1、第四章 影响线,1 移动荷载和影响线的概念,1. 问题的提出,工程结构除了承受固定荷载作用外，还要受到移动荷载的作用。,为了解决这个问题，需要研究荷载移动时反力和内力的变化规律。然而不同的反力和不同截面的内力变化规律各不相同，即使同一截面，不同的内力变化规律也不相同，解决这个复杂问题的工具就是影响线。,2. 最不利荷载位置,某一量值产生最大值的荷载位置，称为最不利荷载位置。,A,B,RA,F,工程中移动荷载常由很多间距不变的竖向荷载组成，类型多种多样，不可能逐一研究。,先研究最简单的荷载，即竖向单位集中荷载 F=1沿结构移动时，对某量值产生的影响，据叠加原理可进一步研究各种移动荷载对该量值的影
2、响。,1,2,3,1,F=1,F=1,F=1,F=1,F=1,所得图形表示F=1在梁上移动时反力 RA的变化规律，这一图形就称为反力 RA的影响线。,0,3/4,1/2,1/4,3. 影响线的定义,指向不变的单位集中荷载(竖直向下)沿结构移动时，表示某一量值变化规律的图形，称为该量值的影响线。,某量值的影响线一经绘出，就可以利用它来确定最不 利荷载位置，应用叠加法求出该量值的最大值。,RA的影响线,A,B,RA,F,1,2,3,1,F=1,F=1,F=1,F=1,F=1,0,3/4,1/2,1/4,2 静力法作简支梁的影响线,1. 绘制影响线的基本方法：,2. 静力法：,1) 选定一坐标系，荷
3、载 F=1置于横坐标 x处;2) 据静力条件求所求量值与荷载位置x之间的函数关系S(x)，即影响线方程;3) 根据方程S(x)绘影响线。,静力法和机动法。,3. 简支梁的影响线,（1）反力影响线,由MB=0,(0xl),当,x=0, RA=1,x=l, RA=0,RA影响线,1,RA影响线:,RB影响线,由MA=0,RBlFx=0,(0xl),当,x=0, RB=0,x=l, RB=1,RB影响线,1,yK,x,RA,RB,F=1,K,0,0,F=1,（2）弯矩影响线,绘制 MC的影响线,当F=1在C左侧移动时,取截面C以右部分:,MC=RBb=,(0xa),得MC影响线的左直线。,x=0,
4、MC=0,x=a, MC=ab/l,b,当 F=1在截面C右侧移动时:,取截面C以左部分:,得MC影响线的右直线。,ab/l,左直线,右直线,x,x,MC影响线,a,F=1,x,0,F=1,RA,a,b,C,RB,x,F=1,F=1,1,1,右直线,左直线,x,x,FsC影响线,b/l,F=1,x,绘制 FsC的影响线,（3）剪力影响线,F=1,RA,a,b,C,RB,x,F=1,-,当 F=1在AC段上移动时,取截面 C以右部分:,FsC=RB,(0xa),当 F=1在CB段上移动时,取截面 C以左部分:,FsC=RA,(axl) (右直线),(左直线),4. 伸臂梁的影响线,（1）反力影响
5、线,F=1,x,由平衡条件求得,RA=,RB=,(-l1xl+l2),1,1,（2）跨内部分截面 内力影响线,MC、FsC影响线,当 F=1在DC段移动 时，取截面C以右部分 为隔离体 有,MC=RBb,FsC=RB,1,当 F=1在CE段移动 时，取截面C以左部分 为隔离体 有,MC=RAa,FsC=RA,a,b,1,RA影响线,RB影响线,MC影响线,FsC影响线,RA,RB,a,b,E,D,A,B,C,F=1,x,(3)伸臂部分截面内力影响线,绘制MK、FsK影响线,当F=1在DK 段上移动时,K,D,E,F=1,x,取K以左为隔离体,MK=x,FsK=1,d,d,1,MK影响线,FsK
