1、引 言1.课 程 内 容 ：必 修 课 程 由 5 个 模 块 组 成 ：必 修 1： 集 合 、 函 数 概 念 与 基 本 初 等 函 数 （ 指 、 对 、 幂 函 数 ）必 修 2： 立 体 几 何 初 步 、 平 面 解 析 几 何 初 步 。必 修 3： 算 法 初 步 、 统 计 、 概 率 。必 修 4： 基 本 初 等 函 数 （ 三 角 函 数 ） 、 平 面 向 量 、 三 角 恒 等 变 换 。必 修 5： 解 三 角 形 、 数 列 、 不 等 式 。以 上 是 每 一 个 高 中 学 生 所 必 须 学 习 的 。上 述 内 容 覆 盖 了 高 中 阶 段 传 统
2、的 数 学 基 础 知 识 和 基 本 技 能 的 主 要 部 分 ， 其 中 包 括 集 合 、 函 数 、数 列 、 不 等 式 、 解 三 角 形 、 立 体 几 何 初 步 、 平 面 解 析 几 何 初 步 等 。 不 同 的 是 在 保 证 打 好 基 础 的 同 时 ，进 一 步 强 调 了 这 些 知 识 的 发 生 、 发 展 过 程 和 实 际 应 用 ， 而 不 在 技 巧 与 难 度 上 做 过 高 的 要 求 。此 外 ， 基 础 内 容 还 增 加 了 向 量 、 算 法 、 概 率 、 统 计 等 内 容 。选 修 课 程 有 4 个 系 列 ：系 列 1： 由
3、2 个 模 块 组 成 。选 修 1 1： 常 用 逻 辑 用 语 、 圆 锥 曲 线 与 方 程 、 导 数 及 其 应 用 。选 修 1 2： 统 计 案 例 、 推 理 与 证 明 、 数 系 的 扩 充 与 复 数 、 框 图系 列 2： 由 3 个 模 块 组 成 。选 修 2 1： 常 用 逻 辑 用 语 、 圆 锥 曲 线 与 方 程 、空 间 向 量 与 立 体 几 何 。选 修 2 2： 导 数 及 其 应 用 ， 推 理 与 证 明 、 数 系 的 扩 充 与 复 数选 修 2 3： 计 数 原 理 、 随 机 变 量 及 其 分 布 列 ， 统 计 案 例 。系 列 3：
4、 由 6 个 专 题 组 成 。选 修 3 1： 数 学 史 选 讲 。选 修 3 2： 信 息 安 全 与 密 码 。选 修 3 3： 球 面 上 的 几 何 。选 修 3 4： 对 称 与 群 。选 修 3 5： 欧 拉 公 式 与 闭 曲 面 分 类 。选 修 3 6： 三 等 分 角 与 数 域 扩 充 。系 列 4： 由 10 个 专 题 组 成 。选 修 4 1： 几 何 证 明 选 讲 。选 修 4 2： 矩 阵 与 变 换 。选 修 4 3： 数 列 与 差 分 。选 修 4 4： 坐 标 系 与 参 数 方 程 。选 修 4 5： 不 等 式 选 讲 。选 修 4 6： 初
5、等 数 论 初 步 。选 修 4 7： 优 选 法 与 试 验 设 计 初 步 。选 修 4 8： 统 筹 法 与 图 论 初 步 。选 修 4 9： 风 险 与 决 策 。选 修 4 10： 开 关 电 路 与 布 尔 代 数 。2 重 难 点 及 考 点 ：重 点 ： 函 数 ， 数 列 ， 三 角 函 数 ， 平 面 向 量 ， 圆 锥 曲 线 ， 立 体 几 何 ， 导 数难 点 ： 函 数 、 圆 锥 曲 线高 考 相 关 考 点 ： 集 合 与 简 易 逻 辑 :集 合 的 概 念 与 运 算 、 简 易 逻 辑 、 充 要 条 件 函 数 ： 映 射 与 函 数 、 函 数 解
6、析 式 与 定 义 域 、 值 域 与 最 值 、 反 函 数 、 三 大 性 质 、 函 数 图 象 、 指 数 与指 数 函 数 、 对 数 与 对 数 函 数 、 函 数 的 应 用第 -2- 页 共 104 页 数 列 ： 数 列 的 有 关 概 念 、 等 差 数 列 、 等 比 数 列 、 数 列 求 和 、 数 列 的 应 用 三 角 函 数 ： 有 关 概 念 、 同 角 关 系 与 诱 导 公 式 、 和 、 差 、 倍 、 半 公 式 、 求 值 、 化 简 、 证 明 、 三 角 函数 的 图 象 与 性 质 、 三 角 函 数 的 应 用 平 面 向 量 ： 有 关 概
