1、1,第三章 点的投影,2,31 点的投影,采用多面投影。,过空间点A的投射线与投影面P的交点即为点A在P面上的投影。,点在一个投影面上的投影不能确定点的空间位置。,一、点在一个投影面上的投影,a,3,二、点在两投影面体系中的投影,1、两投影面体系的建立,2、点在两投影面体系中的投影,A点的水平投影 a A点的垂直投影 a,4,3、点在两投影面体系中的投影规律,1）点的正面投影和水平投影的连线垂直于OX轴,2）点的正面投影到OX轴的距离反映该点到H面的距离；点的水平投影到OX轴的距离反映该点到V面的距离。,点的投影到相应投影轴的距离，反映空间点到相应投影面的距离.,5,三、点的三面投影,投影面,
2、正面投影面（简称正面或V面）,水平投影面（简称水平面或H面）,侧面投影面（简称侧面或W面）,投影轴,OX轴 V面与H面的交线,OZ轴 V面与W面的交线,OY轴 H面与W面的交线,三个投影面互相垂直,6,空间点A在三个投影面上的投影,空间点用大写字母表示，点的投影用小写字母表示。,7,X,Y,Z,O,V,H,W,A,a,a,a,向右翻,向下翻,不动,投影面展开,8,X,Y,Z,O,V,H,W,A,a,a,a,点的投影规律:, aaOX轴, aax= aaz=y=A到V面的距离,aax= aay=z=A到H面的距离,aay= aaz=x=A到W面的距离,aaOZ轴,9,点的三面投影和坐标的关系为：
3、 水平投影 a 反映A点X和Y的坐标； 正面投影 a反映A点X和Z的坐标； 侧面投影a“反映A点Y和Z的坐标。,画出A点投影图和举例,10,例：已知点的两个投影，求第三投影。,a,a,ax,az,az,解法一:,通过作45线使aaz=aax,解法二:,用分规直接量取aaz=aax,11,特殊位置点：,12,d,d,e,e,f,f,e,f,d,z,x,YW,YH,0,例：已知点的两投影，求其第三投影,d,a,a,a,13,一点的两投影之间的连线垂直于投影轴；点的一个投影到某投影轴的距离等于空间点到与该投影轴相邻的投影面之间的距离。 因此在求作点的投影时，应保证做到:点的V面投影与H面投影之间的连
4、线垂直于0X轴，即aa上0X ；点的V面投影与W面投影之间的连线垂直0Z轴，即a a“上0Z；点的H面投影到0X轴的距离及点的W面投影到0Z 轴的距离两者相等，都反映点到V面的距离。,点的投影规律,14,若把三个投影面当作空间直角坐标面，投影轴当作直角坐标轴，则点的空间位置可用其（X、Y、Z）三个坐标来确定，点的投影就反映了点的坐标值，其投影与坐标值之间存在着对应关系。 点的一个投影反映了点的两个坐标。已知点的两个投影，则点的X、Y、Z三个坐标就可确定，即空间点是唯一确定的。因此已知一个点的任意两个投影即可求出其第三投影。,点的投影与直角坐标的关系,15,空间点 点的X、Y、Z三个坐标均不为零
5、，其三个投影都不在投影轴上。 投影面上的点 点的某一个坐标为零，其一个投影与投影面重合，另外两个投影分别在投影轴上。 投影轴上的点 点的两个坐标为零，其两个投影与所在投影轴重合，另一个投影在原点上。 与原点重合的点 点的三个坐标为零，三个投影都与原点重合。,各种位置点的投影,16,四、两点的相对位置,两点的相对位置指两点在空间的上下、前后、左右位置关系。,判断方法：, x 坐标大的在左, y 坐标大的在前, z 坐标大的在上,B点在A点之前、之右、之下。,17,例题2 已知A点在B点之前5毫米，之上9毫米，之右8毫米，求A点的投影。,18,两点的相对位置两点的相对位置是根据两点相对于投影面的距
6、离远近（或坐标大小）来确定的。X坐标值大的点在左；Y坐标值大的点在前；Z坐标值大的点在上。根据一个点相对于另一点上下、左右、前后坐标差，可以确定该点的空间位置并作出其三面投影。,19,重影点：,空间两点在某一投影面上的投影重合为一点时，则称此两点为该投影面的重影点。,A、C为H面的重影点,被挡住的投影加( ),20,若两点位于同一条垂直某投影面的投射线上，则这两点在该投影面上的投影重合，这两点称为该投影面的重影点。 重影点在三对坐标值中，必定有两对相等。从投影方向观看，重影点必有一个点的投影被另一个点的投影遮住而不可见。判断重影点的可见性时，需要看重影点在另一投影面上的投影，坐标值大的点投影可
