1、1练习一1、10 把钥匙中有 3 把能打开门, 今任取两把, 求能打开门的概率.解: 设事件 A=能打开门 , 则 A为不能打开门基本事件总数 210Cn, 有利于 A的基本事件数 27CnA,467.05967)(210AP2因此, 53.0467.1)()(AP.2、100 个产品中有 3 个次品（隐含条件？）,任取 5 个, 求其次品数分别为 0,1,2,3的概率. 解: 设 Ai 为取到 i 个次品 , i=0,1,2,3, 基本事件总数 510Cn, 有利于 Ai 的基本事件数为 3,210,5973iCnii则 06.9835121967985432)(06.9835 321956
2、79815432)(.0983245 4321956979815432)( 8.0676702735749715090CnAPCnnAP3、 一个袋内有 5 个红球, 3 个白球, 2 个黑球, 计算任取 3 个球恰为一红, 一白, 一黑的概率. 解: 设 A 为任取三个球恰为一红一白一黑的事件, 则基本事件总数 310Cn, 有利于 A 的基本事件数为 1235CnA,则.041235892)(3105 P4、两封信随机地投入四个邮筒, 求（1）前两个邮筒内没有信的概率（2）第一个邮筒内只有一封信的概率.解: （1）设 A 为前两个邮筒没有信的事件, （2）B 为第一个邮筒内只有一封信的事件
3、,则基本事件总数 64n, 有利于 A 的基本事件数 2A,有利于 B 的基本事件数 3B,则 5.0416)(nP3P（B）= 5、 一批产品中, 一, 二, 三等品率分别为 0.8, 0.16, 0.04, 若规定一, 二等品为合格品, 求产品的合格解: 设事件 A1 为一等品, A 2 为二等品, B 为合格品, 则P(A1)=0.8, P(A2)=0.16, B=A1+A2, 且 A1 与 A2 互不相容, 根据加法法则有P(B)=P(A1)+P(A2)=0.8+0.16=0.966、袋内装有两个 5 分, 三个 2 分, 五个一分的硬币（隐含条件？）, 任意取出5 个, 求总数大于一
4、角的概率.解: 假设 B 为总数大于一角（分析：（1）至少有一个是 5 分；（2）当仅有 1个 5 分时，必须至少有 2 个 2 分） ）设： A1 为 5 个中有两个 5 分, A2 为 5 个中有一个 5 分三个 2 分一个 1 分, A3 为 5 个中有一个 5 分两个 2 分两个 1 分, 则B=A1+A2+A3, 而 A1,A2,A3 互不相容, 基本事件总数 257635478905 Cn设有利于 A1, A2 , A3 的基本事件数为 n1, n2, n3,则 5.0216506)( ,43,2567853123321 BPCn7、 求习题 2 中次品数不超过一个的概率.（100
5、 个产品中有 3 个次品（隐含条件？）,任取 5 个, ）解: 设 Ai 为取到 i 个次品 , i=0,1,2,3, B 为次品数不超过一个, 则 B=A0+A1, A0 与 A1 互不相容, 则根据第 2 题的计算结果有P(B)=P(A0)+P(A1)=0.856+0.138=0.99448、 由长期统计资料得知, 某一地区在 4 月份下雨(记作事件 A)的概率为 4/15, 刮风(用 B 表示 )的概率为 7/15, 既刮风又下雨的概率为 1/10, 求 P(A|B), P(B|A), P(A+B).解: 根据题意有 P(A)=4/15, P(B)=7/15, P(AB)=1/10, 则
6、 63.0193841057)()()( 2.08315/4| 14.7/)|( ABPBAP9、为防止意外, 在矿内同时设有两种报警系统 A 与 B, 每种系统单独使用时, 其有效的概率系统 A 为 0.92, 系统 B 为 0.93, 在 A 失灵的条件下, B 有效的概率为 0.85, 求(1) 发生意外时 , 这两个报警系统至少有一个有效的概率(2) B 失灵的条件下, A 有效的概率解: 设 A 为系统 A 有效, B 为系统 B 有效, 则根据题意有P(A)=0.92, P(B)=0.93, 85.0)|(1) 两个系统至少一个有效的事件为 A+B, 其对立事件为两个系统都失效 ,
