1、曲线运动【知识梳理】一、曲线运动1曲线运动的速度方向做曲线运动的物体，在某点的速度方向，就是通过这一点的轨迹的 物体在曲线运动中的速度方向 ，所以曲线运动一定是 （说明：曲线运动是变速运动，只是说明物体具有加速度，但加速度不一定是变化的，例如，抛物运动都是匀变速曲线运动 ）2物体做曲线运动的条件物体所受的 与 不在同一直线上，也就是 与 不在同一直线上当物体受到的合外力的方向与速度方向的夹角为锐角时，物体做曲线运动的速率将 ；当物体受到的合外力的方向与速度方向的夹角为钝角时，物体做曲线运动的速率将 ；当物体受到的合外力的方向与速度的方向垂直时，该力只改变速度 ，不改变速度的 3曲线运动的分类4
2、曲线运动的轨迹做曲线运动的物体，其轨迹向合外力所指一方弯曲，若已知物体的运动轨迹，可判断出物体所受合力的大致方向如平抛运动的轨迹向下弯曲，圆周运动的轨迹总向圆心弯曲等速度和加速度在轨迹两侧，轨迹向力的方向弯曲，但不会达到力的方向 曲线运动匀变速曲线运动匀变速曲线运动（1）物体所受合外力方向与初速度的方向不在同一直线上（2）物体所受合外力是恒力（1）物体所受合外力方向与初速度的方向不在同一直线上（2）物体所受合外力是变力（可以是力的大小改变，也可以是方向改变或两者同时改变）二、合运动与分运动的关系1 ： 2独立性： 3等效性三、运动的合成与分解的方法1运动的合成与分解：包括位移、速度、加速度的合
3、成和分解它们和力的合成与分解一样都遵守平行四边形定则，由已知的分运动求跟它们等效的合运动叫做运动的合成，由已知的合运动求跟它等效的分运动叫做运动的分解2运动分解的基本方法根据运动的实际效果将描述合运动规律的各物理量(位移、速度、加速度)按平行四边形定则分别分解，或进行正交分解 两直线运动的合运动的性质和轨迹，由 及合初速度与合加速度的 决定（1） 根据 判定合运动是匀变速运动还是非匀变速运动：若合加速度不变则为匀变速运动；若合加速度变化(包括大小或方向)则为非匀变速运动（2） 根据 判定合运动是直线运动还是曲线运动：若合加速度与合初速度的方向在同一直线上则为直线运动，否则为曲线运动两个匀速直线
4、运动的合运动仍然是匀速直线运动一个匀速直线运动与一个匀变速直线运动的合运动仍然是匀变速运动，当二者共线时为匀变速直线运动，不共线时为匀变速曲线运动两个初速度为零的匀加速直线运动的合运动仍然是匀加速直线运动两个匀变速直线运动的合运动仍然是匀变速运动；若合初速度与合加速度在同一直线上，则合运动为匀变速直线运动，如图甲所示；不共线时为匀变速曲线运动，如图乙所示 如图所示，用 v1 表示船速， v2 表示水速我们讨论几个关于渡河的问题 当 垂直河岸时（即船头垂直河岸） ，渡河时间最短 ，船渡河的位移 ；1v 1vdtsind以最小位移渡河：当船在静水中的速度 大于水流速度 时，小船可以垂直渡河，显1v
5、2然渡河的最小位移 s 等于河宽 d，船头与上游夹角满足 ，此时渡河时间1cosvsin1vdt平抛运动【知识梳理】1、平抛运动：将物体用一定的初速度沿水平方向抛出，不考虑空气阻力，物体只在重力作用下所做的运动叫做平抛运动二、平抛运动的性质：是加速度为重力加速度 g 的 ，轨迹是抛物线三、平抛运动的研究方法平抛运动可以分解为水平方向的 和竖直方向的 。飞行时间： t ，取决于物体下落的高度 h，与初速度 v0无关2hg水平射程： x v0t v0 ，由平抛初速度 v0和下落高度 h 共同决定2hg推论 1：做平抛(或类平抛)运动的物体在任一时刻任一位置处，设其末速度方向与水平方向的夹角为 ，位
6、移与水平方向的夹角为 ，则 tan 2 tan .020tan1vgtxystvx 020tanvgtvtxyxyxB推论 2：做平抛(或类平抛)运动的物体任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点如图中点为 B 点推论 3：类平抛运动的特点是物体所受的合力为恒力，且与初速度方向垂直(初速度 v0方向不一定是水平方向，即合力的方向也不一定是竖直方向，且加速度大小不一定等于重力加速度 g)类平抛运动的特点与平抛运动相类似，所以处理平抛运动的思路和方法可以迁移到讨论类平抛运动中类平抛运动可看成是沿初速度方向的匀速直线运动和垂直初速度方向(沿受力方向)的匀加速直线运动的合运动但要分析清
