《现代控制理论》课后习题答案5.pdf

1、 现代控制理论第5章习题解答 5.1 已知系统的状态空间模型为 CxyBuAxx =+= , ， 画出加入状态反馈后的系统结构图，写出其状态空间表达式。 答：具有状态反馈 的闭环系统状态空间模型为： uKx= +v()x ABKxBvyCx= +=相应的闭环系统结构图为 CxAKyBuv闭环系统结构图 5.2 画出状态反馈和输出反馈的结构图，并写出状态反馈和输出反馈的闭环系统状态空间模型。 答：具有状态反馈 的闭环系统状态空间模型为 uKx= +v()x ABKxBvyCx= +=相应的反馈控制系统结构图为 CxAKyBuv具有输出反馈 的闭环系统状态空间模型为 uFy= +v()x ABFC

2、xBvyCx= +=相应的反馈控制系统结构图为 CxAFyBuv5.3 状态反馈对系统的能控性和能观性有什么影响？输出反馈对系统能控性和能观性的影响如何？ 答： 状态反馈不改变系统的能控性，但不一定能保持系统的能观性。输出反馈不改变系统的能控性和能观性。 5.4 通过检验能控性矩阵是否满秩的方法证明定理 5.1.1。 答：加入状态反馈后得到闭环系统KS ，其状态空间模型为 ()x ABKxBvyCx= +=开环系统 的能控性矩阵为 0S1, ncA BBAB AB= “ 闭环系统KS 的能控性矩阵为 1( ), ( ) ( ) ncKA BKB B ABKB ABK B = “ 由于 222(

3、)()( )() (A BK B AB BKBA BK B A ABK BKA BKBK B)A BABKB BKABKBKB=+= #以此类推， 总可以写成 的线性组合。因此，存在一个适当非奇异的矩阵 U ，使得 ()mABKB1,mmAB A B AB B( ), , cK cABKB ABU = 由此可得：若 rank( , )cAB n = ，即有 个线性无关的列向量，则n ( ), cKABKB 也有个线性无关的列向量，故 n rank( ( ), )cKABKB n =5.5 状态反馈和输出反馈各有什么优缺点。 答： 状态反馈的优点是，不改变系统的能控性，可以获得更好的系统性能。其

4、缺点是，不能保证系统的能观性，状态 x必须可测，成本高。 输出反馈的优点是：保持系统的能控性和能观性不变，结构简单，只用到外部可测信号。其缺点是，由于用到的信号少，它所达到的系统性能往往有限，有时甚至都不能达到闭环系统的稳定性。 5.6 应用能控性检验矩阵的方法证明状态反馈不改变系统的能控性。然而，对以下系统 01 023 131x xuyx =+ =可以通过选择适当的状态反馈增益矩阵来改变闭环系统的能观性。 答： 对于用能控性检验矩阵的方法证明状态反馈不改变系统的能控性，在题 5.4 中已经证明。 开环系统的能观性矩阵为 031,20CACCA = 由于能观性矩阵满秩，故系统是能观的。 设

5、12Kkk= ，引入状态反馈 uKxv=+后，闭环系统的状态矩阵是 120123AABKkk = = 闭环系统的能观性矩阵为 012312CACkkCA = 取 20K = ，则可得 03100AC = 该矩阵不是满秩的，故系统是不能观的。这个例子说明了状态反馈的引入使得原来能观的系统变得不能观了。 5.7 证明定理 5.1.2。 证明： 先证能控性。对任一输出反馈系统都可对应地构造等价的一个状态反馈系统。由定理5.1.1 知，状态反馈不改变系统的能控性，因而，输出反馈也不改变系统的能控性。 设被控系统 的状态空间模型为： 0Sx Ax BuyCx= +=引入状态反馈后，闭环系统 的状态空间模

6、型为： FS()x ABFCxBvyCx= +=系统 和 的能观矩阵分别为 0SFS01nCCAQCA=#， 01()()FnCCA BFCQC A BFC = #可以看出， (C A BFC) 每个行均可表为 ,TTTTCAC 各行的线性组合，同理有是 各行的线性组合，如此等等。据此可以导出： 2()CA BFC2,()TTTT T TCAC A CoF orankQ rankQ 由于 又可以看成为 的输出反馈系统，因而有 oSFSoorankQ rankQF 由以上两式可得 oorankQ rankQF= 因此，系统 完全能观测等价于 完全能观测。 FS0S5.8 采用状态反馈实现闭环极点

