1 B0 C1 D2【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的值；对数的运算性质菁优网版权所有【专题】函数的性质及应用6【分析】本题考查的知识点是分段函数的性质及对数的运算性质，要求 f（2009）的值，则函数的函数值必然呈周期性变化，由函数的解析式，我们列出函数的前若干项的值，然后归纳出函数的周期，即可求出 f（ 2009）的值【解答】解
11、：由已知得 f（1）=log 22=1，f（0）=0 ，f（1）=f（0）f（1）= 1，f（2）=f（1）f（0）= 1，f（3）=f（2）f（1）= 1（1）=0，f（4）=f（3）f（2）=0 （1）=1，f（5）=f（4）f（3）=1，f（6）=f（5）f（4）=0，所以函数 f（x）的值以 6 为周期重复性出现 ，所以 f（2009 ）=f（5）=1 ，故选 C故选 C【点评】分段函数分段处理，这是研究分段函数图象和性质最核心的理念，具体做法是：分段函数的定义域、值域是各段上 x、y 取值范围的并集，分段函数的奇偶性、单调性要在各段上分别论证；分段函数的最大值，是各段上最大值中的最大
12、者11 （5 分） （2009 山东）在区间1，1上随机取一个数 x， 的值介于 0 到 之间的概率为（ ）A B C D【考点】几何概型菁优网版权所有【专题】概率与统计【分析】本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要找出 的值介于 0 到 之间对应线段的长度，交将其代入几何概型计算公式进行求解【解答】解：在区间1，1上随机取一个数 x，即 x1，1 时，要使 的值介于 0 到 之间，需使 或 或 ，区间长度为 ，7由几何概型知 的值介于 0 到 之间的概率为 故选 A【点评】几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量” 只与“大小”有关，而与形
13、状和位置无关解决的步骤均为：求出满足条件 A 的基本事件对应的“几何度量 ”N（A ） ，再求出总的基本事件对应的“几何度量”N ，最后根据 P= 求解12 （5 分） （2009 山东）设 x，y 满足约束条件 ，若目标函数z=ax+by（a0 ，b0）的值是最大值为 12，则 的最小值为（ ）A B C D4【考点】基本不等式；二元一次不等式（组）与平面区域菁优网版权所有【专题】不等式的解法及应用【分析】已知 2a+3b=6，求 的最小值，可以作出不等式的平面区域，先用乘积进而用基本不等式解答【解答】解：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分，当直线 ax+by=z（a 0，b0）过直线 x
14、y+2=0 与直线 3xy6=0 的交点（4，6）时，目标函数 z=ax+by（a 0，b0）取得最大 12，即 4a+6b=12，即 2a+3b=6，而 = ，故选 A【点评】本题综合地考查了线性规划问题和由基本不等式求函数的最值问题要求能准确地画出不等式表示的平面区域，并且能够求得目标函数的最值二、填空题（共 4 小题，每小题 4 分，满分 16 分）813 （4 分） （2009 山东）不等式|x+3| |x2|3 的解集为 x|x1 【考点】绝对值不等式菁优网版权所有【专题】不等式的解法及应用【分析】首先分析不等式|x+3| |x2|3，含有两个绝对值号，故不能直接去绝对值需要分类讨论
15、，当 x3 时，当 3x2 时，当 x2 时，三种的情况综合起来即可得到答案【解答】解：当 x3 时，因为原不等式 |x+3|x2|3 去绝对值号得： （x+3）+（x2）3 可推出53，这显然不可能，当3 x2 时，因为原不等式|x+3| |x2|3 去绝对值号得：（x+3）+（x 2） 3 可推出，x1，故当 1x2 不等式成立当 x2 时，因为原不等式|x+3| |x2|3 去绝对值号得：（x+3）（x 2）3 可推出 53，这显然恒成立故综上所述，不等式的解集为 x|x1，故答案为x|x1【点评】此题主要考查绝对值不等式的解法，对于含有两个绝对值号的绝对值不等式，需要分类讨论才能求得答