7、 念 与 初 等 运 算 、 坐 标 运 算 、 数 量 积 及 其 应 用 不 等 式 ： 概 念 与 性 质 、 均 值 不 等 式 、 不 等 式 的 证 明 、 不 等 式 的 解 法 、 绝 对 值 不 等 式 、 不 等 式 的 应用 直 线 和 圆 的 方 程 ： 直 线 的 方 程 、 两 直 线 的 位 置 关 系 、 线 性 规 划 、 圆 、 直 线 与 圆 的 位 置 关 系 圆 锥 曲 线 方 程 ： 椭 圆 、 双 曲 线 、 抛 物 线 、 直 线 与 圆 锥 曲 线 的 位 置 关 系 、 轨 迹 问 题 、 圆 锥 曲 线 的 应用 直 线 、 平 面 、 简
8、 单 几 何 体 ： 空 间 直 线 、 直 线 与 平 面 、 平 面 与 平 面 、 棱 柱 、 棱 锥 、 球 、 空 间 向 量 排 列 、 组 合 和 概 率 ： 排 列 、 组 合 应 用 题 、 二 项 式 定 理 及 其 应 用 概 率 与 统 计 ： 概 率 、 分 布 列 、 期 望 、 方 差 、 抽 样 、 正 态 分 布 导 数 ： 导 数 的 概 念 、 求 导 、 导 数 的 应 用 复 数 ： 复 数 的 概 念 与 运 算第 -3- 页 共 104 页高 中 数 学 必 修 1 知 识 点第 一 章 集 合 与 函 数 概 念 1.1 集 合【 1.1.1】
9、集 合 的 含 义 与 表 示（ 1） 集 合 的 概 念集 合 中 的 元 素 具 有 确 定 性 、 互 异 性 和 无 序 性 .（ 2） 常 用 数 集 及 其 记 法N 表 示 自 然 数 集 ， N 或 N 表 示 正 整 数 集 ， Z 表 示 整 数 集 ， Q表 示 有 理 数 集 ， R表 示 实 数 集 .（ 3） 集 合 与 元 素 间 的 关 系对 象 a与 集 合 M 的 关 系 是 a M ， 或 者 a M ， 两 者 必 居 其 一 .（ 4） 集 合 的 表 示 法 自 然 语 言 法 ： 用 文 字 叙 述 的 形 式 来 描 述 集 合 . 列 举 法
10、： 把 集 合 中 的 元 素 一 一 列 举 出 来 ， 写 在 大 括 号 内 表 示 集 合 . 描 述 法 ： x|x具 有 的 性 质 ， 其 中 x为 集 合 的 代 表 元 素 . 图 示 法 ： 用 数 轴 或 韦 恩 图 来 表 示 集 合 .（ 5） 集 合 的 分 类 含 有 有 限 个 元 素 的 集 合 叫 做 有 限 集 . 含 有 无 限 个 元 素 的 集 合 叫 做 无 限 集 . 不 含 有 任 何 元 素 的 集 合 叫 做空 集 (). 【 1.1.2】 集 合 间 的 基 本 关 系（ 6） 子 集 、 真 子 集 、 集 合 相 等名 称 记 号 意
11、 义 性 质 示 意 图子 集 BA（ 或 )AB A中 的 任 一 元 素 都属 于 B (1)AA(2) A(3)若 BA 且 B C ， 则 A C(4)若 BA 且 B A ， 则 A BA(B) 或 B A真 子 集 A B（ 或B A） BA ， 且 B中 至少 有 一 元 素 不 属 于A （ 1） A （ A为 非 空 子 集 ）(2)若 A B 且 B C ， 则 A CB A集 合相 等 A B A中 的 任 一 元 素 都属 于 B， B 中 的 任一 元 素 都 属 于 A (1)AB(2)BAA(B)（ 7） 已 知 集 合 A有 ( 1)n n 个 元 素 ， 则
12、它 有 2n 个 子 集 ， 它 有 2 1n 个 真 子 集 ， 它 有 2 1n 个 非 空 子 集 ， 它 有 2 2n 非 空 真 子 集 . 【 1.1.3】 集 合 的 基 本 运 算（ 8） 交 集 、 并 集 、 补 集名 称 记 号 意 义 性 质 示 意 图交 集 A B | ,x x A 且x B （ 1） A A A（ 2） A （ 3） A B AA B B第 -4- 页 共 104 页并 集 A B | ,x x A 或x B （ 1） A A A（ 2） A A（ 3） A B AA B B补 集 U A | , x x U x A 且 1 ( )UA A 2 (