6、影响线,当F=1在KE 段上移动时,取K以左为隔离体,F=1,MK=0,FsK=0,绘制FsA左影响线,1,FsA左影响线,绘制FsA右影响线,1,1,FsA右影响线,0,（4）多跨静定梁的影响线,1. 多跨静定梁影响线绘制步骤,首先分清多跨静定梁的基本部分和附属部分及其传力 关系，再利用单跨静定梁的已知影响线，多跨静定梁的影 响线即可绘出。,2. 举例说明,首先分析几何组 成并绘层叠图。,K,a,l,当F=1在CE段上移动时,MK影响线与CE段单独 作为一伸臂梁相同。,MK影响线,当F=1在AC段上移动时,MK=0,当F=1在EF段上移动时,RF,此时CE梁相当于在结 点E处受到VE的作用,
7、VE=,故MK影响线在EF段为 直线。,a,绘制MK的影响线,绘制FsB左的影响线,按上述步骤绘出FsB左 影响线如图。,0,VE,F=1,1,0,1,FsB左影响线,F=1,x,E,MC影响线,8,3,0,0,0,MK影响线,FsC左影响线,0,FsC右影响线,1,1,1,1.5,0,0,练习,多跨静定梁反力及内力影响线的一般作法如下：,（1）当F=1在量值本身梁段上移动时，量值的影响线 与相应单跨静定梁相同。,（2）当F=1在对于量值所在部分来说是基本部分的梁 段上移动时，量值影响线的竖标为零。,（3）当F=1在对于量值所在部分来说是附属部分的梁段上移动时，量值影响线为直线。,此外，用机动
8、法绘制多跨静定梁的影响线也很方便。,3 间接荷载作用下的影响线,1.间接荷载（结点荷载）,桥梁结构的纵横梁桥面系统中的主梁受力简图 如图所示。,主梁,横梁（结点）,纵梁,计算主梁时通常假定纵梁简支在横梁上，横梁简支在主梁上。荷载直接作用在纵梁上，再通过横 梁传到主梁，即主梁承受结点荷载。这种荷载称为 间接荷载或结点荷载。,F,2. 间接荷载影响线的绘制方法,以绘制MC影响线为例,F=1,（1）首先，将F=1移动到各 结点处。,F=1,其MC与直接荷载作用在主梁上完全相同。,MC影响线,yD,yE,（2）其次，当F=1在DE间移 动时，,主梁在D、E处分别受到 结点荷载,及,的作用。,x,d,设
9、直接荷载作用下MC影响线在D、E处的竖标为 yD、yE ，,在上述 两结点荷载作用下MC值为,y=,（直线方程）,x=0, y=yD,x=d, y=yE,y,F=1,F=1,C,D,A,B,E,F=1,间接荷载作用下影响线的绘制方法：,（1）首先作出直接荷载作用下量值的影响线。,（2）然后取各结点处的竖标，并将其顶点在每一纵梁 范围内连成直线。,例题,F=1,RB影响线,MK影响线,a,FsK影响线（练习）,a,1,0,K,练习：试绘制图示结构ME、FsE影响线。,4 静力法作桁架的影响线,1. 单跨静定桁架，其支座反力的计算与单跨 静定梁相同，故二者反力影响线相同。,2. 用静力法作桁架内力
10、影响线，其计算方法 与桁架内力的计算方法相同，同样分为结点法和截 面法，不同的是作用的是 F=1的移动荷载，只需求 出F=1在不同位置时（“跳动”）内力的影响线方程。,下面以简支桁架为例，说明桁架内力影响线 的绘制方法。,3. 作桁架的影响线,解：,绘S12影响线,用力矩法，作-截面。,当F=1在A1间移动时,F=1,F=1,A,B,取右部为隔离体，,由M5=0 有,RA,RB,RB5dS12h=0,S12=,RB,S12影响线,当F=1在2B间移动时,取左部为隔离体，,F=1,F=1,由M5=0 有,RA3dS12h=0,S12=,RA,当F=1在节间（1-2）内 移动时，S12的影响线 为
