1、数值计算方法复习,第一章 误差,要求掌握： 误差的基本概念和性质，绝对误差及绝对误差限、相对误差和相对误差限和有效数字之间的关系。了解误差的来源及传播，并会由此分析算法的收敛性及数值稳定性，理解在算法设计中应注意的事项。,第一章 误差,概念一：绝对误差、相对误差和有效数字,则说x*近似表示x准确到小数后第n位，并从这第n位起 直到左边的第一个非零数字之间的一切数字都称为有效数字， 并把有效数字的位数称为有效位数。,有效数位为4位,若准确值x经过四舍五入得到近似数a，则自左向右的第一个非零数字到四舍五入得到的最末一个数字称为近似数a的有效数字。,概念一：绝对误差、相对误差和有效数字,则说x*近似
2、表示x准确到小数后第n位，并从这第n位起 直到左边的第一个非零数字之间的一切数字都称为有效数字， 并把有效数字的位数称为有效位数。,有效数位为4位,一般的，如果近似值x*的规格化形式为x*=0.a1a2an10m,例 x*=1452.046是具有7位有效数字的近似值，则它的误差限为,概念一：绝对误差、相对误差和有效数字,X*具有n位有效数字,概念二：误差的传播和累积,和、差、积、商的误差限为,例 设y=xn，求y的相对误差与x的相对误差之间的关系,例 假定运算中数据都精确到两位小数，试求x*=1.213.65-9.81 的绝对误差限和相对误差限，计算结果有几位有效数字,习题1：为了保证计算球体
3、体积时的相对误差不超过1%，问测量半径R时允许的相对误差限是多少？,解：球体的体积计算公式为,数值计算中应该注意的一些原则,1要使用数值稳定的算法,2要避免两个相似数相减,例：求 （n = 0, 1, 2, , 8）的值。,的值。当x = 1000，y 的准确值为0.01580,例: 求,3. 绝对值太小的数不宜作除数,掌握确定方程有根区间的方法，能正确使用逐步搜索法或二分法求方程具有足够精度的近似解。 掌握迭代法求方程根的基本思想、几何意义及相关理论和概念，会构造方程求根的迭代格式，并进行迭代格式的收敛性判断和收敛阶的确定。 本章重点是Newton迭代法，要求熟练掌握Newton法求根公式的
4、几何解释、局部收敛性和收敛阶。了解弦截法求根过程。,第二章 非线性方程的数值求解,一、简单迭代法(基本迭代法),-(2),将非线性方程(1)化为一个同解方程,继续,-(3),称(3)式为求解非线性方程(2)的简单迭代法,定理2.,-(5),-(6),-(7),定理3：,如果函数(x)在x*的一邻域O(x*,*)内可导连续，x*为方程x= (x)的根，且|(x*)|1，则存在正数，(*)，使得对任意 ，迭代序列xn+1= (xn)(n=0,1,2)收敛于x*。,迭代过程的收敛速度,设由某方法确定的序列xk收敛于方程的根x*， 如果存在正实数p，使得,（C为非零常数）,定义：,则称序列xk收敛于x
5、*的收敛速度是p阶的，或称该方法具有p 阶敛速。当p = 1时，称该方法为线性（一次）收敛；当p = 2时，称方法为平方（二次）收敛；当1 p 2时，称方法为超线性收敛。,如何判断迭代函数的收敛速度呢？,4.5 Newton迭代法（Newton-Raphson）,如果将非线性方程,令,化为等价方程,如果,令,即,则,于是取,-(10),-(11),-(12),(12)式称为Newton迭代法,Newton迭代法至少平方收敛,局部收敛性,注：Newton法的收敛性依赖于x0 的选取。,x*,牛顿法收敛性示意图,与二分法不同，牛顿法一般不在x轴的有限范围内求根，因此其二次收敛是有限制的，在最坏的情
6、况下会出现迭代发散现象，一般用于求解良性函数。,牛顿法的收敛性,牛顿法收敛性示意图,Newton迭代法,需要求每个迭代点处的导数,复杂！,-(12),-(13),这种格式称为简化Newton迭代法,精度稍低,Newton迭代法的变形,则Newton迭代法变为,-(14),这种格式称为弦截法,收敛阶约为1.618,几何意义,习题1：能不能用迭代法求解下列方程？如果不能，试将方程改写成能用迭代法求解的形式,解题思路： 判断方程x=(x)能否用迭代法求根，最关键的是： (x)在根的邻域能否满足,习题2：证明,已知x*是f(x)=0的m重根，则可用下面迭代法,如果未知x*是f(x)=0的几重根，则可用