7、见，反之不可见，不可见点的投影加括号表示。,重影点及可见性判别,21,4.1 直线的投影,两点确定一条直线，将两点的同名投影用直线连接，就得到直线的同名投影。,直线对一个投影面的投影特性,一、直线的投影特性,直线垂直于投影面 投影重合为一点积 聚 性,直线平行于投影面 投影反映线段实长ab=AB,直线倾斜于投影面 投影比空间线段短ab=ABcos,22,二、 直线在三个投影面中的投影特性,投影面平行线,投影面垂直线,正平线（平行于面）,侧平线（平行于面）,水平线（平行于面）,正垂线（垂直于面）,侧垂线（垂直于面）,铅垂线（垂直于面）,一般位置直线,统称特殊位置直线,23,1、投影面平行线,水平
8、线,正平线,侧平线,24,在其平行的那个投影面上的投影反映实长，并反映直线与另两投影面倾角的实大。,另两个投影面上的投影平行于相应的投影轴。,水平线,侧平线,正平线,投 影 特 性：,与H面的夹角: 与V面的角:与W面的夹角: ,实长,实长,实长,25,2、 投影面垂直线,铅垂线,正垂线,侧垂线,26,反映线段实长。且垂直于相应的投影轴。,铅垂线,正垂线,侧垂线, 另外两个投影，, 在其垂直的投影面上，,投影有积聚性。,投影特性:,27,3、 一般位置直线,28,投影特性：,三个投影都缩短。即: 都不反映空间线段的实长及与三个投影面夹角的实大，且与三根投影轴都倾斜。,29,1）求直线的实长及对
9、水平投影面的夹角角,|zA-zB|,30,2）求直线的实长及对正面投影面的夹角 角,|YA-YB|,31,3）求直线的实长及对侧面投影面的夹角 角,32,例题1 已知 线段的实长AB，求它的水平投影。,33,4.2 直线与点及两直线的相对位置,一、直线与点的相对位置,34,若点在直线上, 则点的投影必在直线的同名投影上。并将线段的同名投影分割成与空间相同的比例。即：,若点的投影有一个不在直线的同名投影上， 则该点必不在此直线上。,点在直线上的判别方法：,AC/CB=ac/cb= ac / cb,A,B,C,V,H,b,c,c,b,a,a,定比定理,35,直线上的点具有两个特性：从属性 若点在直
10、线上，则点的各个投影必在直线的各同面投影上。利用这一特性可以在直线上找点，或判断已知点是否在直线上。 定比性 属于线段上的点分割线段之比等于其投影之比。即 A C: C B = a c : c b= ac : cb = ac : c b,36,点C不在直线AB上,例1：判断点C是否在线段AB上。,点C在直线AB上,37,例2：判断点K是否在线段AB上。,a,b,因k不在a b上，故点K不在AB上。,应用定比定理,a,b,k,a,b,k,38,例题3 已知点C 在线段AB上，求点C 的正面投影。,39,例题4 已知线段AB的投影，试定出属于线段AB的点C的投影， 使BC 的实长等于已知长度L。,
11、AB,zA-zB,c,ab,40,二、两直线的相对位置,平行,相交,交叉,垂直相交,41,空间两直线的相对位置分为： 平行、相交、交叉。, 两直线平行,投影特性：,空间两直线平行，则其各同名投影必相互平行，反之亦然。,42,a,b,c,d,c,a,b,d,例1：判断图中两条直线是否平行。,对于一般位置直线，只要有两个同名投影互相平行，空间两直线就平行。,AB/CD,43,b,d,c,a,c,b,a,d,d,b,a,c,对于特殊位置直线，只有两个同名投影互相平行，空间直线不一定平行。,求出侧面投影后可知：,AB与CD不平行。,例2：判断图中两条直线是否平行。,求出侧面投影,44, 两直线相交,判