13、 )UA A U ( ) ( ) ( )U U UA B A B 痧 ( ) ( ) ( )U U UA B A B 痧A【 补 充 知 识 】 含 绝 对 值 的 不 等 式 与 一 元 二 次 不 等 式 的 解 法（ 1） 含 绝 对 值 的 不 等 式 的 解 法 不 等 式 解 集| | ( 0)x a a | x a x a | | ( 0)x a a |x x a 或 x a| | ,| | ( 0)ax b c ax b c c 把 ax b 看 成 一 个 整 体 ， 化 成 | |x a ，| | ( 0)x a a 型 不 等 式 来 求 解（ 2） 一 元 二 次 不
14、等 式 的 解 法判 别 式2 4b ac 0 0 0二 次 函 数2 ( 0)y ax bx c a 的 图 象O =O L O一 元 二 次 方 程2 0( 0)ax bx c a 的 根 21,2 42b b acx a （ 其 中 1 2)x x 1 2 2bx x a 无 实 根2 0( 0)ax bx c a 的 解 集 1 |x x x 或 2x x |x 2bx a R2 0( 0)ax bx c a 的 解 集 1 2 | x x x x 1.2 函 数 及 其 表 示【 1.2.1】 函 数 的 概 念（ 1） 函 数 的 概 念 设 A、 B是 两 个 非 空 的 数 集
15、 ， 如 果 按 照 某 种 对 应 法 则 f ， 对 于 集 合 A中 任 何 一 个 数 x， 在 集 合 B中 都 有唯 一 确 定 的 数 ( )f x 和 它 对 应 ， 那 么 这 样 的 对 应 （ 包 括 集 合 A， B以 及 A到 B的 对 应 法 则 f ） 叫 做 集 合 A到第 -5- 页 共 104 页B的 一 个 函 数 ， 记 作 :f A B 函 数 的 三 要 素 :定 义 域 、 值 域 和 对 应 法 则 只 有 定 义 域 相 同 ， 且 对 应 法 则 也 相 同 的 两 个 函 数 才 是 同 一 函 数 （ 2） 区 间 的 概 念 及 表 示
16、 法 设 ,a b是 两 个 实 数 ， 且 a b ， 满 足 a x b 的 实 数 x的 集 合 叫 做 闭 区 间 ， 记 做 , a b ； 满 足 a x b 的实 数 x的 集 合 叫 做 开 区 间 ， 记 做 ( , )a b ； 满 足 a x b ， 或 a x b 的 实 数 x的 集 合 叫 做 半 开 半 闭 区 间 ，分 别 记 做 , )a b ， ( , a b ； 满 足 , , ,x a x a x b x b 的 实 数 x 的 集 合 分 别 记 做 , ),( , ),( , ,( , )a a b b 注 意 ： 对 于 集 合 | x a x b
17、 与 区 间 ( , )a b ， 前 者 a可 以 大 于 或 等 于 b， 而 后 者 必 须a b ， （ 前 者 可 以 不 成 立 ， 为 空 集 ； 而 后 者 必 须 成 立 ） （ 3） 求 函 数 的 定 义 域 时 ， 一 般 遵 循 以 下 原 则 ： ( )f x 是 整 式 时 ， 定 义 域 是 全 体 实 数 ( )f x 是 分 式 函 数 时 ， 定 义 域 是 使 分 母 不 为 零 的 一 切 实 数 ( )f x 是 偶 次 根 式 时 ， 定 义 域 是 使 被 开 方 式 为 非 负 值 时 的 实 数 的 集 合 对 数 函 数 的 真 数 大 于
