1、逻辑公理系统,马殿富 北航计算机学院 2010-12,主要内容,逻辑公理系统 命题逻辑公理系统 谓词逻辑公理系统 定理证明 公理系统性质 理论与模型 判定问题,形式系统,一个形式系统应当包括以下几部分。 (1)各种初始符号。初始符号是一个形式系统的“字母”，经解释后其中一部分是初始概念。 (2)形成规则。规定初始符号组成各种合适符号序列的规则。经解释后合式符号序列是一子句，称为系统里的合式公式或命题。 (3)公理。把某些所要肯定的公式选出，作为推导其它所要肯定的公式的出发点，这些作为出发点的公式称为公理。 (4)变形规则。变形规则规定如何从公理和已经推导出的一个或几个公式经过符号变换而推导出
2、另一公式。经过解释，变形规则就是推理规则。 应用变形规则进行推导可以得到一系列公式，这些公式经过解释是系统的定理。 形式系统完全由一套表意符号建立，它能克服日常语言的歧义性，使概念、判断、推理精确化。,逻辑公理系统,公理系统 从一些公理出发，根据演绎法，推导出一系列定理，形成的演绎体系叫作公理系统。 公理系统的组成： 符号集； 公式集 公式是用于表达命题的符号串； 公理集 公理是用于表达推理由之出发的初始肯定命题； 推理规则集 推理规则是由公理及已证定理得出新定理的规则； 定理集 表达了肯定的所有命题。,主要内容,逻辑公理系统 命题逻辑公理系统 谓词逻辑公理系统 定理证明 公理系统性质 理论与
3、模型 判定问题 总结,命题逻辑公理系统,定义：命题逻辑的公理系统定义: (1).符号集合： 1).命题变元Q1,Q2,Qn 2).联结词符号：，; 3).括号：(,) (2).形成规则(公式定义)： 1).若Q是命题变元，则Q是公式； 2).若Q是公式，则(Q)是公式； 3).若Q,R是公式，则(QR)是公式。,命题逻辑公理系统(续),(3).公理：公理模式中P,Q,R为任意公式 1).公理模式A1： R (QR) 2).公理模式A2： (P (QR) (PQ) (PR) 3).公理模式A3： (QR) (RQ) (4).变形规则：推理规则(分离规则MP规则) 若Q和QR成立，则R成立。其中，
4、 Q和QR称为前提，R称为结论。,缩写定义,谓词公理系统中仅使用了和联结词符号，而其他联结词符号,可以认为是缩写公式，用表示缩写定义。 (1).QR(QR) (2).QR (QR) (3).QR(QR) (RQ) (4).QR (QR),推理序列,已知Q成立， 证明RQ成立 A1= Q (RQ) A1 A2= Q Q A3= RQ推理序列 =Q，公式集前提 A1、A2、A3 推理序列 A3 结论,演绎与推理序列,定义3.2 设是合式公式集, Q是合式公式，有推理步骤A1,A2,An，公式序列1, 2, n ，其中 A1=1 A2=2 . An=n (n =Q) 每个k满足以下条件之一， (1)
5、 是公理； (2) k； (3) 有i,jk k= i j由i, j用MP规则推出。 则称它为Q的从的一个推演(演绎),记为 Q。,称为推演的前提集，称为结论推理序列 如果推理步骤序列是A1,A2,An，则推理序列长度n。 推论： 如果Q是公理或 Q ，则 Q,证明与定理,如果存在从推演出Q，则记为Q 。 Q1,Q2,QnQ简记为 Q1,Q2,Qn Q 如果为空集 ，则记为Q。 如果Q，并且有推理步骤A1,A2,An，则A1,A2,An称为的一个证明。 如果Q ，则Q称为定理。,P, Q(PR)QR A1= P A1 A2=P (QP) A1 A3=QP A2 = A1 A3 A4= Q(PR
6、) A4 A5= (Q(PR)(QP)(QR) A2 A6= (QP)(QR) A5 = A4A6 A7= (QR) A6 = A3A7,例：(QR) (QQ) A1=Q (RQ) A1 A2= (Q (RQ) (QR) (QQ) A2 A3= (QR) (QQ) A2=A1A3, Q(Q R)(涵义) A1= Q(RQ) A1 A2= (RQ) (QR) A3 A3= Q(QR) A1， A2 A3,演绎定理,Q R 当且 仅当 QR 归纳基础：用关于Q到R的推演长度n作归纳证明。 当n=1时，R或为公理，或属于 ，或R是Q。 若R是公理，则 A1=R A2= R(QR) A3= (QR)