12、别方法：,若空间两直线相交，则其同名投影必相交，且交点的投影必符合空间一点的投影规律。,交点是两直线的共有点,45,例：过C点作水平线CD与AB相交。,先作正面投影,46,1(2),3(4 ), 两直线交叉,投影特性：, 同名投影可能相交，但 “交点”不符合空间一个点的投影规律。, “交点”是两直线上的一 对重影点的投影，用其可帮助判断两直线的空间位置。,、是面的重影点，、是H面的重影点。,47,例题 判断两直线的相对位置,1d,1c,48,判断两直线重影点的可见性,判断重影点的可见性时，需要看重影点在另一投影面上的投影，坐标值大的点投影可见，反之不可见，不可见点的投影加括号表示。,49,例题
13、 判断两直线重影点的可见性,50,4、两直线垂直相交（或垂直交叉）,直角的投影特性：,若直角有一边平行于投影面，则它在该投影面上的投影仍为直角。,设 直角边BC/H面 因 BCAB, 同时BCBb 所以 BCABba平面,直线在H面上的投影互相垂直,即 abc为直角,因此 bcab,故 bc ABba平面,又因 BCbc,证明：,51,a,b,c,a,b,c,例：过C点作直线与AB垂直相交。,52,e,e,e,e,c,c,例 已知直线AB的两面投影和C点的水平投影,试过C点作一条直线CE垂直于AB,求直线CE的两面投影。,两直线交叉,53,例题 过点E 作线段AB、CD 的公垂线EF。,54,
14、小 结,点与直线的投影特性，尤其是特殊位置直线的投影特性。 点与直线及两直线的相对位置的判断方法及投影特性。 定比定理。 直角定理，即两直线垂直时的投影特性。,重点掌握：,55,一、各种位置直线的投影特性, 一般位置直线,三个投影与各投影轴都倾斜。, 投影面平行线,在其平行的投影面上的投影反映线段实长及与相应投影面的夹角。另两个投影平行于相应的投影轴。, 投影面垂直线,在其垂直的投影面上的投影积聚为一点。另两个投影反映实长且垂直于相应的投影轴。,56,二、直线上的点, 点的投影在直线的同名投影上。, 点分线段成定比，点的投影必分线段的投影成定比定比定理。,三、两直线的相对位置, 平行, 相交,
15、 交叉（异面）,同名投影互相平行。,同名投影相交，交点是两直线的共有点，且符合空间一个点的投影规律。,同名投影可能相交，但“交点”不符合空间一个点的投影规律。“交点”是两直线上一对重影点的投影。,57,四、相互垂直的两直线的投影特性, 两直线同时平行于某一投影面时，在该投影面上的投影反映直角。, 两直线中有一条平行于某一投影面时，在该投影面上的投影反映直角。, 两直线均为一般位置直线时，在三个投影面上的投影都不反映直角。,直角定理,58,5.1 平面的投影,一、平面的表示法,不在同一直线上的三个点,直线及线外一点,两平行直线,两相交直线,平面图形,1、用几何元素表示平面,59,实形性,类似性,
16、积聚性, 平面对一个投影面的投影特性,二、平面的投影特性,60, 平面在三投影面体系中的投影特性,平面对于三投影面的位置可分为三类：,投影面垂直面,投影面平行面,一般位置平面,垂直于某一投影面，倾斜于另两个投影面,平行于某一投影面，垂直于另两个投影面,与三个投影面都倾斜,61,1） 投影面垂直面,铅垂面,正垂面,侧垂面,62,铅垂面,投影特性：1、 abc积聚为一条线2 、 abc、 abc为ABC的类似形3 、 abc与OX、 OY的夹角反映、角的真实大小,63,正垂面,投影特性：1、 abc 积聚为一条线2 、 abc、abc ABC的类似形3 、 abc与OX、 OZ的夹角反映、 角的真
17、实大小,64,侧垂面,投影特性：1、 abc积聚为一条线2 、 abc、 abc为 ABC的类似形3 、 abc与OZ、 OY的夹角反映、角的真实大小,65,a,b,c,a,c,b,c,b,a,类似性,类似性,积聚性,铅垂面,投影特性：,在它垂直的投影面上的投影积聚成直线。该直线与投影轴的夹角反映空间平面与另外两投影面夹角的大小。,另外两个投影面上的投影有类似性。,为什么？,66,2） 投影面平行面,水平面,正平面,侧平面,67,水平面,投影特性：1、 abc、 abc积聚为一条线积聚为一条线，具有积聚性2 、 水平投影abc反映 ABC实形,68,正平面,投影特性：1、abc 、 abc 积