7、 即 , 而 15.08.)|(1)|( P, 则9.02.1)( 25(BAP(2) B 失灵条件下 A 有效的概率为 )|(, 则 829.03.1)1)|()|( 10、 10 个考签中有 4 个难签, 3 人参加抽签考试, 不重复地抽取, 每人一次, 甲先, 乙次, 丙最后, 证明 3 人抽到难签的概率相等.证: 设事件 A,B,C 表示甲,乙,丙各抽到难签, 显然 P(A)=4/10, 而由 903516)|()( 24|9016)|()( 2|ABPAP由于 A 与 互不相容,且构成完备事件组 , 因此 BA可分解为两个互不5相容事件的并, 则有 10493621)()() BAP
8、BP又因 ,之间两两互不相容且构成完备事件组, 因此有CC分解为四个互不相容的事件的并,且 72018493)|()(| 7208394)|()( 1| BACPBAPABPABP则 17204()(CBAP因此有 P(A)=P(B)=P(C), 证毕.11、 用 3 台机床加工同一种零件, 零件由各机床加工的概率分别为 0.5, 0.3, 0.2, 各机床加工的零件为合格品的概率分别等于 0.94, 0.9, 0.95, 求全部产品中的合格率.解: 设 A1,A2,A3 零件由第 1,2,3 个机床加工, B 为产品合格,A1,A2,A3 构成完备事件组 .则根据题意有P(A1)=0.5,
9、P(A2)=0.3, P(A3)=0.2,P(B|A1)=0.94, P(B|A2)=0.9, P(B|A3)=0.956由全概率公式得全部产品的合格率 P(B)为 93.05.29.034.50)|()(31 i iiABPBP12、12 个乒乓球中有 9 个新的 3 个旧的, 第一次比赛取出了 3 个, 用完后放回去, 第二次比赛又取出 3 个, 求第二次取到的 3 个球中有 2 个新球的概率.解: 设 A0,A1,A2,A3 为第一次比赛取到了 0,1,2,3 个新球, A 0,A1,A2,A3 构成完备事件组.设 B 为第二次取到的 3 个球中有 2 个新球. 则有729615023)
10、|( ,1789,42156023)|( ,7189,5284023)|( ,719,523802)|( ,1133163239157232914832193023 CABPCAPBCAPC根据全概率公式有 45.01562.034.62. 9758071)|()(0i iiABP13、某商店收进甲厂生产的产品 30 箱, 乙厂生产的同种产品 20 箱（隐含条件？）, 甲厂每箱 100 个, 废品率为 0.06, 乙厂每箱装 120 个, 废品率是 0.05, 求:(1)任取一箱, 从中任取一个为废品的概率;(2)若将所有产品开箱混放, 求任取一个为废品的概率.解: (1) 设 B 为任取一箱
11、, 从中任取一个为废品的事件.设 A 为取到甲厂的箱, A为乙厂的箱，则 A 与 构成完备事件组056406.)|()|()(.,.| 20)(530)( BPPB(2) 设 B 为开箱混放后任取一个为废品的事件 .则甲厂产品的总数为 30100=3000 个, 其中废品总数为 30000.06=180 个,乙厂产品的总数为 20120=2400 个, 其中废品总数为 24000.05=120 个,因此8.05.4320318)( BP14、有两个口袋, 甲袋中盛有两个白球, 一个黑球,（隐含条件？） 乙袋中盛有一个白球两个黑球（隐含条件？）. 由甲袋中任取一个球放入乙袋, 再从乙袋中取出一个