7、下面迭代法,得到至少二阶收敛的解序列。,解题思路： 要证明迭代序列至少二阶收敛及证明,习题3：试确定常数p，q，r，使迭代公式,解：要是的上述迭代格式具有尽可能高的收敛阶次，迭代函数应满足：,产生的序列 收敛到 ，并使其收敛阶尽可能高。,由此三式可确定p,q,r应该满足的方程组。解得,习题4：设（x）是一个连续可微函数，若迭代格式,解：要使得上述迭代格式具有尽可能高的收敛阶次，新的迭代函数应满足更高阶的导数值为0。,是局部线性收敛的，对于 ，构造新的迭代格式,问：如何选取使得新的迭代格式有更高的收敛阶。,第三章 线形方程组,理解高斯消去法的基本原理及实现条件，理解按列选主元策略的原因，掌握消去
8、法的计算过程，熟练使用高斯消去法解线性方程组。理解高斯消去法对应的矩阵操作。熟练掌握矩阵的三角分解法，LU分解法。能够利用其求解线性方程组。掌握向量和矩阵泛数的定义及其性质，会计算常用的3种泛数。了解矩阵条件数的定义，明确条件数与方程组性态的关系，能够进行初步的扰动分析。,列主元消元法,在Gauss消元第k步之前，做如下的事情：,若,交换k行和j行,例：,行的交换，不改变方程组的解，同时又有效地克服了Gauss消元地缺陷。,LU 分解,设A为n阶方阵，若A的顺序主子式Ai均不为零，则矩阵存在唯一的LU(Doolittle 杜利特尔）分解。,用LU分解法解方程组,所以,求解 时，A 和 的误差对
9、解 有何影响？, 设 A 精确， 有误差 ，得到的解为 ，即,绝对误差放大因子,又,相对误差放大因子,线性方程组的性态和解的误差分析, 设 精确，A有误差 ，得到的解为 ，即,(只要 A充分小，使得,定义5：设A 为n 阶非奇矩阵，称数 为矩阵A的条件数，,条件数的性质：,）cond ( A )1,）cond ( kA )= cond ( A ) k 为非零常数,）若 ， 则,记为cond( A )。,习题1：用高斯消去法解方程组,习题2：用列主元高斯消去法解方程组（浙江大学2000年研究生入学考试题）,习题3：设有线性方程组Ax=b，其中,已知它有解X=1/2,1/3,0T。如果右端有小扰动
10、，试估计由此引起的解的误差。,（华中科技大学2002年研究生入学考试题）,求解 时，A 和 的误差对解 有何影响？, 设 A 精确， 有误差 ，得到的解为 ，即,又,线性方程组的性态和解的误差分析,理解向量序列及矩阵序列收敛极限的定义与收敛的充分必要条件。掌握线性方程组迭代法求解的思路。能够利用迭代法收敛的充分必要条件（迭代矩阵谱半径小于1）或充分条件（迭代矩阵泛数小于1），判别迭代方法的收敛性。熟练掌握Jacobi迭代法、Gauss-Seidel迭代法的计算过程。,第三章 线性方程组的迭代法,则，我们可以构造序列,若,同时：,所以，序列收敛,与初值的选取无关,迭代过程B称为迭代矩阵。 给定初
11、值 就得到向量序列定义：若 称逐次逼近法收敛； 否则称逐次逼近法不收敛或发散。,一、Jacobi迭代法,例1.,用Jacobi迭代法求解方程组,误差不超过1e-4,解:,依此类推,迭代次数 为12次,x4 = 3.0241 1.9478 0.9205 d = 0.1573x5 = 3.0003 1.9840 1.0010 d = 0.0914x6 = 2.9938 2.0000 1.0038 d = 0.0175x7 = 2.9990 2.0026 1.0031 d = 0.0059x8 = 3.0002 2.0006 0.9998 d = 0.0040x9 = 3.0003 1.9999 0