7、任意配置的条件是什么？ 答：采用状态反馈实现闭环极点任意配置的条件是，开环系统是能控的。 5.9 采用状态反馈实现闭环极点任意配置，其状态反馈增益矩阵 K 的行数和列数如何确定，计算方法有几种？ 答： 状态反馈增益矩阵 K 的行数是输入变量的个数，列数是状态变量的个数。计算方法有：1.直接法； 2.变换法；3. 利用爱克曼公式求解。 5.10 为什么要进行极点配置？解决系统极点配置问题的思路和步骤是什么？ 答： 对一个线性时不变系统，其稳定性和动态性能主要是由系统极点所决定，闭环极点在复平面的适当位置上就可以保证系统具有一定的性能。因此，为了得到期望的系统性能，可以通过改变闭环系统极点位置的方

8、式来实现，这就是极点配置的思想。 解决极点配置问题的思路如下： 1、要改变系统的行为，自然想到所考虑的系统应该是能控的。因此，从能控系统入手来分析系统的求解问题； 2、一般的能控系统也是很复杂的，为了求解问题，从最简单的能控系统开始，即从三阶的能控标准型模型出发分析极点配置问题的解，进而推广到 阶能控标准型模型； n3、对一般的能控系统，设法将它化成等价的能控标准型模型，进而利用第 2 步的方法得到极点配置问题的解。 解决极点配置问题的具体方法和步骤如下： （1 ）直接法： 1、检验系统的能控性。如果系统是能控的，则继续第 2 步。 2、利用给定的期望闭环极点，可得到期望的闭环特征多项式为 1

9、12 1 1()()()nnnnbb 0b =+“+ 3、系统矩阵 A BK 的特征多项式 111det ( )nnn 0I ABK a a a =+ + +“ 4、两个多项式相等即等号两边 同次幂的系数相等，导出关于 K 的分量 的一个线性方程组，求解该线性方程组，可得要求的增益矩阵1,nkk“K 。 （2 ）变换法： 1、检验系统的能控性。如果系统是能控的，则继续第 2 步。 2、利用系统矩阵 A的特征多项式 111det( )nnn 0I Aa a =+ + +“ a 确定 的值。 01 1, ,naa a“3、确定将系统状态方程变换为能控标准形的变换矩阵 T 。若给定的状态方程已经是能

10、控标准形，那么 TI= 。非奇异线性变换矩阵 T 可由下式决定： 1,(ccB,)TA AB= 0b 4、利用给定的期望闭环极点，可得到期望的闭环特征多项式为 112 1 1()()()nnnnbb =+“+ 5、确定极点配置状态反馈增益矩阵 K ： 0011 2 2 1 1nnnnKbaba b a b aT= “ 5.11 已知系统状态方程 11 101 1xxu =+ 计算状态反馈增益矩阵，使得闭环极点为 2 和 3 ，并画出反馈系统的结构图。 答：由 ， ，得能控性矩阵为 1101A=11B=12(,)11cAB B AB = = det( ( , ) 1 0cAB = 所以系统是能控

11、的。 由于 211det( ) 2 101IA = =+系统的能控标准形矩阵对是 0112A = ，01B = 故状态变换矩阵为： 1 , ( , )ccTABAB= 01 1 212 1 1 = 1110 = 根据给定的期望闭环极点，可得闭环特征多项式为： 212()()(2)(3) 5 =+=+6 因此，状态反馈增益矩阵是 57KT= 12 5= 结构图为 2x1x2x1x5.12 给定系统 21 001 1x xu =+ （ 1） 画出模拟结构图； （ 2） 画出单位阶跃响应曲线。若动态性能不满足要求，可否任意配置闭环系统极点？ （ 3） 若指定闭环极点为3 和 3，求状态反馈增益矩阵，