12、球, 求取到白球的概率.解: 设事件 A 为从甲袋中取出的是白球, 则 A为从甲袋中取出的是黑球 , A 与构成完备事件组. 设事件 B 为从乙袋中取到的是白球.则 P(A)=2/3, P( )=1/3, P(B|A)=2/4=1/2, P(B| )=1/4, 则根据全概率公式有 417.025 4132)|()|)A15、 上题中若发现从乙袋中取出的是白球, 问从甲袋中取出放入乙袋的球, 黑白哪种颜色可能性大?解: 事件假设如上题 , 而现在要求的是在事件 B 已经发生条件下, 事件 A 和 发生的条件概率 P(A|B)和 P( |B)哪个大, 可以套用贝叶斯公式进行计算, 而计算时分母为
13、P(B)已上题算出为 0.417, 因此 2.0417.3)(|)|( 812)(|( BPAAP(A|B)P( |B), 因此在乙袋取出的是白球的情况下, 甲袋放入乙袋的球是白球的可能性大.16、甲, 乙两部门处理日常性事务, 根据长期资料总结, 甲部门办事评优的概率为 1%, 乙部门办事评优的概率为 2%,。现抽查两个部门的办事档案, 由乙部门处理的事务量比甲部门处理的事务量大一倍,。今从档案的事务中任意取出一件, 经检查恰好评优的案档, 试由此检查结果恰为甲部门所处理的概率.9解: 设 A 为零件由甲机器制造, 则 A为零件由乙机器制造, A 与 A构成完备事件组. （注：要善于利用 A
14、 与 的关系） 。由 P(A+ )=P(A)+P( )=1 并由题意知 P( )=2P(A), 得 P(A)=1/3, P( )=2/3.设 B 为零件为废品, 则由题意知P(B|A)=0.01, P(B| )=0.02, 则根据贝叶斯公式, 任抽一件检查为废品条件下零件由甲机器制造的概率为 2.05.1.0321. )|()|(|)| ABPA17、 假设有 3 箱同种型号的零件, 里面分别装有 50 件, 30 件和 40 件, 而一等品分别有 20 件, 12 件及 24 件. 现在任选一箱（隐含条件？）从中随机地先后各抽取一个零件(第一次取到的零件不放回). 试求先取出的零件是一等品的
15、概率; 并计算两次都取出一等品的概率.解: 称这三箱分别为甲,乙,丙箱, 假设 A1, A2, A3 分别为取到甲,乙,丙箱的事件, 则 A1, A2, A3 构成完备事件组.易知 P(A1)=P(A2)=P(A3)=1/3.设 B 为先取出的是一等品的事件.则 6.04)|(,4.0)|,4.05)| 321 BPB根据全概率公式有 67.3.)|()(31 i iiAPP设 C 为两次都取到一等品的事件, 则38.0942)|( 157.31| .04952)|(2032001CAP根据全概率公式有 2.0358.17.5.)|()(1 i iiP1018、甲,乙两人射击, 甲击中的概率为
16、 0.6, 乙击中的概率为 0.7, 两人同时射击, 并假定中靶与否是独立的. 求(1)两人都中靶的概率; (2) 甲中乙不中的概率; 解: 设事件 A 为甲击中, 事件 B 为乙击中, 则 A 与 B 相互独立, P(A)=0.6, P(B)=0.7(1) 两人都中靶的概率P(AB)=P(A)P(B)=0.60.7=0.42(2) 甲中乙不中的概率 18.036.)(1)( (3) 甲不中乙中的概率 2.74.BPABP19、加工一个产品要经过三道工序, 第一,二,三道工序不出废品的概率分别为0.9, 0.95, 0.8, 若假定各工序是否出废品为独立的, 求经过三道工序而不出废品的概率.解
17、: 设事件 A,B,C 为经过第一,二,三道工序不出废品, 则 A,B,C 相互独立, 且有P(A)=0.9, P(B)=0.95, P(C)=0.8经过三道工序而不出废品的概率为P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=0.90.950.8=0.68420、一个自动报警器由雷达和计算机两部分组成, 两部分有任何一个失灵, 这个报警器失灵, 若使用 100 小时后, 雷达部分失灵的概率为 0.1, 计算机失灵的概率为 0.3, 若两部分失灵与否为独立的, 求这个报警器使用 100 小时而不失灵的概率.解: 设 A 为雷达失灵, B 为计算机失灵, 则 A 与 B 相互独立, 且有P(A)=0.1
