1、第一模块：曲线运动、运动的合成和分解夯实基础知识考点一、曲线运动1、定义：运动轨迹为曲线的运动。2、物体做曲线运动的方向：做曲线运动的物体，速度方向始终在轨迹的切线方向上，即某一点的瞬时速度的方向，就是通过该点的曲线的切线方向。3、曲线运动的性质由于运动的速度方向总沿轨迹的切线方向，又由于曲线运动的轨迹是曲线，所以曲线运动的速度方向时刻变化。即使其速度大小保持恒定，由于其方向不断变化，所以说：曲线运动一定是变速运动。由于曲线运动速度一定是变化的，至少其方向总是不断变化的，所以，做曲线运动的物体的加速度必不为零，所受到的合外力必不为零。4、物体做曲线运动的条件（1）物体做一般曲线运动的条件物体所
2、受合外力（加速度）的方向与物体的速度方向不在一条直线上。（2）物体做平抛运动的条件物体只受重力，初速度方向为水平方向。可推广为物体做类平抛运动的条件：物体受到的恒力方向与物体的初速度方向垂直。（3）物体做圆周运动的条件物体受到的合外力大小不变，方向始终垂直于物体的速度方向，且合外力方向始终在同一个平面内（即在物体圆周运动的轨道平面内）总之，做曲线运动的物体所受的合外力一定指向曲线的凹侧。5、分类匀变速曲线运动：物体在恒力作用下所做的曲线运动，如平抛运动。非匀变速曲线运动：物体在变力(大小变、方向变或两者均变) 作用下所做的曲线运动，如圆周运动。考点二、运动的合成与分解1、运动的合成：从已知的分
3、运动来求合运动，叫做运动的合成，包括位移、速度和加速度的合成，由于它们都是矢量，所以遵循平行四边形定则。运动合成重点是判断合运动和分运动，一般地，物体的实际运动就是合运动。2、运动的分解：求一个已知运动的分运动，叫运动的分解，解题时应按实际“效果” 分解，或正交分解。3、合运动与分运动的关系：运动的等效性（合运动和分运动是等效替代关系，不能并存） ；等时性：合运动所需时间和对应的每个分运动时间相等独立性：一个物体可以同时参与几个不同的分运动，物体在任何一个方向的运动，都按其本身的规律进行，不会因为其它方向的运动是否存在而受到影响。运动的矢量性（加速度、速度、位移都是矢量，其合成和分解遵循平行四
4、边形定则。 ）4、运动的性质和轨迹物体运动的性质由加速度决定（加速度为零时物体静止或做匀速运动；加速度恒定时物体做匀变速运动；加速度变化时物体做变加速运动） 。物体运动的轨迹（直线还是曲线）则由物体的速度和加速度的方向关系决定（速度与加速度方向在同一条直线上时物体做直线运动；速度和加速度方向成角度时物体做曲线运动） 。常见的类型有：（1 ） a=0：匀速直线运动或静止。（2 ） a 恒定：性质为匀变速运动，分为： v、a 同向，匀加速直线运动；v、a 反向，匀减速直线运动；v、a 成角度，匀变速曲线运动（轨迹在 v、a 之间，和速度 v 的方向相切，方向逐渐向 a 的方向接近，但不可能达到。
5、）（3 ） a 变化：性质为变加速运动。如简谐运动，加速度大小、方向都随时间变化。具体如：两个匀速直线运动的合运动一定是匀速直线运动。一个匀速直线运动和一个匀变速直线运动的合运动仍然是匀变速运动，当两者共线时为匀变速直线运动，不共线时为匀变速曲线运动。两个匀变速直线运动的合运动一定是匀变速运动，若合初速度方向与合加速度方向在同一条直线上时，则是直线运动，若合初速度方向与合加速度方向不在一条直线上时，则是曲线运动。题型解析类型题： 曲线运动的条件 【例题】 （1991 年上海高考题）如图所示，物体在恒力 F 作用下沿曲线从 A 运动到 B，这时，突然使它所受力反向，大小不变，即由变为。在此力的作
6、用下，物体以后的运动情况，下列说法正确的是（ ）ABabA物体不可能沿曲线a 运动B物体不可能沿直线b 运动C物体不可能沿曲线c 运动D物体不可能沿原曲线由返回 A【例题】质量为 m 的物体受到一组共点恒力作用而处于平衡状态，当撤去某个恒力 F1 时，物体可能做( )A匀加速直线运动； B匀减速直线运动；C匀变速曲线运动； D变加速曲线运动。解析：当撤去 F1 时，由平衡条件可知：物体此时所受合外力大小等于 F1，方向与 F1 方向相反。若物体原来静止，物体一定做与 F1 相反方向的匀加速直线运动。若物体原来做匀速运动，若 F1 与初速度方向在同一条直线上，则物体可能做匀加速直线运动或匀减速直