18、 零 ， 当 对 数 或 指 数 函 数 的 底 数 中 含 变 量 时 ， 底 数 须 大 于 零 且 不 等 于 1 tany x 中 ， ( )2x k k Z 零 （ 负 ） 指 数 幂 的 底 数 不 能 为 零 若 ( )f x 是 由 有 限 个 基 本 初 等 函 数 的 四 则 运 算 而 合 成 的 函 数 时 ， 则 其 定 义 域 一 般 是 各 基 本 初 等 函 数 的 定 义域 的 交 集 对 于 求 复 合 函 数 定 义 域 问 题 ， 一 般 步 骤 是 ： 若 已 知 ( )f x 的 定 义 域 为 , a b ， 其 复 合 函 数 ( )f g x
19、的 定 义 域应 由 不 等 式 ( )a g x b 解 出 对 于 含 字 母 参 数 的 函 数 ， 求 其 定 义 域 ， 根 据 问 题 具 体 情 况 需 对 字 母 参 数 进 行 分 类 讨 论 由 实 际 问 题 确 定 的 函 数 ， 其 定 义 域 除 使 函 数 有 意 义 外 ， 还 要 符 合 问 题 的 实 际 意 义 （ 4） 求 函 数 的 值 域 或 最 值求 函 数 最 值 的 常 用 方 法 和 求 函 数 值 域 的 方 法 基 本 上 是 相 同 的 事 实 上 ， 如 果 在 函 数 的 值 域 中 存 在 一 个 最 小（ 大 ） 数 ， 这 个
20、 数 就 是 函 数 的 最 小 （ 大 ） 值 因 此 求 函 数 的 最 值 与 值 域 ， 其 实 质 是 相 同 的 ， 只 是 提 问 的 角 度不 同 求 函 数 值 域 与 最 值 的 常 用 方 法 ： 观 察 法 ： 对 于 比 较 简 单 的 函 数 ， 我 们 可 以 通 过 观 察 直 接 得 到 值 域 或 最 值 配 方 法 ： 将 函 数 解 析 式 化 成 含 有 自 变 量 的 平 方 式 与 常 数 的 和 ， 然 后 根 据 变 量 的 取 值 范 围 确 定 函 数 的 值 域 或最 值 判 别 式 法 ： 若 函 数 ( )y f x 可 以 化 成
21、一 个 系 数 含 有 y 的 关 于 x的 二 次 方 程 2( ) ( ) ( ) 0a y x b y x c y ， 则第 -6- 页 共 104 页在 ( ) 0a y 时 ， 由 于 ,x y为 实 数 ， 故 必 须 有 2( ) 4 ( ) ( ) 0b y a y c y ， 从 而 确 定 函 数 的 值 域 或 最 值 不 等 式 法 ： 利 用 基 本 不 等 式 确 定 函 数 的 值 域 或 最 值 换 元 法 ： 通 过 变 量 代 换 达 到 化 繁 为 简 、 化 难 为 易 的 目 的 ， 三 角 代 换 可 将 代 数 函 数 的 最 值 问 题 转 化
22、为 三 角 函数 的 最 值 问 题 反 函 数 法 ： 利 用 函 数 和 它 的 反 函 数 的 定 义 域 与 值 域 的 互 逆 关 系 确 定 函 数 的 值 域 或 最 值 数 形 结 合 法 ： 利 用 函 数 图 象 或 几 何 方 法 确 定 函 数 的 值 域 或 最 值 函 数 的 单 调 性 法 【 1.2.2】 函 数 的 表 示 法（ 5） 函 数 的 表 示 方 法表 示 函 数 的 方 法 ， 常 用 的 有 解 析 法 、 列 表 法 、 图 象 法 三 种 解 析 法 ： 就 是 用 数 学 表 达 式 表 示 两 个 变 量 之 间 的 对 应 关 系 列
23、 表 法 ： 就 是 列 出 表 格 来 表 示 两 个 变 量 之 间 的 对应 关 系 图 象 法 ： 就 是 用 图 象 表 示 两 个 变 量 之 间 的 对 应 关 系 （ 6） 映 射 的 概 念 设 A、 B是 两 个 集 合 ， 如 果 按 照 某 种 对 应 法 则 f ， 对 于 集 合 A中 任 何 一 个 元 素 ， 在 集 合 B中 都 有 唯 一 的元 素 和 它 对 应 ， 那 么 这 样 的 对 应 （ 包 括 集 合 A， B以 及 A到 B的 对 应 法 则 f ） 叫 做 集 合 A到 B的 映 射 ， 记作 :f A B 给 定 一 个 集 合 A到 集