16、案14 （4 分） （2009 山东）若函数 f（x）=a xxa（a0，且 a1）有两个零点，则实数 a 的取值范围是 （1，+） 【考点】函数的零点菁优网版权所有【专题】函数的性质及应用【分析】根据题设条件，分别作出令 g（x）=a x（a0，且 a1） ，h（x）=x+a，分0a1，a1 两种情况的图象，结合图象的交点坐标进行求解【解答】解：令 g（x）=a x（a0，且 a1） ，h（x）=x+a，分 0a1，a 1 两种情况在同一坐标系中画出两个函数的图象，如图，若函数 f（x）=a xxa 有两个不同的零点，则函数 g（x） ，h（x）的图象有两个不同的交点根据画出的图象只有当 a
17、1 时符合题目要求故答案为：（1，+）9【点评】作出图象，数形结合，事半功倍15 （4 分） （2009 山东）执行程序框图，输出的 T= 30 【考点】程序框图菁优网版权所有【专题】算法和程序框图【分析】本题首先分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算并输出变量 T 的值，模拟程序的运行，运行过程中各变量的值进行分析，不难得到输出结果【解答】解：按照程序框图依次执行为 S=5，n=2，T=2；S=10，n=4 ，T=2+4=6；S=15，n=6，T=6+6=12；S=20，n=8 ，T=12+8=20；S=25，n=10，T=20+10=30S
18、，输出 T=30故答案为：30【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，一般都可以反复的进行运算直到满足条件结束，本题中涉及到三个变量，注意每个变量的运行结果和执行情况16 （4 分） （2009 山东）定义在 R 上的偶函数 f（x） ，满足 f（x+2）=f（x）且在0 ，2 上是减函数，若方程 f（x）=m（m 0）在区间2，6上有四个不同的根 x1，x 2，x 3，x 4，则x1+x2+x3+x4= 8 【考点】函数奇偶性的性质菁优网版权所有【专题】函数的性质及应用【分析】通过函数为偶函数及 f（x+2 ）= f（x）推断出函数为周期函数根据对称性画出函数的示意图，根据函数图象即可得出
19、答案【解答】解：f（x+2）=f（x）f（ x）=f （x2）f（ x2）=f（x+2）10即 f（x）=f（x+4 ）f（ x）是一个周期函数，周期为 4又函数是偶函数，所以 f（x）关于 y 轴对称由 f（x）在0 ，2 上是减函数，可做函数图象示意图如图设 x1x 2x 3x 4f（ x）关于 y 轴对称，结合周期性知，函数关于 x=4 对称x1+x2=0 且 x3+x4=8x1+x2+x3+x4=8故答案为：8【点评】本题综合考查了函数的奇偶性，单调性，对称性，周期性，以及由函数图象解答方程问题，运用数形结合的思想和函数与方程的思想解答问题三、解答题（共 6 小题，满分 74 分）17
20、 （12 分） （2009 山东）设函数 f（x）=cos（2x+ ） +sin2x（1）求函数 f（x）的最大值和最小正周期（2）设 A，B，C 为ABC 的三个内角，若 cosB= ，f（ ）= ，且 C 为非钝角，求sinA【考点】二倍角的正弦；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的图象菁优网版权所有【专题】三角函数的图像与性质；解三角形【分析】 （1）利用余弦的和角公式及正弦的倍角公式，把已知函数转化为y=Asin（x+）+B 的基本形式即可；（2）先由（1）与 f（ ）= 求得 C，再由正余弦互化公式求得答案【解答】解：（1）f（x）=cos （2x+ ）+sin 2x=函数 f（x）