18、聚为一条线，具有积聚性2 、正平面投影abc反映 ABC实形,69,投影特性：1、 abc 、 abc 积聚为一条线，具有积聚性2 、 侧平面投影abc 反映 ABC实形,侧平面,70,积聚性,积聚性,实形性,水平面,投影特性：,在它所平行的投影面上的投影反映实形。,另两个投影面上的投影分别积聚成与相应的投影轴平行的直线。,71,3） 一般位置平面,72,一般位置平面,投影特性1 、 abc 、 abc 、 abc 均为 ABC的类似形2 、 不反映、 的真实角度,73, 平面上取任意直线,三、平面上的直线和点,74,75,a,b,c,b,c,a,d,n,m,例1：已知平面由直线AB、AC所确
19、定，试在平面内任作一条直线。,解法一,解法二,根据定理二,根据定理一,有无数解。,76,例2：在平面ABC内作一条水平线，使其到H面的距 离为10mm。,n,m,n,m,唯一解！,77, 平面上取点,78,先找出过此点而又在平面内的一条直线作为辅助线，然后再在该直线上确定点的位置。,例1：已知K点在平面ABC上，求K点的水平投影。,面上取点的方法：,首先面上取线,利用平面的积聚性求解,通过在面内作辅助线求解,79,例题2 已知 ABC给定一平面，试判断点D是否属于该平面。,e,e,80,k,b,例3：已知AC为正平线，补全平行四边形ABCD的水平投影。,解法一,解法二,81,3、平面上的投影面
20、平行线,一般位置平面上存在一般位置直线和投影面平行线，不存在投影面垂直线。,82,83,例题 已知 ABC给定一平面，试过点C作属于该平面的正平线，过点A作属于该平面 的水平线。,m,n,n,m,84,例：在平面ABC上取一点K，使点K在点A之下15mm、在点A之前20mm处。,85,5.2 圆的投影,圆的投影特性：,1、圆平面在所平行投影面上的投影反映实形；,2、圆平面在所垂直的投影面上的投影是直线，其长度等于圆的直径；,3、圆平面在所倾斜的投影面上的投影是椭圆。其长轴是圆的平行于这个投影面的直径的投影；短轴是圆的与上述直径垂直的直径的投影；,86,5.3直线与平面及两平面的相对位置,相对位
21、置包括平行、相交和垂直。,一、平行问题,直线与平面平行,平面与平面平行, 直线与平面平行,87,a,c,b,m,a,b,c,m,例1：过M点作直线MN平行于平面ABC。,有无数解,88,正平线,例2：过M点作直线MN平行于V面和平 面ABC。,c,b,a,m,a,b,c,m,唯一解,89,例题3 试判断直线AB是否平行于定平面,结论：直线AB不平行于定平面,90,两平面平行, 若一平面上的两相交直线对应平行于另一平面上的两相交直线，则这两平面相互平行。, 若两投影面垂直面相互平行，则它们具有积聚性的那组投影必相互平行。,91,例题1 试判断两平面是否平行,结论：两平面平行,92,例题2 已知定
22、平面由平行两直线AB和CD给定。试过点K作一平面平行于已知平面 。,93,二、相交问题, 直线与平面相交,直线与平面相交，其交点是直线与平面的共有点。,要讨论的问题：, 求直线与平面的交点。, 判别两者之间的相互遮挡关系，即判别可见性。,我们只讨论直线与平面中至少有一个处于特殊位置的情况。,94,95,a,b,c,m,n,c,n,b,a,m, 平面为特殊位置,例：求直线MN与平面ABC的交点K并判别可见性。,空间及投影分析,平面ABC是一铅垂面，其水平投影积聚成一条直线，该直线与mn的交点即为K点的水平投影。, 求交点, 判别可见性,由水平投影可知，KN段在平面前，故正面投影上kn为可见。,还
