1、probability,probability,第七章 抽样调查,总体、样本与统计量,常用统计分布,一、抽样调查的概念1、概念：是按照随机原则，从研究总体中抽取部分单位进行调查，并推断总体数量特征的一种非 全面调查（运用数理统计原理，根据被抽取那部分单位的数量特征来推算总体数量特征）。2、特点： 抽样调查是非全面调查； 一定要遵守随机原则； 利用样本数据推算总体数量特征； 抽样调查必然产生抽样误差。,7.1 抽样调查概述,二、抽样调查的作用1、适用于不能或者很难进行全面调查的场合；主要是无限总体和破坏性试验。2、适用于理论上能进行全面调查，但实际上 没有必要的场合；3、能节约人力、费用和时间，
2、比较灵活；4、可以验证和修正全面调查的正确性和不足；5、可用于工业生产过程的质量控制；6、可用于某种总体的假设检验。,三、抽样调查的几个基本概念,以概率论为理论基础,研究,2) 研究如何合理地分析随机数据从而作出科学的推断 (称为统计推断).,1）研究如何以有效的方式收集和整理随机数据;,总体：研究对象的单位元素所组成的集合.,个体：组成总体的每个单位元素.,例1 要考察本校男生的身体情况，则将本校 的所有男生视为一个总体，而每一位男生就是 一个个体.,（一）总体,总 体 是 随 机 变 量,总体指标：根据总体标志值计算的指标。,（二）样本,从总体中抽取一部分(取 n 个)进行观测，再依据这
3、n个个体的试验(或观察)的结果去推断总体的性质.,样本: 按照一定的规则从总体中抽取的一部分个体.,抽样：抽取样本的过程.,样本容量：样本中个体的数目 n .,抽样指标：根据样本总体标志值计算的指标。,为使样本具有代表性，抽样应满足什么条件,从民意测验看抽样,?,（1）Xi 与总体同分布；,（2） X1 , X2 , , Xn 相互独立.,从民意测验看抽样,1936年，Franklin Delano Rosevelt(罗斯福)与共和党的候选人 - Kansas州州长Alfred Landon(兰登)竞选总统. 绝大多数观测家认为罗斯福会是获胜者，但文学摘要却预测兰登会以 57% : 43% 的
4、优势获胜.,摘要自1916年以来的历届总统选举中都正确地预测出获胜的一方, 但这次罗斯福以 62% : 38% 的压倒优势取胜！ (不久文学摘要就垮了),#,摘要调查的过程是将问卷寄给一千万人， 这些人的名字和地址摘自电话簿或俱乐部会员名册，这筛掉了不属俱乐部或未装电话的穷人.,这在1936年前影响不大, 因为穷人富翁以类 似的思考投票；但1936年经济正在从大萧条中恢复，故穷人选罗斯福，而富翁们选兰登.,抽样方法和规则：1）抽样必须遵循随机原则2）抽样调查必然会产生误差，抽样误差是可以事先计算和控制的。,抽样调查的组织方式（一）简单随机抽样（二）类型抽样（三）机械抽样,（四）整群抽样,（五）
5、多阶段抽样,四、抽样调查的组织方式（一）简单随机抽样（二）类型抽样（三）机械抽样,（四）整群抽样,（五）多阶段抽样,（一）简单随机抽样,1、概念：又称纯随机抽样，是对总体不作任何处理，随机抽取样本单位的方法。 2、种类：（1）直接抽选法（2）抽签法（3）随机数字表法3、特点：简单，最符合随机原则，但误差较大。,（二）类型抽样,1、概念：又称分类抽样，是先对总体各单位按一定标志加以分类，然后再从各类中按随机原则抽取样本单位的方法。2、种类：（1）类型比例抽样（1）不等比例抽样,3、特点：把分组法与随机抽样有机结合，提高了样本的代表性，误差较小。,（三）机械抽样,1、概念：又称等距抽样或系统抽样，
6、是先对总体按一定顺序加以排列，然后按一定的间隔抽取样本单位的方法。2、种类：（1）按排队标志与研究目的是否有关分：按无关标志机械抽样，按有关标志机械抽样（2）按抽样单位抽选的方法不同分为随机起点等距抽样、半距起点等距抽样、对称等距抽样3、特点：简便易行，但容易出现系统误差。,（四）整群抽样,1、概念：是先对总体按某一标志分为若干群或组，然后，以群为抽样单位抽取样本的方法。2、特点：方便节约费用，但误差较大。,（五）多阶段抽样,1、概念：样本不是一次性抽取，而是分两个或两个以上阶段。 2、特点：节约人力和物力；可以以现成的行政区域、组织系统作为划分各阶段的依据。,五、抽样方法,（一）重复抽样特点