24、 合 B的 映 射 ， 且 ,a A b B 如 果 元 素 a和 元 素 b对 应 ， 那 么 我 们 把 元 素 b叫 做 元素 a的 象 ， 元 素 a叫 做 元 素 b的 原 象 1.3 函 数 的 基 本 性 质【 1.3.1】 单 调 性 与 最 大 （ 小 ） 值（ 1） 函 数 的 单 调 性 定 义 及 判 定 方 法函 数 的性 质 定 义 图 象 判 定 方 法函 数 的单 调 性 如 果 对 于 属 于 定 义 域 I内某 个 区 间 上 的 任 意 两 个自 变 量 的 值 x1、 x2,当 x 1 f(x 2 ) ，那 么 就 说 f(x)在 这 个 区间 上 是
25、减 函 数 y=f(X)y xo x x2f(x ) f(x )211 （ 1） 利 用 定 义（ 2） 利 用 已 知 函 数的 单 调 性（ 3） 利 用 函 数 图 象（ 在 某 个 区 间 图象 下 降 为 减 ）（ 4） 利 用 复 合 函 数 在 公 共 定 义 域 内 ， 两 个 增 函 数 的 和 是 增 函 数 ， 两 个 减 函 数 的 和 是 减 函 数 ， 增 函 数 减 去 一 个 减 函 数 为 增 函 数 ，减 函 数 减 去 一 个 增 函 数 为 减 函 数 第 -7- 页 共 104 页 对 于 复 合 函 数 ( )y f g x ， 令 ( )u g x
26、 ， 若 ( )y f u 为 增 ， ( )u g x 为 增 ， 则 ( )y f g x 为 增 ； 若( )y f u 为 减 ， ( )u g x 为 减 ， 则 ( )y f g x 为 增 ； 若 ( )y f u 为 增 ， ( )u g x 为 减 ， 则 ( )y f g x 为减 ； 若 ( )y f u 为 减 ， ( )u g x 为 增 ， 则 ( )y f g x 为 减 （ 2） 打 “ ” 函 数 ( ) ( 0)af x x ax 的 图 象 与 性 质( )f x 分 别 在 ( , a 、 , )a 上 为 增 函 数 ， 分 别 在 ,0)a 、 (0
27、, a 上 为 减 函 数 （ 3） 最 大 （ 小 ） 值 定 义 一 般 地 ， 设 函 数 ( )y f x 的 定 义 域 为 I ， 如 果 存 在 实 数 M满 足 ： （ 1） 对 于 任 意 的 x I ， 都 有 ( )f x M ；（ 2） 存 在 0x I ， 使 得 0( )f x M 那 么 ， 我 们 称 M 是 函数 ( )f x 的 最 大 值 ， 记 作 max( )f x M 一 般 地 ， 设 函 数 ( )y f x 的 定 义 域 为 I ， 如 果 存 在 实 数 m满 足 ： （ 1） 对 于 任 意 的 x I ， 都 有 ( )f x m ；（
28、 2） 存 在 0x I ， 使 得 0( )f x m 那 么 ， 我 们 称 m是 函 数 ( )f x 的 最 小 值 ， 记 作 max( )f x m 【 1.3.2】 奇 偶 性（ 4） 函 数 的 奇 偶 性 定 义 及 判 定 方 法函 数 的性 质 定 义 图 象 判 定 方 法函 数 的奇 偶 性 如 果 对 于 函 数 f(x)定 义域 内 任 意 一 个 x， 都 有f( x)= f(x) ,那 么 函 数f(x)叫 做 奇 函 数 （ 1） 利 用 定 义 （ 要先 判 断 定 义 域 是 否关 于 原 点 对 称 ）（ 2） 利 用 图 象 （ 图象 关 于 原 点
29、 对 称 ）如 果 对 于 函 数 f(x)定 义域 内 任 意 一 个 x， 都 有f( x)= f(x) ,那 么 函 数f(x)叫 做 偶 函 数 （ 1） 利 用 定 义 （ 要先 判 断 定 义 域 是 否关 于 原 点 对 称 ）（ 2） 利 用 图 象 （ 图象 关 于 y 轴 对 称 ） 若 函 数 ( )f x 为 奇 函 数 ， 且 在 0x 处 有 定 义 ， 则 (0) 0f 奇 函 数 在 y 轴 两 侧 相 对 称 的 区 间 增 减 性 相 同 ， 偶 函 数 在 y 轴 两 侧 相 对 称 的 区 间 增 减 性 相 反 在 公 共 定 义 域 内 ， 两 个
