1、概率论与数理统计习题及答案习题 一1 略.见教材习题参考答案.2.设 A，B ，C 为三个事件，试用 A，B，C 的运算关系式表示下列事件：（1） A 发生，B，C 都不发生； （2） A 与 B 发生，C 不发生；（3） A，B ，C 都发生； （4） A，B ，C 至少有一个发生；（5） A，B ，C 都不发生； （6） A，B ，C 不都发生；（7） A，B ，C 至多有 2 个发生； （8） A，B ，C 至少有 2 个发生.【解】 （1） A （2） AB （3） ABC（4） AB C= C B A BCA CAB ABC=BABC(5) = (6) (7) BCA CAB CA
2、B = = BACBC(8) ABBCCA= AB A C BCABC3. 略.见教材习题参考答案4.设 A，B 为随机事件，且 P（A）=0.7,P(AB)=0.3，求 P（ ）.AB【解】 P（ ）=1P（AB）=1P( A)P(AB)=10.70.3=0.65.设 A，B 是两事件，且 P（A）=0.6,P(B)=0.7,求：（1） 在什么条件下 P（AB ）取到最大值？（2） 在什么条件下 P（AB ）取到最小值？【解】 （1） 当 AB=A 时，P（AB）取到最大值为 0.6.（2） 当 AB= 时，P（AB）取到最小值为 0.3.6.设 A，B ，C 为三事件，且 P（A）=P（B
3、）=1/4，P（C）=1/3 且 P（AB）=P（BC）=0， P（AC ）=1/12，求 A，B，C 至少有一事件发生的概率.【解】 P（AB C ）=P(A)+P(B)+P(C)P( AB)P(BC)P(AC)+P(ABC)= + + =143247. 从 52 张扑克牌中任意取出 13 张，问有 5 张黑桃，3 张红心，3 张方块，2 张梅花的概率是多少？【解】 p= 532115/8. 对一个五人学习小组考虑生日问题：（1） 求五个人的生日都在星期日的概率； （2） 求五个人的生日都不在星期日的概率；（3） 求五个人的生日不都在星期日的概率.【解】 （1） 设 A1=五个人的生日都在星
4、期日，基本事件总数为 75，有利事件仅 1 个，故P（A 1）= =（ ） 5 （亦可用独立性求解，下同）57（2） 设 A2=五个人生日都不在星期日，有利事件数为 65，故P（A 2）= =( )56(3) 设 A3=五个人的生日不都在星期日P（A 3）=1P (A1)=1( )579. 略.见教材习题参考答案.10.一批产品共 N 件，其中 M 件正品.从中随机地取出 n 件（n30.如图阴影部分所示.230164P22. 从（0，1）中随机地取两个数，求：（1） 两个数之和小于 的概率；65（2） 两个数之积小于 的概率.14【解】 设两数为 x,y，则 0正 正（ 甲 乙 ）=（甲 反
5、 1+乙 反 ）=（甲 反 乙 反 ）由对称性知 P（甲 正 乙 正 ）=P（甲 反 乙 反 ）因此 P(甲 正 乙 正 )= 1246. 证明“确定的原则” （Surething）：若 P（A|C ） P(B|C),P(A| )P(B| )，则 P（A）P( B).【证】由 P（A|C）P(B|C),得 ()(),C即有 ()()PACB同理由 |,得 ()()故 () ()(PACPABCPB47.一列火车共有 n 节车厢，有 k(kn)个旅客上火车并随意地选择车厢.求每一节车厢内至少有一个旅客的概率.【解】 设 Ai=第 i 节车厢是空的， （i=1,n）,则121(1)()()()nk
6、kikij kiinPAPA 其中 i1,i2,in1 是 1，2，n 中的任 n1 个.显然 n 节车厢全空的概率是零，于是 2112111221 11231()C()()C()0()()nnnkki ni kijijn kniiiin niSPASPASS 12C()C(kknknn故所求概率为121()C()(1)nkiinnPA 1()C()nk48.设随机试验中，某一事件 A 出现的概率为 0.试证明：不论 0 如何小，只要不断地独立地重复做此试验，则 A 迟早会出现的概率为 1.【证】在前 n 次试验中，A 至少出现一次的概率为 1()1()n49.袋中装有 m 只正品硬币， n