11、一直线。,5 机动法作影响线,静力法和机动法是作影响线的两种基本方法。,1.机动法的依据,虚位移原理,刚体体系在力系作用下处于平衡的充要条件是：在任何微小的虚位移中，力系所作的虚功总和为零。,2. 机动法简介,作反力RA的影响线，为求反力RA，撤掉与其相应的约束即A处的支座，以正向反力代替。,RA,原结构变成有一个自由度 的几何可变体系(机构)，给此体系微小虚位移。,A,虚功方程：,RAA+FF=0,F,RA=,B,A,令 A=1,RA=F,虚位移图F便代表了RA的影响线。,F=1,A,B,1,RA(x)=F(x),F=1,3 .机动法,由前面分析可知，欲作某一反力或内力S的影响线，只需将与S
12、相应的约束撤掉，代以所求量值S，并使所得 机构沿S的正向发生单位位移，则由此得到的竖向位移图 即为S的影响线。这种方法称为机动法。,优点在于不必经过具体计算就能迅速绘出影响线。,例：用机动法绘 MC影响线,A,B,C,a,b,MC,MC,A,B,C,F=1,A1,F,a,),(,),1,14字口诀: 求何撤何代以何, 沿何吹气位移 1。,RB影响线,A,B,机动法 绘简支 梁影响线,C,A,B,b,ab/l,MC影响线,RB影响线,A,B,C,A,B,b,ab/l,MC影响线,RB影响线,A,B,FsC影响线,FsC,表示单位移动荷载作用下某指定截面内力变化规律 的图形称为内力的影响线 。(
13、),课堂练习,2. 图示结构ME的影响线AC、CD段纵标为 。,AC、CD均不为零； B. AC、CD 均为零；AC为零，CD不为零； D. AC不为零，CD为零。,3. 图示结构MD的影响线在C点处的纵坐标值为 。,1、图b是图a的_影响线，竖标,是表示P=1作用在_截面时 _ 的数值。,4. 图b是图a的_影响线，竖标yD表示F=1作用在_截面时 _ 的数值。,1m,MK,D,MK,6 影响线的应用,前面学习了影响线的绘制方法。现在开始研究影响线的应用。首先讨论如何利用影响线求量值。,1. 求各种荷载作用下的影响,某量值的影响线已绘出， 若干个荷载作用在已知位置。,F1,F2,Fn,y1,
14、y2,yn,据叠加原理,S=F1y1+F2y2+Fnyn=Fiyi,S影响线,R,F1,F2,Fn,若集中力作用在影响线某一直线范围内，则有:,S影响线,S影响线,y1,y2,yn,o,x1,x2,S=F1y1+F2y2+Fnyn,0,=(F1x1+F2x2+Fnxn)tg,=tgFixi,据合力矩定理,Fixi=R,故有,S=R,tg=R,R,qx,a,b,S影响线,微段dx上的荷载为 qxdx，则ab区段内分布荷载产生的影响量:,dx,y,S=,均布荷载（Fs=常数）,S=,q,S影响线,a,b,qxdx,2. 求荷载的最不利位置,使某一量值发生最大(或最小)值的荷载位置，即为最不利荷载位
15、置。,移动荷载作用下的结构，各种量值均随荷载位置的 变化而变化，设计时必须求出各种量值的最大值（或 最小值）。为此，要首先确定最不利荷载位置。,1. 一个集中荷载,最不利荷载位置直观判断。,S影响线,F,Smax,F,Smin,2. 可以任意布置的均布荷载（如人群、货物等）,由式,S=q,可知,S影响线,Smax,Smin,3. 行列荷载 ：,行列荷载的最不利荷载位置难于直观判定。,但据最不,一系列间距不变的移动集中荷载,3. 临界位置的判定,由最不利利荷载位置的定义可知，当荷载移动到该位置时，所求量值S最大，因而荷载由该位置不论向左或向右移动到邻近位置时，S值均将减小。因此，下面从讨论荷载移