30、偶 函 数 （ 或 奇 函 数 ） 的 和 （ 或 差 ） 仍 是 偶 函 数 （ 或 奇 函 数 ） ， 两 个 偶 函 数 （ 或 奇 函y xo第 -8- 页 共 104 页数 ） 的 积 （ 或 商 ） 是 偶 函 数 ， 一 个 偶 函 数 与 一 个 奇 函 数 的 积 （ 或 商 ） 是 奇 函 数 补 充 知 识 函 数 的 图 象（ 1） 作 图利 用 描 点 法 作 图 ： 确 定 函 数 的 定 义 域 ； 化 解 函 数 解 析 式 ； 讨 论 函 数 的 性 质 （ 奇 偶 性 、 单 调 性 ） ； 画 出 函 数 的 图 象 利 用 基 本 函 数 图 象 的 变
31、 换 作 图 ：要 准 确 记 忆 一 次 函 数 、 二 次 函 数 、 反 比 例 函 数 、 指 数 函 数 、 对 数 函 数 、 幂 函 数 、 三 角 函 数 等 各 种 基 本 初 等 函数 的 图 象 平 移 变 换 0,0, |( ) ( )h hh hy f x y f x h 左 移 个 单 位右 移 | 个 单 位 0,0, |( ) ( )k kk ky f x y f x k 上 移 个 单 位下 移 | 个 单 位 伸 缩 变 换 0 1,1,( ) ( )y f x y f x 伸缩0 1,1,( ) ( )AAy f x y Af x 缩伸 对 称 变 换(
32、) ( )xy f x y f x 轴 ( ) ( )yy f x y f x 轴( ) ( )y f x y f x 原 点 1( ) ( )y xy f x y f x 直 线( ) (| |)yy yy f x y f x 去 掉 轴 左 边 图 象保 留 轴 右 边 图 象 ， 并 作 其 关 于 轴 对 称 图 象( ) | ( )|xxy f x y f x 保 留 轴 上 方 图 象将 轴 下 方 图 象 翻 折 上 去（ 2） 识 图对 于 给 定 函 数 的 图 象 ， 要 能 从 图 象 的 左 右 、 上 下 分 别 范 围 、 变 化 趋 势 、 对 称 性 等 方 面
33、 研 究 函 数 的 定 义 域 、 值域 、 单 调 性 、 奇 偶 性 ， 注 意 图 象 与 函 数 解 析 式 中 参 数 的 关 系 （ 3） 用 图函 数 图 象 形 象 地 显 示 了 函 数 的 性 质 ， 为 研 究 数 量 关 系 问 题 提 供 了 “ 形 ” 的 直 观 性 ， 它 是 探 求 解 题 途 径 ， 获 得问 题 结 果 的 重 要 工 具 要 重 视 数 形 结 合 解 题 的 思 想 方 法 第 二 章 基 本 初 等 函 数 ( ) 2.1 指 数 函 数【 2.1.1】 指 数 与 指 数 幂 的 运 算（ 1） 根 式 的 概 念 如 果 , ,
34、 , 1nx a a R x R n ， 且 n N ， 那 么 x叫 做 a的 n次 方 根 当 n是 奇 数 时 ， a的 n次 方 根用 符 号 n a 表 示 ； 当 n是 偶 数 时 ， 正 数 a的 正 的 n次 方 根 用 符 号 n a 表 示 ， 负 的 n次 方 根 用 符 号 n a 表 示 ； 0的 n次 方 根 是 0； 负 数 a没 有 n次 方 根 式 子 n a 叫 做 根 式 ， 这 里 n叫 做 根 指 数 ， a叫 做 被 开 方 数 当 n为 奇 数 时 ， a为 任 意 实 数 ； 当 n为 偶 数时 ， 0a 第 -9- 页 共 104 页 根 式
35、的 性 质 ： ( )nn a a ； 当 n为 奇 数 时 ， n na a ； 当 n为 偶 数 时 ， ( 0)| | ( 0) n n a aa a a a （ 2） 分 数 指 数 幂 的 概 念 正 数 的 正 分 数 指 数 幂 的 意 义 是 ： ( 0, , ,m n mna a a m n N 且 1)n 0的 正 分 数 指 数 幂 等 于 0 正 数 的 负 分 数 指 数 幂 的 意 义 是 ： 1 1( ) ( ) ( 0, , ,m m mn n na a m n Na a 且 1)n 0的 负 分 数 指 数 幂没 有 意 义 注 意 口 诀 ： 底 数 取 倒