12、.9997 d = 7.3612e-004 x10 = 3.0000 1.9999 0.9999 d = 2.8918e-004 x11 = 3.0000 2.0000 1.0000 d = 1.7669e-004 x12 = 3.0000 2.0000 1.0000 d = 3.0647e-005,令,考虑迭代式,即,将上式改为,上式称为Gauss-Seidel迭代法,简称G-S法,三、迭代法的收敛性,问题： 是否所有的方程都能够用迭代法进行数值求解呢？ 任意构造的迭代方程能是否都够收敛呢？,迭代法的收敛与迭代矩阵的特征值有关。,定义: 设A为n阶方阵，i (i = 1,2,，n)为A的特征
13、值，称特征值模的最大值为矩阵A的谱半径，记为：,对任意n 阶方阵A，一般不存在矩阵范数使(A) =|A|，但若A为对称矩阵，则有：,定理3.6：对任意初始向量x(0)和右端项g，由迭代格式：,推论1：,迭代法的收敛条件,推论2：,(A) 难计算，而|A|、|A|1计算容易，,迭代法收敛与否只觉定于迭代矩阵的谱半径，与初始值和方程右端的常数项无关！,习题1：给定方程组,讨论采用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的收敛性,解题思路： 给出两种迭代法的迭代矩阵 求迭代矩阵的特征值 根据迭代矩阵的谱半径判断收敛性,习题2：给定方程组Ax=b，其中,用迭代公式,解题思路： 给出迭代法的迭
14、代矩阵 求迭代矩阵的谱半径表达式 根据谱半径的性质可知，谱半径越小收敛越快，因此求谱半径最小时的a值即可。a=-0.4,求解Ax=b，问：a取什么数可使得迭代收敛最快？,掌握函数插值的意义及概念；了解插值多项式的存在唯一性；熟练掌握多项式插值的几种经典方法及其适用条件，如Lagrange插值，Newton插值，带导数条件的Hermite插值，及分段低次插值中的分段线性插值，分段三次Hermite插值和分段三次样条插值；会推导各插值多项式的余项表达式并能应用余项公式分析和估计误差。 掌握函数逼近与曲线拟合的有关概念，了解其意义和推导过程，熟练掌握曲线拟合最小二乘法求解的过程。,第四章 插值和曲线
15、拟合,插值多项式的存在唯一性,定理5.1 满足插值条件Pn(xj)=yj (j=0，1，n)的n次多项式 是存在而且唯一的。,Vandermonde行列式,Lagrange basis 拉格朗日基本插值示意图,1、n 次拉格朗日插值多项式,其中,令,则,插值余项定理:设x0, x1, xn是区间a, b上的互异节点，pn(x)是过这组节点的n次插值多项式。如果f(x)在a, b上n+1次连续可导，则对a,b内任意点x，插值余项为：,5.3.2 牛顿插值多项式,根据差商的定义，有：,取,这种用差商表示系数的多项式，称为牛顿插值多项式。,解：根据差商的递推定义，列差商表如下：,通过 4 个节点的牛
16、顿插值多项式为：,4.5 Hermite 插值多项式,要求函数值重合，而且要求若干阶导数也重合。,即：要求插值函数 P(x) 满足 p(xi)=f(xi), P(xi)= f(xi), P(m)(xi) = f(m)(xi).,在实际问题中，对所构造的插值多项式，不仅,把此类插值多项式称为埃米尔特（Hermite）,插值多项式或称带导数的插值多项式，记为H(x)。,定理:f(x)在区间a,b存在2n+2阶导数,则其Hermite插值余项为:(x)=(x-x0)(x-x1).(x-xn),例：在5, 5上考察 的Ln(x)。取,n 越大， 端点附近抖动 越大，称为 Runge 现象,是否次数越高
17、越好呢？,讨论：多项式摆动与分段多项式插值,分段低次插值,分段插值的误差估计,分段线性插值,小结,插值的基本概念,过n+1个不同插值节点的n阶多项式唯一,构造法求解插值多项式,Lagrange插值基函数,龙格现象,Newton 插值基函数,分段插值法,分段Hirmite插值,3次样条插值,将其写出矩阵形式有,最小二乘法求解超定方程,其中,根据最小二乘法的定义有如下残差表达式,对应的矩阵形式为,设X=X0时残差函数f（X）最小，并定义辅助函数,最小二乘法求解超定方程,e为任意n元列矩阵。,最小二乘法求解超定方程,即,GTG为n行n列的对称正定矩阵，此对称正定方程组称为超定方程的最小二乘近似解对应