16、动时S的增量入手解决这个问题。,设某量值S的影响线如图, 规定以顺时针为正.,x,y,S影响线,1,2,现有一组集中荷载 处于图示位置，,R1,R2,Rn,y1,y2,yn,所产生 的影响量S1为,S1=R1y1+R2y2+Rnyn,当整个荷载组向右移动 x时，,x,y1,x,x,y2,yn,n,相应的量值为S2,S2=R1(y1+y1)+R2(y2+y2)+Rn(yn+yn),故S的增量:,S=S2S1=R1y1+R2y2+Rnyn=R1x tg1+R2x tg2+Rnx tgn=xRi tgi,则,S= xRi tgi,当x0(荷载右移),Ri tgi 0,Ri tgi0 0,同理，S有极
17、小值时,总之，荷载向左、右移动微小距离后，Ri tgi变号， S才可能有极值。,S= xRi tgi 0,当S有极大值的条件:,当x0(荷载左移),当x0(荷载右移),Ri tgi 0,Ri tgi0 0,当x0(荷载左移),S= xRi tgi 0,在什么情况下Ri tgi才可能变号？式中tgi是各段影响线的斜率，它是常数，并不随荷载移动 而变号。故引起变号就是各段上的合力Ri的数值发生变 化，显然只有当某一集中荷载恰好作用在影响线的某一 个顶点处时，才有可能。能使Ri tgi变号的荷载称为临界荷载，此时的荷载 位置称为临界荷载位置。临界荷载位置判别式如前。,确定临界位置一般采用试算法。一般
18、临界位置可能 不止一个，这就需将与各临界位置相应的S极值均求出， 从中选出最大（最小） 值，相应的荷载位置就是最不利 荷载位置。,为了减小试算次数，可事先大致估计最不利荷载位置，对于常用的三角形影响线，,a,b,h,临界位置判别式可进一步 简化，设临界荷载 Fcr处于 三角形影响线的顶点，,Ra,Fcr,Rb,临界位置判别式为：,荷载左移,(Ra+Fcr)tgRbtg0,荷载右移,Ratg(Fcr+Rb)tg0,将tg=,和tg=,代入，得,三角形影响线判别临界位置的公式，可以形象理解为：把 Fcr归到顶点哪一边，哪一边的平均荷载就大。,对于均布荷载跨 过三角形影响线顶点的情况，,a,b,h,
19、Ra,Rb,可由,的条件来确定临界位 置。,此时有,Ritgi=,得,即左、右两边的平均 荷载相等。,直角三角形影响线上面诸式不适用。,例题：求图示简支梁在汽车10级荷载作用下 截面C的最大弯矩。,A,B,C,40m,15m,25m,解：,作Mc影响线,15,938,首先考虑车队右行 将重车后轮置于顶点。,100,30,70kN,50,70,30,6m,4,5,4,15,4,2,375,625,788,225,075,按式（66)计算,有,故，这是临界位置,其他行驶位置不必考虑。,其次再考虑车队调 头向左行驶。将重车后 轮置于影响线顶点。,有,故这又是一临界位置， 其它情况也不必考虑。,据上述
20、两种临界位置，可分别算出相应的MC值。经比较得右行时MC值大，故：,MCmax=703.75+306.25+1009.38+507.88+702.25+300.75=1962kNm,7 简支梁的绝对最大弯矩（参考教学）,1. 绝对最大弯矩：,梁的各截面最大弯矩中的最大者， 称为绝对最大弯矩。,2. 确定绝对最大弯矩的一般方法,要点：,（1）绝对最大弯矩发生的截面； （2）该截面发生最大弯矩的荷载位置。,应逐个截面计算最大弯矩，然后加以比较。即使取有限个截面计算也是较繁琐的。,当梁上作用的荷载是集中荷载时，问题可以简化。在集中荷载作用下，弯矩图的顶点总是在集中荷载作用处，可以断定绝对最大弯矩必定