7、楚加速度的大小和方向圆周运动【知识梳理】一、描述圆周运动的物理量线速度 v 角速度 向心加速度 an 向心力 Fn公式 v = s/t = 2r/ T= 2rf=/t =2/ T= 2fan = v2/r= 2r=vFn = mv2/r=m 2r= mv意义 表示运动快慢 表示转动快慢 速度方向变化快慢 向心力是合力。单位 m/s rad/s m/s2 N关系 v =r F 合 = Fn = m an应用 同一圆周上各点线速度相等。两轮传动时，两圆边缘上各点线速度相等。同一个圆内各点角速度相等。弧度=弧长/半径=角度(/180)是一个变化量，方向始终指向圆心。是一个变化量，方向始终指向圆心。（
8、向心力是根据力的效果命名的，在分析做圆周运动物体的受力情况时，切不可在物体的相互作用力外再添加一个向心力 ）二、匀速圆周运动1性质：是速度大小不变，而速度方向时刻在变的 ，并且加速度大小不变，方向时刻变化的 2质点做匀速圆周运动的条件：合外力大小不变，方向始终与速度方向垂直且指向圆心 向心力的来源：(1)做匀速圆周运动时， 充当向心力(2)变速圆周运动中物体合外力 的分量充当向心力3两个结论(1)同一转动圆盘(或物体)上的各点 相同(2)皮带连接的两轮不打滑时，轮缘上各点的 相等4物体在竖直平面内的圆周运动是典型的变速圆周运动，一般情况下只讨论最高点和最低点的情况绳约束物体做圆周运动：如图所示
9、细绳系着的小球或在圆轨道内侧运动的小球，当它们通过最高点时，有N mg .因 N0，所以 v ，即为物体通过最高点的速度的临界值mv2r gr(1)v 时， N0，物体刚好通过轨道最高点，对绳无拉力或对轨道无压力gr(2)v 时， N0，物体能通过轨道最高点，对绳有拉力或对轨道有压力gr(3)v 时， N0，对物体产生指向圆心的弹力grkTa23天体运动【知识梳理】一、开普勒行星运动定律 （1） 、所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个焦点上， （2） 、对于每一颗行星，太阳和行星的联线在相等的时间内扫过相等的面积， （3） 、所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二
10、次方的比值都相等。二、万有引力定律1内容：宇宙间的一切物体都是互相吸引的，两个物体间的引力大小，跟它们的质量的乘积成正比，跟它们的距离的平方成反比2公式： F G ，其中 G6.6710 11 Nm2/kg2，称为引力常量m1m2r23适用条件：严格地说公式只适用于质点间的相互作用，当两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时，公式也可近似使用，但此时 r 应为两物体重心间的距离对于均匀的球体， r 是两球心间的距离三、万有引力定律的应用1解决天体(卫星)运动问题的基本思路(1)把天体(或人造卫星)的运动看成是匀速圆周运动，其所需向心力由万有引力提供，关系式：G m m 2r m 2r.Mmr2
11、 v2r (2T)(2)在地球表面或地面附近的物体所受的重力等于地球对物体的万有引力，即mg G ， gR2 GM.MmR22天体质量和密度的估算通过观察卫星绕天体做匀速圆周运动的周期 T，轨道半径 r，由万有引力等于向心力，即 G m r，得出天体质量 . Mmr2 4 2T2(1)若已知天体的半径 R，则天体的密度 (2)若天体的卫星环绕天体表面运动，其轨道半径 r 等于天体半径 R，则天体密度 可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期，就可求得天体的密度3人造卫星(1)研究人造卫星的基本方法把卫星的运动看成匀速圆周运动，其所需的向心力由万有引力提供 G m mr 2 mr ma 向Mmr