21、的最大值为 ，最小正周期 （2）f（ ）= = ， ，C 为三角形内角， ， ，11sinA=cosB= 【点评】本题考查和角公式、倍角公式及正余弦互化公式，同时考查形如y=Asin（x+）+B 的函数的性质18 （12 分） （2009 山东）如图，在直四棱柱 ABCDA1B1C1D1 中，底面 ABCD 为等腰梯形，AB CD，AB=4 ，BC=CD=2，E、F 是 AA1、AB 的中点（）证明：直线 EE1平面 FCC1；（）求二面角 BFC1C 的余弦值【考点】与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面平行的判定菁优网版权所有【专题】空间位置关系与距离；空间角；空间向量及应用；立体几何【
22、分析】 （）构造 DMCD，则以 DM 为 x 轴，DC 为 y 轴，DD 1 为 z 轴建立空间直角坐标系，欲证直线 EE1平面 FCC1，只需证明 垂直于平面 FCC1 的法向量即可其中的坐标由点 E、E 1 的坐标易得，而平面 FCC1 的法向量需设出后根据其与 、 垂直得到（）在（）所建立的空间直角坐标系中，平面 FCC1 的法向量已求得，而平面 BFC1 的法向量可设出后由其与 、 垂直得到，此时求出两法向量的夹角余弦值，则易得二面角 BFC1C 的余弦值【解答】 （）证明：因为 AB=4，BC=CD=2，F 是棱 AB 的中点，所以 BF=BC=CF，BCF 为正三角形，因为 AB
23、CD 为等腰梯形，所以BAD= ABC=60，取 AF 的中点 M，并连接 DM，则 DMAB，所以 DMCD，以 DM 为 x 轴，DC 为 y 轴，DD 1 为 z 轴建立空间直角坐标系，则 D（0，0，0） ，A（ ，1，0） ，F（ ，1，0） ，C （0，2，0） ，C1（0，2，2） ，E（ ， ，0） ，E 1（ ，1，1） ，所以 ， ，12设平面 CC1F 的法向量为则 所以取 ，则 ，所以 ，所以直线 EE1平面 FCC1（）解： ，设平面 BFC1 的法向量为 ，则 所以 ，取 ，则 ， ，所以 ，由图可知二面角 BFC1C 为锐角，所以二面角 BFC1C 的余弦值为 【
24、点评】本题主要考查向量法解决空间问题1319 （12 分） （2009 山东）在某校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投 3 次；在 A 处每投进一球得 3 分，在 B 处每投进一球得 2 分；如果前两次得分之和超过 3 分即停止投篮，否则投第三次，某同学在 A 处的命中率 q1 为 0.25，在 B 处的命中率为 q2，该同学选择先在 A 处投一球，以后都在 B 处投，用 表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为： 0 2 3 4 5p 0.03 0.24 0.01 0.48 0.24（1）求 q2 的值；（2）求随机变量 的数学期望 E；（3）试比较该同学选择都在 B 处投篮
25、得分超过 3 分与选择上述方式投篮得分超过 3 分的概率的大小【考点】古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量的期望与方差菁优网版权所有【专题】概率与统计【分析】 （1）记出事件，该同学在 A 处投中为事件 A，在 B 处投中为事件 B，则事件A，B 相互独立，根据相互独立事件同时发生的概率得到结果（2）根据上面的做法，做出分布列中四个概率的值，写出分布列算出期望，过程计算起来有点麻烦，不要在数字运算上出错（3）要比较两个概率的大小，先要把两个概率计算出来，根据相互独立事件同时发生的概率公式，进行比较【解答】解：（1）设该同学在 A 处投中为事件 A，在 B 处投中为事件 B，则事件 A，B
26、相互独立，且 P（A）=0.25，P（ ）=0.75，P （B ）=q 2，P （ ）=1q 2根据分布列知：=0 时 P（ ）=P （ ）P （ ）P（ ）=0.75（1q 2） 2=0.03，所以 1q2=0.2，q 2=0.8；（2）当 =2 时， P1=P=（ B + B）=P（ B ）+P （ B）=P（ ）P（B） P（ ）+P（ ）P（ ）P（B）=0.75q2（1 q2） 2=1.5q2（1q 2）=0.24当 =3 时， P2=P（A ）=P（A ）P （ ）P（ ）=0.25（1q 2） 2=0.01，当 =4 时， P3=P（ BB）P （ ）P （B ）P （B ）=0