7、：N保持不变，各单位中选的机会均等。（二）不重复抽样特点：N逐渐减小，各单位中选的机会逐渐提高。,六、统计量,统计量：样本的不含任何未知参数的函数。,总 体 是 随 机 变 量,统计量 是 随机变量(或向量）,样 本 是 随 机 向 量,样本均值： 样本方差：,常见统计量：,样本 k 阶原点矩： 样本k阶中心矩：,统称样本矩,抽样误差的意义 纯随机抽样抽样平均误差的计算 分类抽样抽样平均误差的计算 机械抽样抽样平均误差的计算 整群抽样抽样平均误差的计算,7.2 抽样误差,一、抽样误差的意义,（一）抽样误差的概念抽样误差是指样本指标与总体指标之间数量上的差 别，用符号表示为：,抽样误差的来源为：
8、,（二）影响抽样平均误差的因素1、总体标志变动度（2或）：与抽样平均误差呈正比关系。2、抽样单位数（n):与抽样平均误差呈反方向变化。3、抽样组织方式。4、抽样方法。（三）抽样平均误差的概念简例以平均数抽样平均误差为例,例有四个工人，各人每月产量分别是40，50，70，80 件，现在随机从其中抽取2人，并求平均加工零件数，用以代 表4人总体的平均产量水平。,为方便说明问题，先计算出4人的月平均产量为：,1、重复抽样：样本配合数=44=16,2、不重复抽样：样本配合数=43=12,很明显，重复抽样平均误差大于不重复抽样平均误差。（四）抽样平均误差的的意义1、可以衡量抽样调查的准确性；2、是抽样推
9、断和估计的基本根据。,重复抽样抽样平均误差计算表,不重复抽样抽样平均误差计算表,二、纯随机抽样平均误差的计算,（一）平均数抽样平均误差的计算1、重复抽样 根据数理统计证明：在纯随机重复抽样条件下，抽样平均 误差与全及总体的标准差成正比，与样本总体单位数的平方根 成反比，利用此关系可得出重复抽样平均数抽样误差的计算公 式为：,1、过去调查所得资料，选多个方差中最大的 2、用样本标准差代替总体标准差：用s代替。 3、用小规模调查资料 4、用估计资料,2、不重复抽样,其中，（1 n/N）是修正系数。（二）成数抽样平均误差的计算假定，某一现象有两种表现，具有一种表现的单位数为N1， 变量值为1，不具有
10、该种表现的单位数为N0，变量值为0，则 平均数、方差分别为：,2、不重复抽样平均误差,1、重复抽样平均误差,三、分类抽样平均误差的计算,关键问题是影响抽样平均误差的主要因素：组内方差，计算抽样平均误差时用平均组内方差。总体：用 表示，样本：用 表示。（一）平均数抽样平均误差的计算1、重复抽样:,2、不重复抽样:,其中，平均组内方差为： 总体平均组内方差：,样本平均组内方差：,例： 假定用分类比例抽样方式，从山区、丘陵、平原三种类型的200亩耕地上抽取10块（每块1亩，亩产量见下表）进行抽样调查，用来推断全部耕地的平均亩产量，求平均亩产量的抽样平均误差。,三、分类抽样平均误差的计算,解：（1）计
11、算各组内方差：,（2）计算平均组内方差：,（3）计算抽样平均误差：,（二）成数抽样平均误差计算,2、不重复抽样:,1、重复抽样:,其中，平均组内方差为： 总体平均组内方差：,样本平均组内方差：,仍用上述资料计算成数的抽样平均误差。 假设亩产450斤以上为高产田，不到450斤的为低产田，计算高产田所占比重的抽样平均误差。,三、分类抽样平均误差的计算,解：（1）计算平均组内方差：,（2）计算抽样平均误差：,三、分类抽样平均误差的计算,四、机械抽样平均误差的计算,机械抽样一般都用不重复抽样。 无关标志排队机械抽样类似于简单随机抽样，计算公式为：,有关标志排队机械抽样类似于分类抽样，计算公式为：,五、
12、整群抽样平均误差的计算,其中：R：总体群数；r：样本群数；总体或样本平均 数群间方差的计算公式为：,关键问题是影响抽样平均误差的主要因素：群间方差，总体：用 表示。 整群抽样一般都用不重复抽样，需要修正系数。（一）平均数抽样平均误差的计算,（二）成数抽样平均误差的计算,其中：R：总体群数；r：样本群数；总体或样本成数 群间方差的计算公式为：,数 理 统 计 的 引 入,某厂生产的一批产品中次品率为 p 。从中抽取10件产品装箱。,1）没有次品的概率,2）平均有几件次品,概率,3）为以 0.95的概率保证箱中有10件正品，箱中至少要装多少件产品。,所有这些问题的关键是 p 是已知的！,如何获取