7、所以 QR，从而 QR 若 R，则 A1=R A2= R(QR) A3= (QR) 有 QR,若R=Q，则 Q Q 所以 QQ,演绎定理(2),归纳假设：假设Q到R的推演长度小于n定理成立。 归纳证明：当Q到R的推演长度等于n时，有,Q R A1=Q1 A2=Q2 Ai= PR Aj=P An=R,从的推演 A1=D1 Am= QP Ak= Q (PR)Ak+1= Q (PR) (QP) (Q R) Ak+2= (QP)(Q R) Ak+3= (Q R),因为i,jn,有所以 Q P QPQ PR Q (PR),演绎定理(3), 到QR 的推演 由 QR可知，有推理序列A1, A2, Am，
8、使得Am= QR 。 证明有Q R 。因为 有推理序列A1, A2, Am，其中 Am= QR Am+1= Q Am+2= R,P,QP Q P,Q, (P Q)Q， P,Q, (P Q) Q A1= P A1 A2= Q A2 A3= (P Q) A3 A4= (P Q) (P Q) Q Q A5= P Q A4=A3 A5 A6= Q A5=A1 A6 所以有P,Q (P Q)，即P,Q P Q, (PQ) (PR) (PQ R) 演绎定理：(PQ) (PR) ，P Q R A1= ( PQ) (PR) A1 A2= P A2 A3= ( PQ) (PR) ( PQ) Q R Q A4=
9、PQ A3=A1 A4 A5= Q A4=A2 A5 A6= ( PQ) (PR) ( PR) Q R R A7= PR A6=A1 A7 A9= R A7=A2 A8 A10= Q R Q,R Q R,反证律,如果, Q R, , Q R,则 Q A1= Q R Q R QR A2= Q R Q R QR A3= ( QR)(R Q ) A 3 A4= RQ A3=A2 A4 A5= QQ A1 , A4A5 A6= (Q Q)Q (Q Q)Q A7= Q A6=A5 A7,归谬律,如果, Q R, , Q R，则 Q A1= Q R Q R QR A2= Q R Q R QR A3= (Q
10、R) ( RQ) (QR) ( RQ) A4= RQ A3=A1 A4 A5= Q Q A2 , A4A5 A6= QQ QQ A7= Q Q A6 , A5A7 A8= ( QQ)Q (Q Q)Q A9= Q A8=A7 A9,定理：若R，则QR。 A1=C1 Ak-1=Ck-1 Ak=R R Ak+1= R (QR) A1 Ak+2= QR Ak+1=Ak Ak+2 QR,定理：若 PQ ， P (QR) ，则 PR。 A1=D1 Am-1=Dm-1 Am= PQ PQ Am+1=Dm+1 Am+n-1=Dm+n-1 Am+n= P (QR) P (QR) Am+n+1=(P(QR) )
11、(PQ) (PR) A2 Am+n+2=(PQ) (PR) Am+n+1=Am+nAm+n+2 Am+n+3=PR Am+n+2=AmAm+n+3,主要内容,逻辑公理系统 命题逻辑公理系统 谓词逻辑公理系统 定理证明 公理系统性质 理论与模型 判定问题 总结,谓词逻辑公理系统,谓词逻辑的公理系统定义： (1).符号集合： 1).个体变元：x1, x2, 2).个体常元：c1, c2 , 3).函词符号：f11, f21,；f12, f22,； 4).谓词符号：Q11,Q21,；Q12, Q22,; 5).运算符号：, , ； 6).逗 号：, ; 7).括 号：(, ),谓词逻辑公理系统（续）