12、2 v2r 4 2T2(2)卫星的线速度、角速度、周期与半径的关系由 G m 得 ，故 r 越大， v 越小Mmr2 v2r由 G mr 2得 ，故 r 越大， 越小Mmr2由 G mr 得 ，故 r 越大， T 越大Mmr2 4 2T2(3)人造卫星的超重与失重人造卫星在发射升空时，有一段加速运动；在返回地面时，有一段减速运动，这两个过程加速度方向均向上，因而都是超重状态人造卫星在沿圆轨道运动时，由于万有引力提供向心力，所以处于完全失重状态在这种情况下凡是与重力有关的力学现象都会停止发生(4)三种宇宙速度第一宇宙速度(环绕速度) v17.9 km/s.这是卫星绕地球做圆周运动的最大速度，也是
13、卫星的最小发射速度若 7.9 km/s vv1v3 Bv 3v1v2 Ca 2a3a1 Da 2a1a34(2009 年天津模拟)如图 4-3 所示，一根跨越光滑定滑轮的轻绳，两端各有一杂技演员(可视为质点)，a 站于地面，b 从图示的位置由静止开始向下摆动，运动过程中绳始终处于伸直状态，当演员 b 摆至最低点时，a 刚好对地面无压力，则演员 a 质量与演员 b 质量之比为( )A11 B21 C31 D4152007 年 11 月 5 日， “嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道到达月球，在距月球表面 200 km 的 P 点进行第一次“刹车制动”后被月球捕获，进入椭圆轨道 I 绕月飞行，如图
14、4-4 所示之后，卫星在 P 点又经过两次“刹车制动” ，最终在距月球表面 200 km 的圆形轨道上绕月球做匀速圆周运动则下面说法正确的是( )A由于“刹车制动” ，卫星在轨道上运动的周期将比沿轨道 I 运动的周期长B虽然“刹车制动” ，但卫星在轨道上运动的周期还是比沿轨道 I 运动的周期短C卫星在轨道上经过 P 点时的速度比在轨道上经过 P 点的速度大D卫星在轨道上运行时的速度比月球的第一宇宙速度大6如图 4-5 所示，墙壁上落有两只飞镖，它们是从同一位置水平射出的，飞镖 A 与竖直墙壁成 53，飞镖 B 与墙壁成 37，两者相距为 d，假设飞镖的运动是平抛运动，射出点离墙壁的水平距离 s
15、 为(sin 37=06，cos 37=08)( )A. B.5d C.2d D. d24d7 1757如图 4-6 所示光滑杆偏离竖直方向的夹角为 a，杆以 O 为支点绕竖直杆旋转，质量为 m 的小球套在杆上可沿杆滑动，当杆角速度为 1时，小球旋转平面在 A 处，当杆角速度为 2时，小球旋转平面在 B 处，设杆对球的支持力在 A、B 处分别为 FN1、F N2，则( )AF N1FN2 BF N1=FN2 C 1 28甲、乙、丙三小球分别位于如图 4-7 所示的竖直平面内，甲、乙在同一条竖直线上，甲、丙在同一条水平线上，水平面上的 P 点在丙的正下方，在同一时刻甲、乙、丙开始运动，甲以水平速
16、度 v0平抛，乙以水平速度 v0沿水平面向右做匀速直线运动，丙做自由落体运动则( )A若甲、乙、丙三球同时相遇，则一定发生在 P 点B若甲、丙二球在空中相遇，此时乙球一定在 P 点C若只有甲、乙二球在水平面上相遇，此时丙球还未着地D无论初速度 v0 大小如何，甲、乙、丙三球一定会同时在 P 点相遇9某人造地球卫星因受高空稀薄空气的阻力作用，绕地球转动的轨道会慢慢改变，每次测量中卫星的运动可近似看作圆周运动某次测量卫星的轨道半径为 r1，后来变为 r2，且 r2T1 CE k2Ek1，T 2Ek1，T 2T110如图 4-8 所示，小船从 A 码头出发，使船头始终垂直河岸渡河，若河宽为 d，渡河
17、速度 v 船恒定，河水的流速与到最近河岸的距离 x 成正比，即 v水=kx(x ， k 为常量)，要使小船能够到达距 A 对岸距离为 s 的d2B 码头，则( )Av 船应为 Bv 船应为 C渡河时间为 D渡河时间为2kd4s2kds4skd2skd11(2008 年广东卷)如图 4-9 是“嫦娥一号”奔月示意图，卫星发射后通过自带的小型火箭多次变轨，进入地月转移轨道，最终被月球引力捕获，成为绕月卫星，并开展对月球的探测，下列说法正确的是( )A发射“嫦娥一号”的速度必须达到第三宇宙速度B在绕月圆轨道上，卫星周期与卫星质量有关C卫星受月球的引力与它到月球中心距离的平方成反比D在绕月圆轨道上，卫