36、 数 ， 指 数 取 相 反 数 （ 3） 分 数 指 数 幂 的 运 算 性 质 ( 0, , )r s r sa a a a r s R ( ) ( 0, , )r s rsa a a r s R ( ) ( 0, 0, )r r rab a b a b r R 【 2.1.2】 指 数 函 数 及 其 性 质（ 4） 指 数 函 数函 数 名 称 指 数 函 数定 义 函 数 ( 0xy a a 且 1)a 叫 做 指 数 函 数图 象 1a 0 1a 定 义 域 R值 域 (0, )过 定 点 图 象 过 定 点 (0,1)， 即 当 0x 时 ， 1y 奇 偶 性 非 奇 非 偶单
37、调 性 在 R上 是 增 函 数 在 R上 是 减 函 数函 数 值 的变 化 情 况 1 ( 0)1 ( 0)1 ( 0)xxxa xa xa x 1 ( 0)1 ( 0)1 ( 0)xxxa xa xa x a变 化 对 图 象 的 影 响 在 第 一 象 限 内 ， a越 大 图 象 越 高 ； 在 第 二 象 限 内 ， a越 大 图 象 越 低 2.2 对 数 函 数01xay xy(0,1)O1y01xay xy (0,1)O1y第 -10- 页 共 104 页【 2.2.1】 对 数 与 对 数 运 算（ 1） 对 数 的 定 义 若 ( 0, 1)xa N a a 且 ， 则
38、x叫 做 以 a为 底 N 的 对 数 ， 记 作 logax N ， 其 中 a叫 做 底 数 ， N 叫 做 真 数 负 数 和 零 没 有 对 数 对 数 式 与 指 数 式 的 互 化 ： log ( 0, 1, 0)xax N a N a a N （ 2） 几 个 重 要 的 对 数 恒 等 式log 1 0a ， log 1a a ， log ba a b （ 3） 常 用 对 数 与 自 然 对 数常 用 对 数 ： lgN ， 即 10log N ； 自 然 对 数 ： lnN ， 即 loge N （ 其 中 2.71828e ） （ 4） 对 数 的 运 算 性 质 如 果
39、 0, 1, 0, 0a a M N ， 那 么 加 法 ： log log log ( )a a aM N MN 减 法 ： log log loga a a MM N N 数 乘 ： log log ( )na an M M n R loga Na N log log ( 0, )b n aa nM M b n Rb 换 底 公 式 ： loglog ( 0, 1)logba bNN b ba 且【 2.2.2】 对 数 函 数 及 其 性 质（ 5） 对 数 函 数函 数名 称 对 数 函 数定 义 函 数 log ( 0ay x a 且 1)a 叫 做 对 数 函 数图 象 1a 0
40、1a 定 义 域 (0, )值 域 R过 定 点 图 象 过 定 点 (1,0)， 即 当 1x 时 ， 0y 奇 偶 性 非 奇 非 偶单 调 性 在 (0, ) 上 是 增 函 数 在 (0, ) 上 是 减 函 数01 xyO (1,0)1x logay x01 xyO (1,0)1x logay x第 -11- 页 共 104 页函 数 值 的变 化 情 况 log 0 ( 1)log 0 ( 1)log 0 (0 1)aaa x xx xx x log 0 ( 1)log 0 ( 1)log 0 (0 1)aaa x xx xx x a变 化 对 图 象 的 影 响 在 第 一 象