12、并画出单位阶跃响应曲线。 答： （1 ）模拟结构图 2x-u2-2x1x1x（2 ）其单位阶跃响应曲线如图所示 Step ResponseTime (sec)Amplitude0 1 2 3 4 5 6 700.050.10.150.20.250.30.350.40.450.5System: gSettling Time (sec): 4.6System: gRise Time (sec): 2.97系统的能控性矩阵为： 01(,)11cAB B AB = = 而 ，故系统是能控的。因此，若系统性能不满足要求，可以通过配置闭环系统极点来改善系统性能。 det( ( , ) 1 0cAB=（3

13、）设状态反馈增益矩阵 12Kkk= ，可得 ()I ABK 12211kk+ = + 2212det( ( ) (3 ) 2 2IABK k k k =+ + + 由指定的闭环极点 3 和 ，可得期望的闭环特征多项式为： 322(3) 69+ =+ 由此可得： ，即121, 3kk= 13K = 极点配置后的闭环系统为： 21 0()14 1x ABKxBv x v = += + 它的单位阶跃响应曲线为： Step ResponseTime (sec)Amplitude0 0.5 1 1.5 2 2.500.020.040.060.080.10.12System: gSettling Time

14、 (sec): 1.94System: gRise Time (sec): 1.3对比两图可以发现，系统的动态性能大大改善。 5.13 已知系统的传递函数为2(1)()(3sGsss+=)+，根据其能控标准形实现设计一个状态反馈控制器，将闭环极点配置在2 ， 2 和1 处，并说明所得的闭环系统状态空间模型是否能观。 答：由系统的传递函数2(1)()(3sGsss )+=+，可以得到系统的能控标准形为： 01 0 000 1 000 3 1x xu =+ 110yx= 设状态反馈增益矩阵 123Kkkk= ，则 ()I ABK 12310013kkk = + + 3232det( ( ) (3

15、)1I ABK k k k =+ + + 由指定的闭环极点 2 、 和 可得期望的闭环特征多项式： 2 1232(2)(1) 5 8+=+4 由此可得： ，即1234, 8, 2kkk= 482K = 。因此，要设计的状态反馈控制器是 482ux= 极点配置后的闭环系统为： 010 0001 0485 1x xv =+ 110yx= 该系统的能观性矩阵为： 2110011484oCAC CACA = det( ) 0oAC = 因此所得的闭环系统状态空间模型是不能观的。 5.14 已知系统的传递函数为 (1)(2)()(1)(2)(3ssGssss+=)+ +试问能否用状态反馈将闭环系统的传递

16、函数变为 1()(2)(3csGsss=)+ +若有可能，试给出相应的状态反馈控制器，并画出控制系统结构图。 答：能够用状态反馈将闭环系统的传递函数变为1()(2)(3csGsss)=+ +。 根据原系统的传递函数可以得到能控标准形。由定理 5.1.3，对能控的单输入单输出系统，只要不发生零极点相消的现象，状态反馈就不能改变零点。因此我们只能用状态反馈把原系统变换为 2(1)( 2)()(2)(3cssGsss) +=+ +即将闭环系统极点配置在 、 和 2 2 3 的位置上。原系统的状态方程为： 01 0 000 1 065 2 1x xu =+ 211yx= 设状态反馈增益矩阵 123Kk

17、kk= ，则 ()I ABK 123100165kkk2 = + 3232 1det( ( ) (2 ) ( 5) 6IABK k k k =+ + + 由指定的闭环极点 2 、 和 可得期望的闭环特征多项式： 2 3232(2)(3) 7 161+=+2 由此可得： ，即12 318, 21, 5kkk= 18 21 5K = 。因此，要设计的状态反馈控制器是 18 21 5ux= 相应的闭环系统是： 010 0001 012 16 7 1x xv=+ 211yx= 结构图为 3x2x1x yu5.15 已知系统的状态空间模型 00 5 2 010 1 1 201 3 0 10 0 1x x