7、线运动，故 A、B 正确。若 F1 与初速度不在同一直线上，则物体做曲线运动，且其加速度为恒定值，故物体做匀变速曲线运动，故 C 正确，D 错误。正确答案为：A、B 、C。【例题】我国“嫦娥一号” 探月卫星经过无数人的协作和努力，终于在 2007 年 10 月 24 日晚 6 点 05 分发射升空。如图所示， “嫦娥一号” 探月卫星在由地球飞向月球时，沿曲线从 M 点向 N 点飞行的过程中，速度逐渐减小。在此过程中探月卫星所受合力的方向可能的是（ ）解析：C 卫星运动的速度方向沿其轨迹的切线方向，由于速度逐渐减小，则合力方向与速度方向间的夹角大于，由轨迹的弯曲方向知，合力必指向其弯曲方向故选
8、C。90【例题】质点仅在恒力 F 的作用下，由 O 点运动到 A 点的轨迹如图所示，在 A 点时速度的方向与 x 轴平行，则恒力 F 的方向可能沿（ ）Ax 轴正方向Bx 轴负方向C y 轴正方向Dy 轴负方向解析：D 根据曲线运动轨迹特点可知：物体的轨迹总是向合外力一方凹陷，而且最终的速度方向不与合外力方向平行，可知 D 正确。【例题】一个物体以初速度 vo 从 A 点开始在光滑的水平面上运动，一个水平力作用在物体上，物体的运动轨迹如图中的实线所示，B 为轨迹上的一点，虚线是经过 A、B 两点并与轨迹相切的直线。虚线和实线将水平面分成五个区域，则关于施力物体的位置，下列各种说法中正确的是 (
9、 )A Bv0A如果这个力是引力，则施力物体一定在 区域中B如果这个力是引力，则施力物体可能在区域中C如果这个力是斥力，则施力物体一定在区域中D。 如果这个力是斥力，则施力物体可能在 区域中解析：物体做曲线运动，一定受到与初速度 vo 方向不平行的力的作用，这个力与速度方向垂直的分量起到向心力的作用，使物体运动轨迹向向心力的方向弯曲，且运动轨迹应在受力方向和初速度方向所夹的角度范围之内，所以此施力物体一定在轨迹两切线的交集处。是引力时施力物体在轨迹弯曲的内侧(相互吸引，使运动向轨迹内侧弯曲 )，是斥力时施力物体在轨迹弯曲的外侧(相互排斥，使物体运动向轨迹内侧弯曲 )。【答案】A C【例题】如图
10、所示，质量为 m 的小球，用长为 l 的不可伸长的细线挂在 O 点，在 O 点正下方 处有一光滑的钉子2lO。把小球拉到与钉子 O在同一水平高度的位置，摆线被钉子拦住且张紧，现将小球由静止释放，当小球第一次通过最低点 P 时（ ）A小球的运动速度突然减小B小球的角速度突然减小C小球的向心加速度突然减小D悬线的拉力突然减小解析：在通过位置 P 前后瞬间，小球作圆周运动的半径分别为 l 和 ，并且小球在通过 P 点瞬间受到的重力和2拉力都在竖直方向上，小球的速度大小不改变。答案：B、C 、D类型题： 如何判断曲线运动的性质 曲线运动一定是变速运动，但不一定是匀变速运动。可以根据做曲线运动物体的受力
11、情况（或加速度情况）进行判断，若受到恒力（其加速度不变） ，则为匀变速运动，若受到的不是恒力（其加速度变化） ，则为非匀变速运动。例如：平抛运动是匀变速运动，其加速度恒为 g；而匀速圆周运动是非匀变速运动，其加速度虽然大小不变，但方向是时刻变化的。【例题】关于运动的性质，下列说法中正确的是（ A ）A曲线运动一定是变速运动B曲线运动一定是变加速运动C圆周运动一定是匀变速运动D变力作用下的物体一定做曲线运动【例题】物体做曲线运动时，其加速度（ ）A一定不等于零 B一定不变 C一定改变 D可能不变解析：AD 曲线运动一定是变速运动，一定有加速度，所以加速度一定不为零，A 正确；曲线运动中平抛运动和