7、只次品硬币（次品硬币的两面均印有国徽）.在袋中任取一只，将它投掷 r 次，已知每次都得到国徽.试问这只硬币是正品的概率是多少？【解】设 A=投掷硬币 r 次都得到国徽B=这只硬币为正品由题知 (),()mnPB1(|),(|)12rPAB则由贝叶斯公式知 ()()|(|)|(|)PAB122rrrmnn:50.巴拿赫（Banach）火柴盒问题：某数学家有甲、乙两盒火柴，每盒有 N 根火柴，每次用火柴时他在两盒中任取一盒并从中任取一根 .试求他首次发现一盒空时另一盒恰有 r 根的概率是多少？第一次用完一盒火柴时（不是发现空）而另一盒恰有 r 根的概率又有多少？【解】以 B1、B 2 记火柴取自不
8、同两盒的事件，则有 .（1）发现一盒已空，另一盒恰剩 r 根，说明已取了 2nr 次，设 n 次取自 B1 盒12()PB（已空） ，nr 次取自 B2 盒，第 2nr+1 次拿起 B1，发现已空。把取 2nr 次火柴视作 2nr 重贝努里试验，则所求概率为2 1C()Cnr rp:式中 2 反映 B1 与 B2 盒的对称性（即也可以是 B2 盒先取空）.（2） 前 2nr1 次取火柴，有 n1 次取自 B1 盒，nr 次取自 B2 盒，第 2nr 次取自 B1 盒，故概率为11212 2()()nnnrr r 51. 求 n 重贝努里试验中 A 出现奇数次的概率.【解】 设在一次试验中 A
9、出现的概率为 p.则由 0120()CC1nnnnnqpqpqpq ()Cnnnn以上两式相减得所求概率为 13nnpqp1()2nqp若要求在 n 重贝努里试验中 A 出现偶数次的概率，则只要将两式相加，即得.21()npp52.设 A，B 是任意两个随机事件，求 P（ +B） （A+B） （ + ） （A+ ） 的值.B【解】因为（AB）（ ）=A B（ B）（A ）=AB A所求 ()()B B故所求值为 0.53.设两两相互独立的三事件，A，B 和 C 满足条件：ABC=，P( A)=P(B)=P(C)0,P(A|B)=1,试比较 P(AB)与 P(A)的大小. (2006 研考)解：
10、因为 )()()(BP所以 .()()PABPBA习题二1.一袋中有 5 只乒乓球，编号为 1，2，3，4，5，在其中同时取 3 只，以 X 表示取出的 3 只球中的最大号码，写出随机变量 X 的分布律.【解】 352435,()0.C.()0.6XPX故所求分布律为X 3 4 5P 0.1 0.3 0.62.设在 15 只同类型零件中有 2 只为次品，在其中取 3 次，每次任取 1 只，作不放回抽样，以 X 表示取出的次品个数，求：（1） X 的分布律；（2） X 的分布函数并作图；(3).33,1,1,12222PXP【解】 315231350,.C()().CXPX故 X 的分布律为X
11、0 1 2P 235235135（2） 当 x0 时，F（x ）= P（Xx ）=0当 0x1 时，F（x ）= P（X x ）= P(X=0)= 当 1x2 时，F（x ）= P（X x ）= P(X=0)+P(X=1)= 345当 x2 时，F（ x）=P（X x）=1故 X 的分布函数 0,2135()4,2xFxx(3) 12()(,3543)(10512(1)234)(1)(0.5PXFPXPXF3.射手向目标独立地进行了 3 次射击，每次击中率为 0.8，求 3 次射击中击中目标的次数的分布律及分布函数，并求 3 次射击中至少击中 2 次的概率.【解】设 X 表示击中目标的次数.则
12、 X=0，1，2，3.31223(0)(08C)964()(5PX故 X 的分布律为X 0 1 2 3P 0.008 0.096 0.384 0.512分布函数 0,.81()14,2.3,xFxx(2)()()0.896PXPX4.（1） 设随机变量 X 的分布律为PX=k= ，!a其中 k=0，1，2， 0 为常数，试确定常数 a.（2） 设随机变量 X 的分布律为PX=k=a/N， k=1，2，N，试确定常数 a.【解】 （1） 由分布律的性质知001()e!kkPXa:故 ea(2) 由分布律的性质知 11()NNkkaPX即 .a5.甲、乙两人投篮，投中的概率分别为 0.6,0.7,今各投 3 次，求：（1） 两人投中次数相等的概率;（2） 甲比乙投中次数多的概率.【解】分别令 X、 Y 表示甲、乙投中次数，则 Xb（3，0.6 ）,Yb (3,0.7)(1) ()(0,)(1,)(2,)PPXYPXY3+121233(.4)C.6(04).7()22330.7(2) ()(1,)(,0)(,0)PXYPXYPXY