21、发生在某一集中荷载作用点处截面上。,余下的问题只是确定它发生在哪一个荷载作用点处及该点位置。,3 . 集中荷载作用下绝对最大弯矩的确定,方法如下：任选一集中荷载，找出该集中荷载作用点处截面在什么位置弯矩有最大值，然后按同样方法计算其它荷载作用处截面的最大弯矩，再加以比较，即可求出绝对最大弯矩。,A,B,F1,F2,Fk,Fn,取荷载Fk,其作用点处弯矩：Mx=RAxMk,l/2,l/2,Fk,x,=RA/l(lxa)xMk,RA=R/l(lxa),Mx有极大值时,即,R,a,有,可逐个荷载计算，然后加以比较， 便可以得出绝对最大弯矩。,x=l/2a/2,即当Fk 与合力R对称于梁的中点,计算步
22、骤: （1）先找出可能使跨中产生最大弯矩的临界荷载。 （2）使上述荷载与梁上所有荷载的合力对称于中截面，计算此时临界荷载所在截面的最大弯矩。 （3）类似地，计算出其它截面的最大弯矩并加以比较，其中最大者即为绝对最大弯矩。,A,B,F1,F2,Fk,Fn,l/2,l/2,Fk,x,R,例 115 求图示简支梁在汽车10级荷载作用下的绝对最大弯矩，并与跨中截面的最大弯矩比较。,A,B,C,20m,解：,（1）求MCmax,10m,绘MC影响线,10,5.0,MC影响线,6m,4m,5m,4m,100,50,30,70,显然重车后轮位于影响线顶点时为最不利荷载位置,3.0,2.5,0.5,MCmax
23、=503.0+1005.0+302.5+700.5=760kNm,（2）求绝对最大弯矩,设发生绝对最大弯矩时有四个 荷载在梁上，其合力为 R,R=50+100+30+70=250kN,R到 Fcr(100)的距离,a=,A,B,C,100,50,30,70,R,232m,8.84m,8.84m,故得绝对最大弯矩,Mmax=,=777kNm,7 简支梁的包络图（参考教学）,1.内力包络图,在结构计算中，需要求出荷载作用下，各截面的最大最小内力，作为设计依据。把梁上各截面内力的最大值和最小值按同一比例标在图上，连成曲线。这一曲线即为内力包络图。,2.内力包络图的绘制方法一般将梁分为十等份，先求出各
24、截面的最大弯矩值，再求出绝对最大弯矩值；最后，将这些值按比例以竖标标出并连成光滑曲线。,1. 荷载处于某一最不利位置时，按梁内各截面的弯矩值竖标画出的图形，称为简支梁的弯矩包络图。( ),2. 梁的绝对最大弯矩表示在一定移动荷载作用下 。 A. 梁某一截面的最大弯矩；B. 梁某一截面绝对值最大的弯矩；C. 当移动荷载处于某一最不利位置时相应的截面弯矩； D. 梁所有截面最大弯矩中的最大值。,课堂练习,3. 已知图示梁在F=5kN作用下的弯矩图，则当F=1的移动荷载位C点时K截面的弯矩影响线纵标为： A. 1m ； B. -1m ； C. 5m ； D. -5m 。,4、图示结构在均布活荷载q作
25、用下(荷载可任意布局)， 截面A的最大负剪力为 _。,1,1/2,1/2,ql/4,Fs,max(-)=q=ql/4,本章小结,1. 影响线定义;,2. 影响线的绘制方法: 静力法, 机动法,求何撤何代以何, 沿何吹气位移1。,4. 最不利荷载位置,行列荷载,Smax,min= Sk= Fyk,S= xRi tgi,三角形影响线临界位置判别式(极大值):,Sk=Fiyi,Sl=Fiyi,Sm=Fiyi,Smax=maxSk, Sl , Sm,5. 简支梁的绝对最大弯矩,在一定移动荷载作用下, 梁所有截面最大弯矩中的最大值。,6.内力包络图梁上各截面内力最大值和最小值连成的曲线,习题,P147 4-1 (b)4-3 P149 4-84-9 P150 4-17,