12、类平抛运动（带电粒子在电场中的偏转）加速度是不变的，匀速圆周运动和多数的曲线运动加速度是改变的。【例题】一质点在某段时间内做曲线运动，则在这段时间内（ ）A速度一定不断地改变，加速度也一定不断地改变B速度一定不断地改变，加速度可以不变C速度可以不变，加速度一定不断地改变D速度可以不变，加速度也可以不变解析：B 质点做曲线运动，则速度一定发生变化，但加速度不一定变化，如平抛运动，所以，A、C、D 错误，只有 B 项正确。类型题： 运用运动的独立性解题 【例题】如图所示，一个劈形物体 M 各面均光滑，上面成水平，水平面上放一光滑小球 m，现使劈形物体从静止开始释放，则小球在碰到斜面前的运动轨迹是（
13、斜面足够长） （ ）abcA沿斜面向下的直线 B竖直向下的直线C无规则曲线 D抛物线解析：B 小球只受竖直方向的重力和支持力，即合力始终沿竖直方向，故小球只能做竖直向下的直线运动，所以 B 正确【例题】如图所示，A、B 为两游泳运动员隔着水流湍急的河流站在两岸边，A 在较下游的位置，且 A 的游泳成绩比 B 好，现让两人同时下水游泳，要求两人尽快在河中相遇，试问应采用下列哪种方法才能实现？（ A ）AA 、B 均向对方游（即沿虚线方向）而不考虑水流作用BB 沿虚线向 A 游且 A 沿虚线偏向上游方向游C A 沿虚线向 B 游且 B 沿虚线偏向上游方向游D都应沿虚线偏向下游方向，且 B 比 A
14、更偏向下游解析：游泳运动员在河里游泳时同时参与两种运动，一是被水冲向下游，二是沿自己划行方向的划行运动。游泳的方向是人相对于水的方向。选水为参考系，A、B 两运动员只有一种运动，由于两点之间直线最短，所以选 A。【例题】如图为一空间探测器的示意图，P 1、P 2、P 3、P 4 四个喷气发动机，P1、P3 的连钱与空间一固定坐标系的x 轴平行，P 2、 P4 的连线与 y 轴平行，每台发动机开动时，都能向探测器提供推力，但不会使探测器转动开始时，探测器以恒定的速率 v0 向正 x 方向平动要使探测器改为向正 x 偏负 y 60 的方向以原来的速率 v0 平动，则可y0P2134A先开动 P1
15、适当时间，再开动 P4 适当时间B先开动 P3 适当时间，再开动 P2 适当时间C开动 P4 适当时间D先开动 P3 适当时间，再开动 P4 适当时间解析：选 A在运动的合成、分解中，真实运动为合运动，即“ 向正 x 偏 y60 的方向以原来的速率 v0 平动”为合运动，x 轴、y 轴方向上的运动为分运动据平行四边形定则，由右图可得，u xv1 时，合速度 v 与河岸垂直时，最短航程就是河宽；船速 v2 小于水流速度 vl 时，即 v2v1 时，合速度 v 不可能与河岸垂直，只有当合速度 v 方向越接近垂直河岸方向，航程越短。可由几何方法求得，即以 v1 的末端为圆心，以 v2 的长度为半径作
16、圆，从 v1 的始端作此圆的切线，该切线方向即为最短航程的方向，如图所示。设航程最短时，船头应偏向上游河岸与河岸成 角，则，2163cos120最短行程， md2cos小船的船头与上游河岸成 600 角时，渡河的最短航程为 120m。技巧点拔：对第一小问比较容易理解，但对第二小问却不容易理解，这里涉及到运用数学知识解决物理问题，需要大家有较好的应用能力，这也是教学大纲中要求培养的五种能力之一。【例题】在抗洪抢险中，战士驾驶摩托艇救人，假设江岸是平直的，洪水沿江向下游流去，水流速度为 v1，摩托艇在静水中的航速为 v2，战士救人的地点 A 离岸边最近处 O 的距离为 d，如战士想在最短时间内将人
17、送上岸，则摩托艇登陆的地点离 O 点的距离为 ( C ) A B0 C D21d21d12解析：摩托艇要想在最短时间内到达对岸，其划行方向要垂直于江岸，摩托艇实际的运动是相对于水的划行运动和随水流的运动的合运动，垂直于江岸方向的运动速度为 v2，到达江岸所用时间 t= ；沿江岸方向的运动速度是2vd水速 v1 在相同的时间内，被水冲下的距离，即为登陆点距离 0 点距离 。答案：C21ts【例题】某人横渡一河流，船划行速度和水流动速度一定，此人过河最短时间为了 T1；若此船用最短的位移过河，则需时间为 T2，若船速大于水速，则船速与水速之比为（ ） (A) (B) 1212T(C) (D) 21