27、.75q 22=0.48，当 =5 时， P4=P（A B+AB）=P（A B）+P（AB）=P（A）P （ ）P（B）+P（A）P（B）=0.25q 2（1q 2）+0.25q 2=0.24随机变量 的数学期望 E=00.03+20.24+30.01+40.48+50.24=3.63；（3）该同学选择都在 B 处投篮得分超过（ 3 分）的概率为 P（ BB+B B+BB）=P（ BB）+P（B B）+P （ BB）=2 （1 q2）q 22+q22=0.896；该同学选择（1）中方式投篮得分超过 3 分的概率为 0.48+0.24=0.7214由此看来该同学选择都在 B 处投篮得分超过 3
28、分的概率大【点评】本小题主要考查古典概型及其概率计算，考查取有限个值的离散型随机变量及其分布列和均值的概念，通过设置密切贴近现实生活的情境，考查概率思想的应用意识和创新意识体现数学的科学价值20 （12 分） （2009 山东）等比数列a n的前 n 项和为 Sn，已知对任意的 nN+，点（n，S n）均在函数 y=bx+r（b0 且 b1，b，r 均为常数的图象上（）求 r 的值（）当 b=2 时，记 bn=2（log 2an+1） （n N+） ，证明：对任意的 nN+，不等式成立【考点】数学归纳法菁优网版权所有【专题】等差数列与等比数列；不等式的解法及应用【分析】本题考查的数学归纳法及数
29、列的性质（1）由已知中因为对任意的 nN+，点（n，S n） ，均在函数 y=bx+r（b0 且 b1，b，r 均为常数的图象上根据数列中 an 与 Sn 的关系，我们易得到一个关于 r 的方程，再由数列an为等比数列，即可得到 r 的值（2）将 b=2 代入，我们可以得到数列a n的通项公式，再由 bn=2（log 2an+1） （nn） ，我们可给数列b n的通项公式，进而可将不等式 进行简化，然后利用数学归纳法对其进行证明【解答】解：（1）因为对任意的 nN+，点（n，S n） ，均在函数 y=bx+r（b0 且 b1，b，r 均为常数的图象上所以得 Sn=bn+r，当 n=1 时， a
30、1=S1=b+r，当 n2 时，a n=SnSn1=bn+r（b n1+r）=b nbn1=（b1）b n1，又因为a n为等比数列，所以 r=1，公比为 b，a n=（b1）b n1（2）当 b=2 时，a n=（b 1）b n1=2n1，b n=2（log 2an+1）=2（log 22n1+1）=2n则 ，所以下面用数学归纳法证明不等式 成立当 n=1 时，左边= ，右边= ，15因为 ，所以不等式成立假设当 n=k 时不等式成立，即 成立则当 n=k+1 时，左边=所以当 n=k+1 时，不等式也成立由、可得不等式恒成立【点评】数学归纳法常常用来证明一个与自然数集 N 相关的性质，其步
31、骤为：设 P（n）是关于自然数 n 的命题，若 1） （奠基） P（n）在 n=1 时成立；2） （归纳） 在 P（k） （k 为任意自然数）成立的假设下可以推出 P（k+1）成立，则 P（n）对一切自然数 n 都成立21 （12 分） （2009 山东）两城市 A 和 B 相距 20km，现计划在两城市外以 AB 为直径的半圆弧 上选择一点 C 建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，对城 A 和城 B 的总影响度为城 A 与城 B 的影响度之和，记 C 点到城 A 的距离为 x km，建在 C 处的垃圾处理厂对城 A 和城 B 的总影响度为 y，统计调查表明：垃圾处理厂
32、对城 A 的影响度与所选地点到城 A 的距离的平方成反比，比例系数为 4；对城 B 的影响度与所选地点到城 B 的距离的平方成反比，比例系数为 k，当垃圾处理厂建在 的中点时，对城 A 和城 B 的总影响度为 0.065（1）将 y 表示成 x 的函数；（2）判断弧 上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城 A 和城 B 的总影响度最小？若存在，求出该点到城 A 的距离；若不存在，说明理由【考点】函数模型的选择与应用；基本不等式在最值问题中的应用菁优网版权所有【专题】函数的性质及应用【分析】 （1）根据“垃圾处理厂对城 A 的影响度与所选地点到城 A 的距离的平方成反比，比例系数为 4；对城