18、, P(B)=0.3因此, 这个报警器使用 100 小时不失灵的概率为 63.079.)301(.)(1)() P21、制造一种零件可采用两种工艺, 第一种工艺有三道工序, 每道工序的废品率分别为 0.1, 0.2, 0.3; 第二种工艺有两道工序, 每道工序的废品率都是 0.3; 如果使用第一种工艺, 在合格零件中, 一级品率为 0.9, 而用第二种工艺, 合格品中的一级品率只有 0.8, 试问哪一种工艺能保证得到一级品的概率较大?解: (1) 计算第一种工艺的一级品率设 A1,A2,A3 为经过第一 ,二 ,三道工序时出废品, B 为产品合格, C 为产品为一级品则 A1,A2,A3 相互
19、独立 , 321A, 并有P(A1)=0.1, P(A2)=0.2, P(A3)=0.3, P(C|B)=0.9 504.78.09).1(.0). )(1)() 3211 AP因 , 因此 BC=C,11则 )()(|(BPCBCP,则第一种工艺的一级品率为 4536.095.0)|(BCP(2) 计算第二种工艺的一级品率设设 A1,A2 为经过第一,二道工序时出废品, B 为产品合格, C 为产品为一级品则 A1,A2 相互独立, 21A, 并有P(A1)=P(A2)=0.3P(C|B)=0.8 49.07.)30(. )() 211 P因 , 因此 BC=C,则 )()(|(BP,因此第
20、二种工艺的一级品率为 392.084.)|(BCP因此, 第一种工艺的一级品率 0.4536 要大于第二种工艺的一级品率 0.392.22、3 人独立地去破译一个密码, 他们能译出的概率分别为 1/5, 1/3, 1/4, 问能将此密码译出的概率是多少（与任何一人译出是等价的）?解: 设 A,B,C 为各个人译出密码, 则 A,B,C 相互独立, 且有P(A)=1/5, P(B)=1/3, P(C)=1/4,因此, 将密码译出的概率为 6.05214351)4/)(/( )(1)()(1) CPBP24、 电灯泡使用寿命在 1000 小时以上的概率为 0.2, 求 3 个灯泡在使用 1000小
21、时后, 最多只有一个坏了的概率.解: 在此贝努里试验概型中, 设事件 A 为灯泡损坏, 则事件 A 发生的概率 p=1-0.2=0.8, 试验次数 n=3, 设事件 B 为最多只有一个坏, 因此 104.96.08.2.03.)1(0)(33 pBP25、 某机构有一个 9 人组成的顾问小组, 若每个顾问贡献正确意见的百分比是0.7, 现在该机构对某事可行与否征求各位顾问意见, 并按 2/3 以上人意见做出决策, 求做出正确决策的概率.12解: 在此贝努里试验概型中, 设事件 A 为顾问贡献正确意见, 试验次数 n=9, 事件 B 为作出正确决策, 则 901.4.156.028.6.0175
22、. 7.03.3.72837934298.)()( 98245995 kkkkCpP26、 某店内有 4 名售货员, 据经验每名售货员平均在一小时内只用秤 15 分钟, 问该店配置几台秤较为合理?解: 每时刻的用秤情况构成一贝努里试验概型 , A 为一个售货员要用秤的事件, 其概率为 p=1/4=0.25, 四个售货员代表试验四次, 设 Bi 为至多要用 i 台秤, i=0,1,2,3,4, 则 95.042. 2109.738.0562.378 5)(1)( 4.0675. 4442 31440CppBP可以看出用 2 台秤就可以保证以近 95%的概率用秤情况不会冲突, 因此配置二台秤较为合理.
