1、层次分析方法及建模应用,层次分析法概念: 是一种定性与定量分析相结合的多因素决策分析方法.主要用于: 方案、措施的选择 方案、措施的排序例如：,例1：某一个顾客选购电视机时，对市场正在出售的四种电视机考虑了八项准则作为评估依据,例2 选拔干部对三个干部候选人 、 、 ，按选拔干部的五个标准：品德、 才能、资历、年龄和群众关系，构成如下层次分析模型： 假设有三个干部候选人 、 、 ，按选拔干部的五个 标准：品德，才能，资历，年龄和群众关系,例3 评选优秀学校某地区有三个学校，现在要全面考察评出一个优秀学校。主要考虑以下几个因素：（1）教师队伍（包括平均学历和年龄结构）（2）教学设施（3）教学工作
2、（包括课堂教学，课外活动，统考成绩和教学管理）（4）文体活动,层次分析法步骤,（1）在确定决策的目标后，对影响目标决策的因素进行分类，建立一个多层次结构；（2）比较同一层次中各因素关于上一层次的同一个因素的相对重要性，构造成对比较矩阵；（3）通过计算，检验成对比较矩阵的一致性，必要时对成对比较矩阵进行修改，以达到可以接受的一致性； （4）在符合一致性检验的前提下，计算与成对比较矩阵最大特征值相对应的特征向量，确定每个因素对上一层次该因素的权重；计算各因素对于系统目标的总排序权重并决策。,Step1:建立层次结构模型将问题包含的因素分层：最高层（解决问题的目的）；中间层（实现总目标而采取的各种措
3、施、必须考虑的准则等。也可称策略层、约束层、准则层等）；最低层（用于解决问题的各种措施、方案等）。把各种所要考虑的因素放在适当的层次内。用层次结构图清晰地表达这些因素的关系。例2：,Step2:构造成对比较矩阵,比较第 i 个元素与第 j 个元素相对上一层某个因素的重要性时，使用数量化的相对权重 来描述。设共有 n 个元素参与比较，则 称为成对比较矩阵。,对例 2， 选拔干部考虑5个条件：某决策人用成对比较法，得到成对比较阵如下：,Step3:作一致性检验,从理论上分析得到：如果 是完全一致的成对比较矩阵，应该有,实际检验步骤：,允许不一致，但要确定不一致的允许范围,考察完全一致的情况,可证明
4、: CI=0,例如对例 2 的矩阵,说明：A 的不一致程度是可接受的,可以用 MATLAB 语句求 的特征值:Y,D=eig（A），,此时 的最大特征值对应的特征向量为,该特征向量标准化后变成 经过标准化后这个向量称为权向量 它反映了决策者选拔干部时，视品德条件最重要， 其次是才能，再次是群众关系，年龄因素，最后才是资历。,层次总排序及决策,现在来完整地解决例 2 的问题，要从三个候选人,中选一个总体上最适合上述五个条件的候选人。 对此，对三个候选人,分别比较他们的品德 ，才能 ，资历 ，年龄 ， 群众关系 先成对比较三个候选人的品德，得成对比较阵,通常，还要做组合一致性检验,组合权向量,第2
5、层对第1层的权向量,第3层对第2层各元素的权向量构造的矩阵,则第3层对第1层的组合权向量,纯净水安全监控问题,建模比赛题举例,问题重述,某城区共有九家生产并销售纯净水的公司，其中A公司和B公司规模较大，其余均为小公司。根据该城区提供的近年的关于各公司的纯净水检测报告.(数据见excel) 我们需要重点解决下列的问题： 1、结合本问题所给数据，给出纯净水安全风险分析的科学评价方法，确定评价的标准和评价的规则，对该城区所有批次的纯净水进行评判排序。 2、对该城区范围内的监控对象（各公司）按风险度进行排序评价，并对它们分类综合评价，指出各公司产品的主要可能的危害因素，并指出同类公司的实际特点。 3、
6、4、5略,问题一,结合本问题所给数据，给出纯净水安全风险分析的科学评价方法，确定评价的标准和评价的规则，对该城区所有批次的纯净水进行评判排序。分析与建模：可用层次分析方法,Step1:建立层次结构,Step2:构造成对比较矩阵 现在要比较电导率、菌落总数、大肠菌群和霉菌4个因素对目标层因素的影响大小。,标度含义 1表示两个因素相比，具有相同重要性 3表示两个因素相比，前者比后者稍重要 5表示两个因素相比，前者比后者明显重要7表示两个因素相比，前者比后者强烈重要9表示两个因素相比，前者比后者极端重要2，4，6，8表示上述相邻判断的中间值,得到判断矩阵为：,Step3:检验成对比较矩阵的一致性 1
7、)计算一致性指标最大特征值4.0104, CI=0.003467 2)查找相应的平均随机一致性指标 RI=0.9 3)CR=CI/RI=0.0038520.01, 一致性可接受,利用matlab程序Y,D=eig(A)可得到A的特征值和对应特征向量。最大特征值的特征向量为(0.0859 0.2578 0.481 0.8335)T 归一化得准则层对目标层因素的权重向量为 W= （0.051803 0.15547 0.290074 0.502653）T下面求方案层各因素对准则层各因素的权重向量,求对电导率风险性的权重向量 成对比较矩阵构造 考虑合理性和一致性检验要求,如此构造比较矩阵：一定满足一致
8、性（单层和组合）要求，且w归一化后为权重向量,最大特征根和特征向量的简化计算,精确计算的复杂和不必要,简化计算的思路一致阵的任一列向量都是特征向量，一致性尚好的正互反阵的列向量都应近似特征向量，可取其某种意义下的平均。,和法取列向量的算术平均,精确结果:w=(0.588,0.322,0.090)T, =3.010,这里 因此能通过一致性检验,归一化得权重向量 其它三个因素类似(略有区别，见表） 最终可得权重矩阵P 方案层对目标层的总排序权重向量为Pw 对权重大小做排序，得批次的排序,结果分析： 1）风险最大的几批次：第10、35、6等 原因：第10霉菌为3，且菌落总数180，严重超标 第35批霉菌为2 第6批菌落总数800严重超标。 2）基本满足有超标项的比无超标项的风险大。 有超标项的包括第6、8、9、10、19、22、24、27、28、29、30、31、32、34、35，只有19、28、34排在了无超标批次的后面,作业:问题二,对该城区范围内的监控对象（各公司）按风险度进行排序评价，并对它们分类综合评价，指出各公司产品的主要可能的危害因素，并指出同类公司的实际特点。,按公司风险度排序，同样可用层次分析法。 采用加权平均的方法给出各公司的纯净水的各项指标。（也可以用不合格率）,建立层次结构,
