1、第九章 统计量和抽样分布,第一节 统计量 第二节 常用统计量 第三节 抽样分布,第一节 统计量,定义1.1 设(X1,X2,Xn)为总体X的样本, 若样本的函数T=T(X1,X2,Xn)中不含任何未知参数, 则T(X1,X2,Xn)称为统计量, 其中T为连续函数。,若(x1,x2,xn)为样本(X1,X2,Xn)的一次观察值, 则T的取值t=T(x1,x2,xn)称为统计值。,例1.1 设(X1,X2,Xn)是来自正态总体N(,2)的样本，其中已知，未知，则,第二节 常用统计量,一、顺序统计量,定义2.1 设X1, X2,Xn为总体X的样本, 由样本建立n个函数: X(k)=X(k)(X1,
2、X2,Xn)，k=1,2,n 其中X(k)的观察值为x(k), 且x(k)为样本值x1, x2,xn按从小到大的次序排列 x(1) x(2) x(k) x(n) 后的第k个数值, 则称X(1), X(2),X(n)为原样本X1, X2,Xn的顺序统计量, 称X(k)为第k个顺序统计量。,注1 顺序统计量保留了原样本的数据信息, 只去掉了不太重要的得到数据的顺序信息, 若样本值为x1, x2,xn, 则按从小到大顺序排列后得到顺序统计值x(1), x(2),x(n),注2 X(k)意味着在n个数据中, 恰有k个数据不超过它, 即超过它的恰有nk个数据, 因此, 易见 X(1)=minX1, X2
3、,Xn X(n)=maxX1, X2,Xn,例2.1 设X1,X2,X5是容量为5的样本, 今对样本作三次观察, 其值如下表试求三次观察的顺序统计值。,解：将上表中数据从小到大排列，即得顺序统计值。,二、描述样本的中心位置的统计量,例2.2 从某种合金强度总体中抽取容量为5的样本, 其观察值为140, 150, 155, 130, 145, 试求其样本均值。,(1) 样本均值,例2.3 某工厂制作一种线圈, 为控制生产过程保持稳定, 从产品中任取10件, 测定其阻抗X, 所得数据如下:15.3, 13.0, 16.7, 14.2, 14.5, 14.5, 15.9, 15.0, 15.1, 1
4、6.4 试求：(1)样本中位数med的值 (2)若取出的第11件数据为15.2，此时med又为何值？,(2) 样本中位数,解: 将所得数据按从小到大顺序排列为:13.0, 14.2, 14.5, 14.5, 15.0, 15.1, 15.3, 15.9, 16.4, 16.7,反映样本数据分散程度的统计量实际上反映了总体取值的分散程度，其常用统计量有以下几种：,三、描述样本数据分散程度的统计量,(1) 样本极差,(2) 样本方差,(3) 样本标准差,S2与X的量纲不一致，而S与X的量纲一致。,第三节 抽样分布,1、定义,定义3.1 若随机变量X1,X2,Xn相互独立, 且都服从标准正态分布N(
5、0,1), 则称统计量,自由度是指上式右端包含的独立变量的个数。,服从自由度为n的 分布, 记为,(1),例3.1 设(X1,X2,X9)是来自正态总体N(0,22)的样本, 求系数a, b, c, 使,二、t分布,1、定义,定义3.3 设XN(0,1)，Y ，且X与Y相互独立，则称统计量服从自由度为n的t分布，记为Tt(n)。,t(n)分布的密度曲线关于y轴对称，即有f (x)=f (x) 且与标准正态分布N(0,1)密度曲线十分相近，但t(n)分布密度曲线的峰顶要低，两端点较标准正态曲线要高。,2、t(n)的性质,例3.2 设总体XN(0,1), 样本(X1,X2,X5) 来自总体X, 试
6、求系数C, 使统计量,解：因为X1,X2,X5相互独立，且同为标准正态分布，则,定义3.4 对于给定的正数 (01)，称满足条件 Pt(n)t(n)= 的t(n)为t(n)分布的分位数。,3、t(n)分布的分位数,注1：由于t(n)的对称性，故有 t1(n)= t(n),注2：当n45时，由t(n)分布表直接查得t(n)的值 t0.95(15)=1.7531 t0.05(15)= t0.95(15)= 1.7531,三、F分布,1、定义,定义3.5 设随机变量X与Y相互独立, 且X ，Y ，则称统计量 服从自由度为n,m的F分布, 记为FF(n,m)。,注：F分布是不对称分布，其分布曲线向右偏
7、斜，当n,m增大时，F分布近于对称。,2、F分布的性质,F分布的倒数也服从F分布, 即若FF(n,m), 则1/FF(m,n)。,定义3.6 对于给定的正数 (01)，称满足条件 PF(n,m)F(n,m)= 的F(n,m)为F分布的分位数。,3、F分布的分位数,注：由F分布的性质可知利用此式可以计算F分布表中未列出的某些数值。,四、正态总体的抽样分布,定理3.4 设X1,X2,Xn是来自正态总体N(,2)的样本，则有,证: 1 由于X1,X2,Xn与总体X 独立同分布, 故E(Xi)=, D(Xi)=2, i=1,2,n, 则有,2, 3证明略。,例3.3 在总体N(52,6.32)中随机抽取一容量为36的样本，试求样本均值落在50.8到53.8之间的概率。,定理3.2 设X1,X2,Xm和Y1,Y2,Yn分别为来自正态总体N(1,12)和N(2,22)的样本，且它们相互独立，则有,五、渐近分布,定理3.3 设X为任意总体, 其期望为E(X)=, 方差为D(X)=20, X1,X2,Xn为来自总体X的样本, 当n较大时, 近似地有,注：本定理可用中心极限定理证明。,例3.4 若总体X的期望为E(X)=, 方差为D(X)=2,
