1、二 圆锥曲线的参数方程,【自主预习】 椭圆、双曲线、抛物线的普通方程和参数方程,y2=2px(p0),【即时小测】 1.参数方程 (为参数)表示的曲线为( ),【解析】选B.由参数方程 (为参数)得将两式平方相加,得x2+ =1,表示焦点在y轴 上的椭圆.,2.直线y=2x- 与曲线 (为参数)的交点坐 标是_.,【解析】因为cos2=1-2sin2, 所以曲线方程化为y=1-2x2,与直线y=2x- 联立, 解得:,由-1sin1,故 不符合题意,舍去, 则直线与曲线的交点坐标为 答案:,【知识探究】 探究点 圆锥曲线的参数方程 1.椭圆的参数方程中参数的几何意义是什么?,提示:椭圆的参数方
2、程中,参数的几何意义为椭圆上 任一点的离心角,要把它和这一点的旋转角区分开来, 除了点M在四个顶点处,离心角和旋转角数值可相等外 (即在0到2的范围内),在其他任何一点,两个角的数 值都不相等.但当0 时,相应地也有0 , 在其他象限内也有类似范围.,2.抛物线y2=2px(p0)的参数方程 (t为参数) 中参数t的几何意义是什么? 提示:由抛物线参数方程的推导过程可知,参数t表示抛 物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数.,【归纳总结】 1.椭圆的参数方程 中的参数与圆的参数 方程 中的参数意义的区别 从椭圆参数方程的推导过程可以看出参数是椭圆上 的点M所对应的大圆的半径OA的旋转角
3、,不是OM的旋转 角,而圆的参数方程中的是半径OM的旋转角,椭圆参 数方程中的称为点M的离心角.,2.余切函数、正割函数、余割函数与双曲线的参数方 程 (1)定义. 如图,已知点P(x,y)是角的终边上异于原点的任一点 (角的始边是x轴的正半轴,顶点是坐标原点),其到原 点的距离为|OP|=r,则 分别叫做角的余切函,数、正割函数、余割函数,表示为cot= | k,kZ;sec= |k+ kZ;csc=|k,kZ.,(2)双曲线 (a0,b0)的参数方程为 (为参数,且k+ kZ)双曲线 (a0,b0)的参数方程为 (为参数,且 k,kZ),类型一 椭圆的参数方程与应用 【典例】已知曲线C1的
4、参数方程是 (为参数) 以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系, 曲线C2的极坐标方程是=2,正方形ABCD的顶点都在C2 上,且A,B,C,D依逆时针次序排列,点A的极坐标为,(1)求点A,B,C,D的直角坐标. (2)求曲线C1的普通方程,判断曲线形状. (3)设P为C1上任意一点,求 的取 值范围.,【解题探究】(1)典例(1)中如何求各点的直角坐标? 提示:先求A点的直角坐标,由对称性求其余各点的坐标. (2)曲线C1的形状是什么? 提示:将曲线C1的参数方程化为普通方程,是椭圆.,(3)如何求距离平方和的取值范围? 提示:利用椭圆的参数方程转化为三角函数的最值问题.,【解析
5、】(1)由曲线C2的极坐标方程=2,可知曲线C2 是圆心在极点,半径为2的圆,正方形ABCD的顶点都在C2 上,且A,B,C,D依逆时针次序排列,点A的极坐标为 故 由对称性得,直角坐标分别为,(2)由曲线C1的参数方程 (为参数) 得 两式平方相加得 所以曲线是焦点在y轴上的椭圆.,(3)由于点P为曲线C1 上任意一点, 得P(2cos,3sin), 则|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2 =(2cos-1)2+(3sin- )2+ (2cos+ )2+(3sin-1)2+ (2cos+1)2+(3sin+ )2+,(2cos- )2+(3sin+1)2 =16cos2+36sin
6、2+16 =32+20sin2, 因为3232+20sin252, 所以|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围是32,52.,【方法技巧】椭圆的参数方程应用技巧 (1)椭圆的参数方程:中心在原点的椭圆的参数方程(为参数,ab0)常数a,b分别是椭圆的长 半轴,短半轴,焦点F(c,0)在x轴上,其中a2=b2+c2. 椭圆的参数方程也可以是 (为参数,ab0),(2)与椭圆上的动点有关的最大值、最小值或取值范围问题,常常利用椭圆的参数方程转化为三角函数解决.,【变式训练】1.椭圆 (为参数)在坐标轴的正半轴上的焦点坐标为_.,【解析】将椭圆的参数方程 (为参数)化 为普通方程为