33、 B 的影响度与所选地点到城 B 的距离的平方成反比，比例系数为 k， ”建立函数模型： ，再根据当 时，y=0.065，求得参数 k16（2）总影响度最小，即为：求 的最小值时的状态令t=x2+320，将函数转化为： ，再用基本不等式求解【解答】解：（1）由题意得 ，又 当 时，y=0.065 ，k=9 （7 分）（2） ，令 t=x2+320（320，720） ，则 ，当且仅当 时，等号成立 （14 分）弧 上存在一点，该点到城 A 的距离为 时，使建在此处的垃圾处理厂对城 A 和城B 的总影响度最小为 0.0625 （16 分）【点评】本题主要考查函数模型的建立和应用，主要涉及了换元法，
34、基本不等式法和转化思想的考查22 （14 分） （2009 山东）设椭圆 E： =1（a，b0）M（2， ） ，N（ ，1） ，O 为坐标原点（）求椭圆 E 的方程；（）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒在两个交点 A，B且 ？若存在，写出该圆的方程，关求|AB| 的取值范围；若不存在，说明理由【考点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题菁优网版权所有【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题【分析】 （1）把点 M 和 N 代入椭圆的标准方程，可求得 a 和 b，进而可得椭圆 E 的方程（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭
35、圆 E 恒有两个交点 A，B，且 ，设该圆的切线方程为 y=kx+m，直线和椭圆方程联立，消去 y，根据判别式大于 0 求得 k 和 m 的不等式关系，再根据使 ，需使 x1x2+y1y2=0，分别用 k 和 m 分别表示出 x1x2 和 y1y2 进而可求得 k 和 m 的关系，代入 k 和 m 的不等式关系中求得 m 的范围，因为直线 y=kx+m 为圆心在原点的圆的一条切线，求得半径，圆的方程可得此时圆的切线 y=kx+m 都满足，进而判定存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆17E 恒有两个交点 A，B，且 最后用 k 表示出|AB|，根据 k 的范围确定|AB| 的范围【解
36、答】解：（1）因为椭圆 E： （a，b0）过 M（2， ） ，N（ ，1）两点，所以 解得所以 椭圆 E 的方程为（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A，B，且 ，设该圆的切线方程为 y=kx+m 解方程组得 x2+2（kx+m） 2=8，即（1+2k 2）x 2+4kmx+2m28=0，则=16k 2m24（1+2k 2） （2m 28）=8（8k 2m2+4）0，即 8k2m2+40 ，要使 ，需使 x1x2+y1y2=0，即 ，所以 3m28k28=0，所以 又 8k2m2+40，所以 ，所以 ，18即 或 ，因为直线 y=kx+m 为圆心在原点的圆的一条切线，所以圆的半径为 ，所求的圆为 ，此时圆的切线 y=kx+m 都满足 或 ，而当切线的斜率不存在时切线为 与椭圆 的两个交点为或 满足 ，综上，存在圆心在原点的圆 ，使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A，B，且 因为 ，所以，= ，当 k0 时因为 所以 ，19所以 ，所以 当且仅当 时取”=” 2 当 k=0 时，【点评】本题主要考查了椭圆的标准方程和椭圆与直线的关系考查了学生综合分析问题和解决问题的能力