41、限 内 ， a越 大 图 象 越 靠 低 ； 在 第 四 象 限 内 ， a越 大 图 象 越 靠 高 (6)反 函 数 的 概 念设 函 数 ( )y f x 的 定 义 域 为 A， 值 域 为 C， 从 式 子 ( )y f x 中 解 出 x， 得 式 子 ( )x y 如 果 对 于 y 在C中 的 任 何 一 个 值 ， 通 过 式 子 ( )x y ， x在 A中 都 有 唯 一 确 定 的 值 和 它 对 应 ， 那 么 式 子 ( )x y 表 示 x是 y的 函 数 ， 函 数 ( )x y 叫 做 函 数 ( )y f x 的 反 函 数 ， 记 作 1( )x f y
42、， 习 惯 上 改 写 成 1( )y f x （ 7） 反 函 数 的 求 法 确 定 反 函 数 的 定 义 域 ， 即 原 函 数 的 值 域 ； 从 原 函 数 式 ( )y f x 中 反 解 出 1( )x f y ； 将 1( )x f y 改 写 成 1( )y f x ， 并 注 明 反 函 数 的 定 义 域 （ 8） 反 函 数 的 性 质 原 函 数 ( )y f x 与 反 函 数 1( )y f x 的 图 象 关 于 直 线 y x 对 称 函 数 ( )y f x 的 定 义 域 、 值 域 分 别 是 其 反 函 数 1( )y f x 的 值 域 、 定 义
43、 域 若 ( , )P a b 在 原 函 数 ( )y f x 的 图 象 上 ， 则 ( , )P b a 在 反 函 数 1( )y f x 的 图 象 上 一 般 地 ， 函 数 ( )y f x 要 有 反 函 数 则 它 必 须 为 单 调 函 数 2.3 幂 函 数（ 1） 幂 函 数 的 定 义一 般 地 ， 函 数 y x 叫 做 幂 函 数 ， 其 中 x为 自 变 量 ， 是 常 数 第 -12- 页 共 104 页（ 2） 幂 函 数 的 图 象（ 3） 幂 函 数 的 性 质 图 象 分 布 ： 幂 函 数 图 象 分 布 在 第 一 、 二 、 三 象 限 ， 第
44、四 象 限 无 图 象 幂 函 数 是 偶 函 数 时 ， 图 象 分 布 在 第 一 、 二象 限 (图 象 关 于 y 轴 对 称 )； 是 奇 函 数 时 ， 图 象 分 布 在 第 一 、 三 象 限 (图 象 关 于 原 点 对 称 )； 是 非 奇 非 偶 函 数 时 ， 图象 只 分 布 在 第 一 象 限 过 定 点 ： 所 有 的 幂 函 数 在 (0, ) 都 有 定 义 ， 并 且 图 象 都 通 过 点 (1,1) 单 调 性 ： 如 果 0 ， 则 幂 函 数 的 图 象 过 原 点 ， 并 且 在 0, ) 上 为 增 函 数 如 果 0 ， 则 幂 函 数 的 图
45、 象 在(0, ) 上 为 减 函 数 ， 在 第 一 象 限 内 ， 图 象 无 限 接 近 x轴 与 y 轴 奇 偶 性 ： 当 为 奇 数 时 ， 幂 函 数 为 奇 函 数 ， 当 为 偶 数 时 ， 幂 函 数 为 偶 函 数 当 qp （ 其 中 ,p q互 质 ， p和 q Z ） ， 若 p 为 奇 数 q为 奇 数 时 ， 则 qpy x 是 奇 函 数 ， 若 p 为 奇 数 q为 偶 数 时 ， 则 qpy x 是 偶 函 数 ， 若 p为 偶 数 q为 奇 数 时 ， 则 qpy x 是 非 奇 非 偶 函 数 图 象 特 征 ： 幂 函 数 , (0, )y x x
46、， 当 1 时 ， 若 0 1x ， 其 图 象 在 直 线 y x 下 方 ， 若 1x ， 其 图象 在 直 线 y x 上 方 ， 当 1 时 ， 若 0 1x ， 其 图 象 在 直 线 y x 上 方 ， 若 1x ， 其 图 象 在 直 线 y x 下 方 补 充 知 识 二 次 函 数（ 1） 二 次 函 数 解 析 式 的 三 种 形 式 一 般 式 ： 2( ) ( 0)f x ax bx c a 顶 点 式 ： 2( ) ( ) ( 0)f x a x h k a 两 根 式 ：第 -13- 页 共 104 页1 2( ) ( )( )( 0)f x a x x x x a （ 2） 求 二 次 函 数 解 析 式 的 方 法 已 知 三 个 点 坐 标 时 ， 宜 用 一 般 式 已 知 抛 物 线 的 顶