18、uyx=+=（ 1） 验证开环系统是不稳定的，系统是能控能观的； （ 2） 证明该系统可以采用输出反馈 使得闭环系统渐近稳定； T12uhhy=（ 3） 验证该系统不能采用输出反馈 任意配置闭环系统极点。 T12uhhy=答： (1) 由于系统的特征值为 -0.1607， 6.5676， 14.4931，所以开环系统是不稳定的。系统的能控性矩阵是 ,cAB =20 0 5 551 22114011112 其秩 rank 3 ，所以系统是完全能控的。 ,cAB系统的能观性矩阵是 0001, 013138AC = 由于 rank 0,A C 3 ，故系统也是完全能观的。 （2 ） 在输出反馈 12

19、TuhhyH= y=作用下，闭环系统为 ()x ABHCxyCx= +=其闭环状态矩阵是： 11122200 5 2 0 00 2 510 1 1 2 001 10 2 101 3 0 1 01 3hhABHC h hhh+ += + = + 该系统的特征多项式为： 32212det( ( ) ( 3) ( 2 1) (2 5)IABHC h h h h+ =+ + + + 10b设配置极点后的系统特征多项式为3221bb+ +，则有 即需满足 13115222bb2b = 闭环系统渐近稳定，则须有三个负根，即 ， 和 b 都必为正，这与上式矛盾，故原系统不可能用输出反馈1b2b3 12Tuh

20、h= y1来镇定原系统。 222110325hbhh bhb = +=原题有误。 5.16 极点配置可以改善系统的过渡过程性能，加快系统的响应速度。它对稳态性能有何影响？如何消除对稳态性能的负面影响？ 答： 极点配置可以改善系统的过渡过程性能，加快系统的响应性能，但可能使闭环系统产生稳态误差。可以引进一个积分器来抑制或消除系统的稳态误差，这样一种跟踪控制器的设计问题可以通过建立增广系统，进而求解增广系统的极点配置问题来得到既保持所期望的动态性能，又无静差的比例积分控制器。 5.17 考虑例 5.4.2 中的倒立摆系统，假定风以一个水平力 作用在摆杆上，以 5(作()wt )wt用在小车上，此时

21、系统的动态方程是 01 00 0 000 10 1 400 01 0 000110 1 61000x Ax Bu Ew x u wyCx x =+= + + =其中： Txyy =是系统的状态向量， 是摆杆的偏移角， 是小车的位移， 是作用在小车上的力。再按例 5.4.2 的要求设计控制器，并画出闭环系统的状态响应曲线，解释摆杆偏移角的稳态值非零的原因。 yu答：增广系统的状态空间模型是 001 0 00 0400 100 1000 0 10 06001100 110 0 00 010000rwxxuqqwyxyq =+ + =采用极点配置方法，基于以上模型来设计增广系统的极点配置状态反馈控制

22、器 12uKxKq= 根据给定的性能要求，选择闭环极点为 113j = + ，213j = ，3455 = = 执行以下 M 文件： a=0 1 0 0 0;0 0 -1 0 0;0 0 0 1 0;0 0 11 0 0;1 0 0 0 0; b=0;1;0;-1;0; c=ctrb(a,b) rank(c) 求得能控性矩阵： 01 0 1 010 1 0 1010 1 01 0 11 0 12100 1 0 1cAB = 以及该矩阵的秩为 5，所以增广系统是能控的。因此可以对增广系统进行任意极点配置。特别的，对以上给定的闭环极点，执行以下的 M 文件： A=0 1 0 0;0 0 -1 0;

23、0 0 0 1;0 0 11 0; B=0;1;0;-1; C=1 0 0 0; AA=A zeros(4,1);C 0; BB=B;0; J=-1+j*sqrt(3) -1-j*sqrt(3) -5 -5 -5; K=acker(AA,BB,J) 得到系统的状态反馈增益矩阵 K = -55.0000 -38.5000 -175.0000 -55.5000 -50.0000 因此，要设计的控制器是 055 38.5 175 55.5 50 ( ) 1tuxyd =+ 执行以下 M 文件： A=0 1 0 0;0 0 -1 0;0 0 0 1;0 0 11 0; B=0;1;0;-1; C=1 0 0 0; K1=-55 -38.5 -175 -55.5; K2=-50; a=A-B*K1 -B*K2;C 0； b=0;4;0;6;-1； c=C 0； d=0； sys=ss(a,b,c,d); ltiview(step,sys); 可得闭环系统单位阶跃响应：