18、星受地球的引力大于受月球的引力12如图 4-10 所示，物体 A 和 B 质量均为 m，分别与轻绳连接跨过定滑轮(不计绳及滑轮的摩擦)，当用水平变力 F 拉物体 B 沿水平方向向右做匀速直线运动的过程中物体 A 也做匀速运动 绳子拉力始终大于物体 A 所受重力 绳子对物体 A 的拉力逐渐增大 绳子对物体 A 的拉力逐渐减小( )A B C D二、实验题1.本实验的目的是研究平抛运动的 ，并根据平抛运动水平方向的分运动是 、竖直方向的分运动是 的规律，求出平抛运动的 。2.在实验中为描绘出小球做平抛运动的轨迹要注意的操作要求是：(1)贴有白纸的木板应 放置。固定斜槽时，应使其末端保持 。这样做的
19、原因是要保证 。(2)每次小球在斜槽上开始运动的位置要求 (填入：相同或不相同 )，其原因是要保证小球的 才能描得小球的唯一运动轨迹。而且小球在空中运动时不能和木板上的白纸相接触。这是以免小球 而改变了运动的性质。3.现有下列主要实验步骤：(A)将白纸或方格纸钉在平板上；(B)用铅笔记录抛出点的位置；(C)安装斜槽，并检查槽口是否水平；(D)取下白纸，利用铅直方向作出过抛出点的 x 轴，并将小球通过各位置连成平滑曲线；(E)用重垂线确定铅直方向，检查平板是否直立，并用铅笔在纸上作出竖直 y 轴；(F)利用刻度尺和直角三角板测题曲线上各点的坐标(即水平飞行距离和竖直下降距离)，并依次记录在数据表
20、格中；(G)每次从斜槽上同一高度处释放小球，用木条(或凹槽)依次确定小球平抛轨迹上的一系列位置，并记录在纸上；(H)根据测出的曲线上选取几个不同点的坐标，分别求出小球的初速度，最后算出平均值。合理的实验步骤顺序是 4.在研究平抛运动的实验中，用一张印有小方格的纸记录轨迹，小方格的边长 =1.25l厘米。若小球在平抛运动途中的几个位置，如图 4-10 中的 a,b,c,d 所示，则小球平抛的初速度的计算式是 v0= (用 ，g 表示)，其值是 。l5.一个同学做平抛运动实验时，只在白纸上画出了初速度的方向 AX，忘记在纸上记下斜槽末端的位置，并且只在坐标纸上画出如图 4-11 所示的一段物体做平
21、抛运动轨迹曲线，如何只用一付带刻度的三角尺得出这个做平抛的物体的初速度。三、计算题1.如图 4-12 所示，小球在斜面顶点 A 处以 v0=10 米/秒的水平速度抛出，求小球抛出后经过多长时间离斜面的距离最大？最大值是多少？若着地点为斜面的末端 B，则斜面的长是多少？2.细绳长 L=0.6 米，能承受的最大张力 Tm=10 牛顿，其一端固定于高 h=2.1 米的 O 点，另一端系一质量 m=0.5 千克的小球，在水平面内做圆锥摆运动，如图 4-13 所示。逐渐加快圆锥摆的转速直至线被拉断，求小球着地点跟 O 的水平距离。3.如图 4-14 所示，质量 m=0.5 千克的小球固定在长 =0.4
22、米轻杆的一端，小球以 v=1l米/秒的速度绕杆的另一端 O 点在竖直平面内做匀速圆周运动。求：(1)运动到最高点 A 时，杆对小球的作用力为多大？方向如何？(2)运动到最低点 B 时，杆对小球的作用力为多大？方向如何？(3)若小球以 v =3 米/秒绕 O 点做圆周运动，则运动到最高点 A 时，杆对小球的作用力为多大？方向如何？4.设星际火箭在月球上空 50 米处自由落下一套测量仪器，月球半径为地球半径的1/3.7，月球质量是地球质量的 1/81。求仪器离开火箭降落到月球表面需要多长时间。参考答案一、选择题1B 设小球从抛出至落到斜面上的时间为 t，在这段时间内水平位移和竖直位移分别为 x=v
23、0t，y= gt2如图所示，由几何关系可知 tan= = ,所以小球的运动时间 t= .yx2001gtv02vtan2D 质点在前 2 s 内做匀加速直线运动，2 s 末的速度为 v=4 ms，2 s3 s 做类平抛运动，加速度大小为 6 ms 2，1 s 内沿 x 轴方向的位移是 4 m，y 方向的位移是 3 m，故 D 正确3AD 卫星运行速度为 v= ，因同步卫星的轨道半径大于近地卫星的轨道半径，所以GMr有 v2v1，同步卫星与地球自转的角速度相同，由 v=r 可知，v 1v3卫星做圆周运动的加速度为 a= ，因同步卫星的轨道半径大于近地卫星的轨道半径，所2r以有 a2a1，同步卫星