18、的法方程。,习题1：设x0,x1,xn为N+1个相异的节点，Li(x)为拉格朗日基本插值多项式，即,试证明,解题思路： 任意不超过n阶的多项式函数的N阶拉格朗日插值无误差,习题2：对于某个物理数据，测量n次，得到n个近似值x1,x2,xn，通常取平均值,作为所求的值。试说明理由。,解题思路： N个测量近似值的平方误差为,习题3：给定数据如下：,求形如 的拟合函数,解题思路： 将拟合函数转化为线性函数，令,了解数值积分与微分的基本思想，掌握代数精确度的概念和插值型的求积公式，如梯形公式、Simpson公式和Newton-Cotes公式，以及相应的复化求积公式；掌握求数值微分的插值型求导公式。并能
19、对上述数值方法进行误差分析。,第六章 数值积分和微分,对任意次数不高于n次的多项式函数f(x)， 数值积分没有误差（截断），即R（f）=0。,代数精度,为数值积分，,为理论积分,若f(x)为任意次数不高于m次的多项式时， 精确成立 而对某个m+1次多项式，公式不精确成立，则称该求积公式具有m次代数精确度。,怎样判定求积公式的“好”与“差”(适用范围),插值:定义在区间a,b上的函数f(x)，可以通过区间上n+1个互异节点(xk,f(xk)的n次插值多项式Pn(x)来近似代替(以拉格朗日插值为例)：,则插值型求积公式为：,Ak仅与节点xk和积分区间有关，与f(x)的具体形式无关。,(68),误差
20、？,Lagrange插值Ln(x)的插值余项为：,若节点可以自由选取，一个自然的办法就是取等距节点。对区间做等距分割。,设xk=a+kh (k=0，1，n)，h=(b-a)/n,（6-8）式中的求积系数可写为：,6.1.3 Newton-Cotes 积分,令x=a+th，,(611),称为n阶Newton-Cotes积分,称为n阶Cotes系数,Cotes系数仅与等分区间数有关，与积分区间和被积函数均无关。,误差？,(612),N-C公式的截断误差为：,代数精度,N-C公式的实质是利用n阶多项式作为原函数的近似，在积分范围内求积得到的。所以如果原函数为不大于n阶的多项式函数，则其积分误差为0，
21、具有至少n阶代数进度。,定理6.1 2n阶的公式具有至少次代数精度。,低阶Newton-Cotes公式及其误差分析,在Newton-Cotes公式中，n=1，2，4时的公式是最常用也 最重要三个公式，称为低阶公式。,1.梯形公式,2.Simpson公式及其余项,6.3.1 复化梯形求积公式,误差？,复化梯形求积公式的截断误差为：,在每个区间上梯形求积的截断误差为：,为了便于推导，将区间a,b分成n=2m等分，分点为xk=a+kh(k=0,1,n),h=(b-a)/n，在每个小区间x2k-2,x2k上，用Simpson公式求积分，则有,求和得,误差？,复化梯形求积公式的截断误差为：,在每个区间上
22、Simpson求积的截断误差为：,6.5 Gauss数值求积法,-(2),-(3),(2)式称为插值型求导公式,(3)式为相应产生的误差,由于公式(2)采取的是n次Lagrange插值多项式,而高次 插值会产生Runge现象,因此实际应用中多采用低次插 值型求导公式,插值型求导公式,习题1：给定求积公式试确定A，B，C，使它的代数精度尽可能的高，并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度。,解题思路： 要使得求积公式具有高的代数精度，意味着对于代入求积公式均能够精确成立。确立3个方程，求解3个未知数，继而进一步判定更高的代数精度是否成立。,习题1：给定求积公式试确定A，B，C，使它的代数精度尽可能的高，并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度。,解题思路： 要使得求积公式具有高的代数精度，意味着对于代入求积公式均能够精确成立。确立3个方程，求解3个未知数，继而进一步判定更高的代数精度是否成立。,习题2：用梯形公式和辛普生公式计算下面的积分表达式，并估计误差,解题思路：,习题3：计算下面积分，若用复化梯形公式，问：应将区域分成多少等分，才能保证计算结果有五位有效数字。,解题思路：,