7、 由a2=25,b2=9, 得c2=a2-b2=16, 所以c=4,椭圆在坐标轴的正半轴上的焦点坐标为(4,0). 答案:(4,0),2.在平面直角坐标系xOy中,设P(x,y)是椭圆 上的动点,求S=x+y的最大值.,【解析】椭圆 的参数方程为 (为参数)故可设动点P的坐标为( cos,sin), 其中02. 所以S=x+y= cos+sin= 所以当 时,S取得最大值,Smax=2.,类型二 双曲线的参数方程与应用 【典例】已知等轴双曲线C的实轴长为2,焦点在x轴上. (1)求双曲线的普通方程和参数方程. (2)已知点P(0,1),点Q在双曲线C上,求 的最小值.,【解题探究】(1)求典例
8、中的普通方程和参数方程的思路是什么? 提示:运用待定系数法,设普通方程为x2-y2=a2,求参数a的值,再化为参数方程. (2)如何求线段长度的最小值? 提示:利用双曲线的参数方程转化为三角函数解决.,【解析】(1)设等轴双曲线C的普通方程为x2-y2=a2, 依题意,得2a=2,所以a=1, 所以x2-y2=1,化为参数方程为 (为参数),(2)因为点P(0,1),Q在双曲线C上,设Q(sec,tan), 则 当且仅当tan= 时,【延伸探究】 1.若本例条件不变,求双曲线C的焦点到渐近线的距离. 【解析】由于等轴双曲线C的普通方程为x2-y2=1, 一个焦点为F( ,0),一条渐近线方程为
9、x-y=0, 所以焦点到渐近线的距离为,2.若本例条件变为:已知P(0,b),点Q在双曲线 (ab0)上,如何求|PQ|的最小值?,【解析】由双曲线 得参数方程为(为参数) 则,当且仅当 时,【方法技巧】双曲线的参数方程中的应用技巧 (1)双曲线的参数方程 (为参数)中,所以cos0,所以k+ kZ,这也与使tan有意义的的 取值范围相一致.故我们通常规定参数的范围为 0,2),且,(2)双曲线的参数方程中,常用的三角函数关系式为 sin2+cos2=11+tan2= =sec2sec2- tan2=1.,【补偿训练】1.参数方程 (为参数) 表示曲线的离心率为_.,【解析】参数方程 (为参数
10、)即 所以 表示双曲线, 其中c2=a2+b2=9+16=25,所以 答案:,2.(2015湖北高考)在直角坐标系xOy中,以O为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线l的极坐标 方程为(sin-3cos)=0,曲线C的参数方程为 (t为参数)l与C相交于A,B两点,则|AB|=_.,【解题指南】先将极坐标方程(sin-3cos)=0和 曲线C的参数方程 (t为参数)化成普通方程, 再求解.,【解析】由(sin-3cos)=0知,直线的方程是y=3x, 由曲线C的参数方程为 (t为参数)消去参数得,y2-x2=4,解方程组,得 答案:,自我纠错 等价转化求轨迹方程 【典例】已知A,B
11、是抛物线y2=2x上异于顶点的两动点,且OAOB,OMAB,并与AB相交于点M,求点M的轨迹.,【失误案例】,分析解题过程,找出错误之处,并写出正确答案. 提示:错误的根本原因一是忽视了动点M不能到达原点导致求方程增解出错,另外,没有判断轨迹形状导致错误.正确解答过程如下:,【解析】方法一:设M(x,y), 由 (2t1t2)2+22t1t2=0, 因为A,B是抛物线上异于顶点的两动点, 所以t1t2=-1.,所以x(t1+t2)+y=0, (x0) 又 且A,M,B共线. 所以,即y(t1+t2)-2t1t2-x=0. 将代入,得到x2+y2-2x=0,由于动点M不能到达原点,故轨迹方程为x2+y2-2x=0(x0),所以动点M的轨迹是圆心在(1,0),半径为1的圆,且去掉原点.,方法二:设 因为OAOB, 所以 得y1y2=-4, 直线AB的方程为,即 所以直线AB过定点C(2,0), 又OMAB,所以点M的轨迹是以OC为直径的圆,则点M的轨迹方程为(x-1)2+y2=1(x0). 所以动点M的轨迹是圆心在(1,0),半径为1的圆,且去掉原点.,