24、与地球自转的角速度相同，由 a= 2r 可知，a 1a34B 设 b 摆至最低点时的速度为 v，由机械能守恒定律可得：mgl(1-cos 60)= mv2，解得 v= 设 b 至最低点时绳子的拉力为 FT，由圆周运动知识得：F T-glmbg=mb= ，解得 FT=2mbg，对演员 a 有 FT=mag，所以，演员 a 质量与演员 b 质量之比为vl215BC 由开普勒第三定律知，轨道半长轴越大，周期越长，A 错 B 对；过 P 点时，在上做圆周运动，在上做离心运动，可得 C 对；由第一宇宙速度的定义可知半径越大，v 越小，D 错6A 设当飞镖与墙之间的夹角为 时，水平距离为 s，时间为 t，
25、飞镖方向与末速度的方向相同，由末速度矢量分解及平抛规律得，v x=vytan=gttan，s=vxt，h= gt2,可1得 h= s对飞镖 A，夹角为 =53，代入可得 h1= s12tan 38对飞镖 B：夹角为 =37，代入可得 h2= s3又因 h2-h1=d，所以 s= d477BD 受力分析知：F Ncos a=mr 2,FN sina=mg，故 FN1=FN2， 1 28AB 因为乙、丙只可能在 P 点相遇，所以三球若相遇，则一定相遇于 P 点，A 正确因为甲、乙在水平方向做速度相同的匀速直线运动，所以 B 项正确因为甲、丙两球在竖直方向同时开始做自由落体运动，C 项错因 B 项存
26、在可能，所以 D 项错9C 当卫星的轨道半径越来越小时，由 G ，得 v= ，线速度越来越大，22MmvrGMr所以动能增大，由 G r，得 T= ，周期越来越小，故 C 正确22Mm4rT234rGM10AC 将小船的运动分解为两个方向上的分运动：在垂直于河岸方向上小船做匀速直线运动，沿岸方向上做与水流相同速度的直线运动而水流的速度 v 水 =kx=kv 船 t=at(t)；所以在沿河岸的方向上，可以看作小船做先匀加速后匀减速的直线运动，渡河时d2v船间可表示为 t= 从垂直河岸方向，渡河时间 t= ，得船速 v 船 =s4sukd(0)/22 dv船.故 AC 正确2dkt4s11C 第三
27、宇宙速度是卫星脱离太阳系的最小发射速度，所以“嫦娥一号”卫星的发射速度一定小于第三宇宙速度；设卫星轨道半径为 r，由万有引力定律知卫星受到的引力 F=G ；设卫星的周期为 T，由 G =m2Mmr 2Mm得 T2= ，所以卫星的周期与月球质量有关与卫星质量无关；24r3rGM卫星在绕月圆轨道上运行时，由于离地球很远，受到地球引力很小，卫星做圆周运动的向心力主要是月球引力提供答案为 C12D 对 B 的速度进行分析当 B 沿水平方向向右做匀速直线运动时，一方面 B 与滑轮间的绳子变长，说明物体有沿绳方向的分速度，另一方面 B 绕滑轮逆时针方向转动，说明 B 具有垂直于绳子方向的分速度，如图所示，
28、将 B 物体的速度分解因 A 物体上升的速度与 B 物体沿绳方向的分速度相等，所以 vA=vcos；因为 v 不变， 将减小，所以 uA 将增大,物体 A 做加速运动对物体 A 由牛顿第二定律知：A 处于超重状态，拉力大于重力又因为当 越小时，cos 变化越慢，也就是加速度减小二、1.轨迹、匀速直线运动、自由落体、初速度 2.(1)竖直、水平、小球抛出的初速度沿水平方向 (2)相同、初速度大小相同，受到阻力。 3.A C B E G D F H 4. 2glm/s 5.(1)在轨迹曲线的前端和末端分别取一点 P1和 P3；(2)过 P1P3作 AX 的垂线，2/交 AX 于 (3)取 中点 ，过 作 AX 垂线交轨迹曲1P313P2线于 P2 (4)设 =y1 =y2 =y3 =x 解得312y1y2y3x (5)由 求得初速度 v03210()()yygTvT三、1. 秒， 米， 米 2.0.3 米 3.3.75 牛竖直向上推小球，6.25 牛竖直向上547拉小球 6.25 牛竖直向下拉小球 4. 9103.7s