23、可通过重影点判别可见性。,1(2),作 图,96,97,k,m(n),b,m,n,c,b,a,a,c, 直线为特殊位置,空间及投影分析,直线MN为铅垂线，其水平投影积聚成一个点，故交点K的水平投影也积聚在该点上。, 求交点, 判别可见性,点位于平面上，在前；点位于MN上，在后。故k 2为不可见。,1(2),作图,用面上取点法,98, 两平面相交,两平面相交其交线为直线，交线是两平面的共有线，同时交线上的点都是两平面的共有点。,要讨论的问题：, 求两平面的交线,方法：, 确定两平面的两个共有点。, 确定一个共有点及交线的方向。,只讨论两平面中至少有一个处于特殊位置的情况。, 判别两平面之间的相互
24、遮挡关系，即：判别可见性。,99,可通过正面投影直观地进行判别。,a,b,c,d,e,f,c,f,d,b,e,a,m(n),空间及投影分析,平面ABC与DEF都为正垂面，它们的正面投影都积聚成直线。交线必为一条正垂线，只要求得交线上的一个点便可作出交线的投影。, 求交线, 判别可见性,作 图,从正面投影上可看出，在交线左侧，平面ABC在上，其水平投影可见。,能!,如何判别？,例：求两平面的交线MN并判别可见性。,100,101,b,c,f,h,a,e,a,b,c,e,f,h,1(2),空间及投影分析,平面EFH是一水平面，它的正面投影有积聚性。ab与ef的交点m 、 b c与f h的交点n即为
25、两个共有点的正面投影，故mn即MN的正面投影。, 求交线, 判别可见性,点在FH上，点在BC上，点在上，点在下，故fh可见，n2不可见。,作 图,102,c,d,e,f,a,b,a,b,c,d,e,f,投影分析,N点的水平投影n位于def的外面，说明点N位于DEF所确定的平面内，但不位于DEF这个图形内。所以ABC和DEF的交线应为MK。,互交,103,小 结,重点掌握,二、如何在平面上确定直线和点。,三、两平面平行的条件一定是分别位于两平面内的两组相交直线对应平行。,四、直线与平面的交点及平面与平面的交线是两者的共有点或共有线。,解题思路：,空间及投影分析,目的是找出交点或交线的已知投影。,
26、判别可见性,尤其是如何利用重影点判别。,一、平面的投影特性，尤其是特殊位置平面的投影特性。,104,要 点,一、各种位置平面的投影特性, 一般位置平面, 投影面垂直面, 投影面平行面,三个投影为边数相等的类似多边形类似性。,在其垂直的投影面上的投影积聚成直线 积聚性。 另外两个投影类似。,在其平行的投影面上的投影反映实形 实形性。 另外两个投影积聚为直线。,105,二、平面上的点与直线,三、平行问题, 直线与平面平行直线平行于平面内的一条直线。, 两平面平行必须是一个平面上的一对相交直线对应平行 于另一个平面上的一对相交直线。,106,四、相交问题, 求直线与平面的交点的方法, 一般位置直线与
27、特殊位置平面求交点，利用交点的共有性和平面的积聚性直接求解。, 投影面垂直线与一般位置平面求交点，利用交点的共有性和直线的积聚性，采取平面上取点的方法求解。, 求两平面的交线的方法, 两特殊位置平面相交，分析交线的空间位置，有时可找出两平面的一个共有点，根据交线的投影特性画出交线的投影。, 一般位置平面与特殊位置平面相交，可利用特殊位置平面的积聚性找出两平面的两个共 有点，求出交线。,107,特殊位置线面相交,特殊位置线面相交，其交点的投影可利用直线或平面的积聚性投影直接求出。 （l）当直线为一般位置，平面的某个投影具有积聚性时，交点的一个投影为直线与平面积聚性投影的交点，另一个投影可在直线的另一个投影上找到。 （2）当直线的某个投影具有积聚性，平面为一般位置时，交点的一个投影与直线的积聚性投影重合，另一个投影可利用在平面上找点的方法在平面的另一个投影上得到。,108,直线与特殊位置平面相交,由于特殊位置平面的某些投影有积聚性，交点可直接求出。,109,判断直线的可见性,特殊位置线面相交，根据平面的积聚性投影，能直接判别直线的可见性。,110,一般位置平面与特殊位置平面相交,求两平面交线的问题可以看作是求两个共有点的问题,由于特殊位置平面的某些投影有积聚性，交线可直接求出。,111,判断平面的可见性,