18、T2解析：设船速为 ，水速为 ，河宽为 d ，则由题意可知 ： 1v2v 1vdT当此人用最短位移过河时，即合速度 方向应垂直于河岸，如图所示，则 212联立式可得： ，进一步得1221vT2121v【例题】小河宽为 d，河水中各点水流速度大小与各点到较近河岸边的距离成正比， ，x 是各dvkxv04，水点到近岸的距离，小船船头垂直河岸渡河，小船划水速度为 ，则下列说法中正确的是（ A ）0vA、小船渡河的轨迹为曲线B、小船到达离河岸 处，船渡河的速度为2d02C、小船渡河时的轨迹为直线D、小船到达离河岸 处，船的渡河速度为4/301v类型题： 绳联物体的速度分解问题 指物拉绳（杆）或绳（杆）
19、拉物问题。由于高中研究的绳都是不可伸长的，杆都是不可伸长和压缩的，即绳或杆的长度不会改变，所以解题原则是：把物体的实际速度分解为垂直于绳（杆）和平行于绳（杆）两个分量，根据沿绳（杆）方向的分速度大小相同求解。合速度方向：物体实际运动方向分速度方向：沿绳（杆）伸（缩）方向：使绳（杆）伸（缩）垂直于绳（杆）方向：使绳（杆）转动速度投影定理：不可伸长的杆或绳，若各点速度不同，各点速度沿绳方向的投影相同。这类问题也叫做：斜拉船的问题 有转动分速度的问题【例题】如图所示，人用绳子通过定滑轮以不变的速度 拉水平面上的物体 A，当绳与水平方向成 角时，求物0v体 A 的速度。解析：解法一（分解法）：本题的关
20、键是正确地确定物体 A 的两个分运动。物体 A 的运动（即绳的末端的运动）可看作两个分运动的合成：一是沿绳的方向被牵引，绳长缩短。绳长缩短的速度即等于 ；二是随着绳以定滑01v轮为圆心的摆动，它不改变绳长，只改变角度 的值。这样就可以将 按图示方向进行分解。所以 及 实际上就Av12是 的两个分速度，如图所示，由此可得Av。cos01v解法二（微元法）：要求船在该位置的速率即为瞬时速率，需从该时刻起取一小段时间来求它的平均速率，当这一小段时间趋于零时，该平均速率就为所求速率。设船在 角位置经t 时间向左行驶x 距离，滑轮右侧的绳长缩短L，如图 2 所示，当绳与水平方向的角度变化很小时，ABC
21、可近似看做是一直角三角形，因而有 ，两边同除以t 得：cosxcostxL即收绳速率 ，因此船的速率为：cos0AvcsvA总结：“微元法” 。可设想物体发生一个微小位移，分析由此而引起的牵连物体运动的位移是怎样的，得出位移分解的图示，再从中找到对应的速度分解的图示，进而求出牵连物体间速度大小的关系。解法三（能量转化法）：由题意可知：人对绳子做功等于绳子对物体所做的功。人对绳子的拉力为 F，则对绳子做功的功率为 ；绳子对物体的拉力，由定滑轮的特点可知，拉力大小也为 F，则绳子对物体做功的功率为01FvP，因为 所以 。cos2A21cos0vA评点：在上述问题中，若不对物体 A 的运动认真分析
22、，就很容易得出 的错误结果；当物体 Acos0vA向左移动， 将逐渐变大， 逐渐变大，虽然人做匀速运动，但物体 A 却在做变速运动。Av总结：解题流程：选取合适的连结点（该点必须能明显地体现出参与了某个分运动） ；确定该点合速度方向（物体的实际速度为合速度）且速度方向始终不变；确定该点合速度的实际运动效果从而依据平行四边形定则确定分速度方向；作出速度分解的示意图，寻找速度关系。【例题】如图所示，在高为 H 的光滑平台上有一物体用绳子跨过定滑轮 C，由地面上的人以均匀的速度 v0 向右拉动，不计人的高度，若人从地面上平台的边缘 A 处向右行走距离 s 到达 B 处，这时物体速度多大？物体水平移动