13、p ?,这就是数理统计的任务了！,一个很自然的想法就是：,首先从这批产品中随机抽取产品进行检验。,怎样随机抽取这属于抽样理论与方法问题。,其次利用概率论的知识处理实测数据。,如何分析、处理实测数据。这属于统计推断的问题。也是我们研究的内容。,统计推断常解决的问题：,1）如何估计次品率 p ?,2）如果以 p 0.01为出厂的标准，这批产品能否出厂？,数 理 统 计 的 引 入,参数估计问题,假设检验问题,#,7.3 常用统计分布,上侧分位数u ( 0 1）满足,标准正态分布分位数,一、四种常用统计分布,对于正态分布有：,上侧分 位数u,阴影部分面积为,查表 如 0.025 时， u？,a分位数
14、例,2. 2 分布,统计量的分布 (之一),定理7.2.1 设 X1，X2，Xn 相互独立且都服从标准正态分布，则,即随机变量 2 服从自由度为 n 的卡方分布.,标准正态随机变量的独立平方和,2分布的三条性质：,性质1. (数字特征) 设 2 2(n) ，则有E( 2 ) = n ， D( 2 ) = 2n,性质2(可加性) 设Y1，Y2相互独立, 且Y12(n1) , Y12(n2)，则 Y1+Y2 2(n1+ n2) .,性质3.(大样本分位数 ) 当n 足够大(如 n 45 )时，有,2(n) 的上侧分位数( 0 1 )：,阴影部分面积为,3.自由度为 n的 t 分布 Tt(n),又称
15、学生氏分布-第一个研究者以Student 作笔名发表文章.,即随机变量 T 服从自由度为 n 的 t 分布.,定理7.2.2 设随机变量X, Y 相互独立, X N(0,1)，Y 2(n)，则,阴影部分面积为,t (n) 的上侧分位数 t (n) ( 0 1 )：,T 分布的特点：,1.关于纵轴对称：,例 查表计算：,t,- t= t1-,因 =PTt=PT-t=1- PT -t,故 PTt=1.,即 t= - t1-,例 查表计算：,2. n 较大时，,4. F 分布 F F ( n1 , n2 ),称X 服从第一自由度为n1,第二自由度为n2的 F分布.,定理7.2.3 设随机变量X，Y
16、相互独立， X 2(n1) ，Y 2(n2)，则,即随机变量 F 服从第一自由度为n1，第二自由度为n2 的F分布.,例 统计量的分布(之二),F ( n1 , n2 )的上侧分位数F ( n1 , n2 ) ( 0 1 )：,阴影部分面积为,推论1,推论2,证,二、抽样分布定理,定理7.2.4,应用例,定理6.2.5,设正态总体 X 与 Y 相互独立，,X , 样本为X1， X2， X n1,样本均值和样本方差为 ；,Y ，样本为Y1， Y2， Y n2，样本均值和样本方差为 .,有,分析,证明: (2),服从正态分布，Sw2可化为2分布, 二者组合而成的统计量应服从 t 分布.,因 ， 相
17、互独立，故U 与 V也相互独立，从而,总体、个体,简单随机样本,统计量,统计量的分布,正态总体的 2个抽样定理,样本均值 样本方差 样本矩（样本相关系数）,2分布 t 分布 F分布,分位数,结构定理,例7.2.1 设随机变量X 服从正态分布N(0,1), 对给定的(01)，数u满足 ，,则 x 等于,u是上侧分位数.,解,阴影部分面积为 (1-)/2,面积为,#,例7.2.2 统计量的分布(之一),解,设 X1, X2 , , Xn 是来自正态总体 的容量为 n 的样本，求下列统计量的概率分布：,#,例7.2.3 查表计算概率,注意 应注意分布表的定义与查法！,#,解,例7.2.4 统计量的分
18、布(之二),设 X1, X2, , Xn +m是来自正态总体 的样本，求下列统计量的概率分布,由 t 分布结构定理，,#,3. 因Zt(m), 根据 t 分布结构定理，有,例7.2.5 设X1 ,X2 ,X9是来自正态总体X的随机样本，令,证明统计量Z 服从自由度为2 的t 分布.,证 记 D(X)=2(未知)，有,由于Y1, Y2相互独立 , 故,从而,由抽样分布定理知,因Y1和Y2相互独立, Y1和S2 相互独立, 而且 Y2和S2 相互独立，故Y1Y2 和S2 相互独立.,根据t 分布结构定理知,服从自由度为2 的 t 分布.,#,证明,且 X1，X2，,Xn相互独立，XiN(0,1)，,证 因,也相互独立同分布，,根据独立同分布中心极限定理有,近似成立，故,#,