23、了多少距离？解析：人的实际运动为合运动，将此合运动分解在沿绳方向和垂直于绳的方向。全解 设人运动到 B 点时，绳与地面的夹角为 。人的运动在绳的方向上的分运动的速度为： 。物体的运cos0v动速度与沿绳方向的运动速度相同，所以物体的运动速度为。200coshsvv物体移动的距离等于滑轮右端绳子伸长的长度，。ssd2co答案： ， 20hsvhd2小结 分清合运动是关键，合运动的重要特征是，合运动都是实际的运动，此题中，人向前的运动是实际的运动，是合运动；该运动分解在沿绳的方向和垂直于绳的方向，这两个运动的物理意义是明确的，从滑轮所在的位置来看，沿绳的方向的运动是绳伸长的运动，垂直于绳的方向的运
24、动是绳绕滑轮的转动，人同时参与了这两个运动，其实际的运动（合运动）即是水平方向的运动【例题】如图所示，重物 M 沿竖直杆下滑，并通过绳带动小车 m 沿斜面升高问：当滑轮右侧的绳与竖直方向成 角，且重物下滑的速率为 v 时，小车的速度为多少？解析：方法一：虚拟重物 M 在 t 时间内从 A 移过 h 到达 的运动，如图（1）所示，这个运动可设想为两个分运动所合成，即先随绳绕滑轮的中心轴 O 点做圆周运动到 B，位移为 s1，然后将绳拉过 s2 到 C若 t 很小趋近于 0，那么 0，则 s10，又 OAOB， 90)18(2OBA亦即 s1 近似s 2，故应有：s 2hcos因为 cos tht
25、S所以 vvcos 方法二：重物 M 的速度 v 的方向是合运动的速度方向，这个 v 产生两个效果：一是使绳的这一端绕滑轮做顺时针方向的圆周运动；二是使绳系着重物的一端沿绳拉力的方向以速率 v运动，如图（2 ）所示，由图可知，vvcos 【例题】一根绕过定滑轮的长绳吊起一重物 B，如图所示，设汽车和重物的速度的大小分别为 ，则（ BD BAv,）A、 B、 vBAvC、 D、重物 B 的速度逐渐增大【例题】如图所示，一轻杆两端分别固定质量为 mA 和 mB 的两个小球 A 和 B（可视为质点） 。将其放在一个直角形光滑槽中，已知当轻杆与槽左壁成 角时，A 球沿槽下滑的速度为 VA，求此时 B
26、球的速度 VB？解析：A 球以 VA 的速度沿斜槽滑下时，可分解为：一个使杆压缩的分运动，设其速度为 VA1；一个使杆绕 B 点转动的分运动，设其速度为 VA2。而 B 球沿斜槽上滑的运动为合运动，设其速度为 VB，可分解为：一个使杆伸长的分运动，设其速度为 VB1，V B1=VA1；一个使杆摆动的分运动设其速度为 VB2；由图可知： cossin11ABVVcotABV类型题： 面接触物体的速度问题 求相互接触物体的速度关联问题时，首先要明确两接触物体的速度，分析弹力的方向，然后将两物体的速度分别沿弹力的方向和垂直于弹力的方向进行分解，令两物体沿弹力方向的速度相等即可求出。【例题】一个半径为
27、 R 的半圆柱体沿水平方向向右以速度 V0 匀速运动。在半圆柱体上搁置一根竖直杆，此杆只能沿竖直方向运动，如图所示。当杆与半圆柱体接触点 P 与柱心的连线与竖直方向的夹角为 ，求竖直杆运动的速度。R OP v0v1解析：设竖直杆运动的速度为 V1，方向竖直向上，由于弹力方向沿 OP 方向，所以 V0、V 1 在 OP 方向的投影相等，即有 ，解得cossin10VV1=V0。 tan【例题】一根长为 L 的杆 OA，O 端用铰链固定，另一端固定着一个小球 A，靠在一个质量为 M，高为 h 的物块上，如图所示，若物块与地面摩擦不计，试求当物块以速度 v 向右运动时，小球 A 的线速度 vA（此时杆与水平方向夹角为） 。解析：解题方法与技巧：选取物与棒接触点 B 为连结点。 （不直接选 A 点，因为 A 点与物块速度的 v 的关系不明显） 。因为 B 点在物块上，该点运动方向不变且与物块运动方向一致，故 B 点的合速度（实际速度）也就是物块速度 v；B 点又在棒上，参与沿棒向 A 点滑动的速度 v1 和绕 O 点转动的线速度 v2。因此，将这个合速度沿棒及垂直于棒的两个方向分解，由速度矢量分解图得：v 2=vsin。设此时 OB 长度为 a，则 a=h/sin。令棒绕 O 点转动角速度为 ，则：=v2/a=vsin2/h。故 A 的线速度 vA=L=vLsin2/h。