12、,(2).项定义： 1).个体常元是项； 2).个体变元是项； 3).若是t1,tn项，则是fkn (t1,tn)项。 (3).公式集合： 1).若是t1,tn项，则Q kn (t1,tn)是公式。 2).若Q是公式，则(Q)是公式； 3).若Q和R是公式，则(QR)是公式； 4).若Q是公式，则(xQ)是公式。,谓词逻辑公理系统（续）,(4).公理集合： 1).公理模式A 1：Q (RQ) 2).公理模式A 2：(P (QR) (PQ) (PR) 3).公理模式A 3：(QR) (RQ) 4).公理模式A 4：xQ(x)Q(x)x/t 其中，项t对于Q中的x是可代入的。 5).公理模式A 5
13、：x(QR(x) (QxR(x) 其中x不是Q中自由变元。 (5).推理规则 1).分离规则（简称MP规则）：从Q和QR推出R。 2).概括规则（简称UG规则）：从Q(x)推出(xQ)。,缩写定义,谓词公理系统中仅使用了和联结词符号，而其他联结词符号,可以认为是缩写公式，用表示缩写定义。 (1).QR(QR) (2).QR (QR) (3).QR(QR) (RQ) (4).QR (QR) 谓词公理系统中仅使用了量词，而量词可以认为是缩写公式，用表示缩写定义。 xQ(x) Q(x),公理系统,弗雷格公理系统 Q(RQ) (P(QR) (PQ) (PR) (P(QR) (Q(PR) (QR) (R
14、Q) QQ QQ a=b (F(a) F(b) a=a xF(x) f(a) 卢卡西维茨公理系统 Q(RQ) (P(QR) (PQ) (PR) (QR) (R Q),罗素公理系统 AA A AAB ABBA (AB)(ACBC),演绎与证明,定义 设是合式公式集, Q是合式公式，有推理步骤A1,A2,An，公式序列1, 2, n ，其中 A1=1 A2=2 . An=n (n =Q) 每个k满足以下条件之一， (1) 是公理； (2) k； (3) 有i,jk k= i j由i, j用MP规则推出。 (4) 有ij使Aj=xAi由用UG规则推出 则称它为Q的从的一个推演(演绎),记为 Q。,称
15、为推演的前提集，称为结论 序列A1,A2,An，称为从演绎出n的一个证明。 n也称由可证明n。 推理序列 如果推理步骤序列是A1,A2,An，则推理序列长度n。 推论： 如果Q是公理或 Q ，则 Q,定理,从系统的公理出发，根据系统允许的变形规则推得的合式公式称为可证公式，或称系统里的定理。 定义：如果Q，则Q称为定理。,设是前提，=Q1,.,Qn， Q是结论，并且Q。 一般讲， 是事实知识或归纳知识。 由于证明是逻辑的，公理是逻辑真，推导规则是逻辑真，但是，前提不是逻辑真。 如果实践检验Q不为真，则 一定有不为真语句。,x(P(x)P(x) A1= P(x) P(x) QQ A2= P(x)
16、P(x) QR(QR) A3= x(P(x)P(x) UG, xP(x) xP(x) A1= xP(x) P(y) A 4 A2=(xP(x) P(y) (P(y) xP(x) ) (Q R)(R Q) A3= P(y) xP(x) A1, A2 A3 A4= P(y) P(y) QQ A5= P(y) xP(x) A4, A3 A5 A6= xP(x) P(y) A 4 A7= xP(x) xP(x) A6, A5 A7 A8= xP(x) xP(x) xQ(x) Q(x),演绎定理,A B 当且仅当 AB因为A(x)xA(x)不是有效公式，A 可证， xA可证？,变元 约束变元 自由变元
17、出现 约束出现 自由出现,演绎定理,A B，且A为闭公式， 当且仅当 AB 归纳基础：用关于A到B的推演长度n作归纳证明。 当n=1时，B或为公理，或属于 ，或B是A。 若B是公理，则 A1=B A2= B(AB) A3= (AB) 所以 AB，从而 AB 若 B，则 若B=A，则 A A A1=B 所以 AA A2= B(AB) A3= (AB) 有 AB,演绎定理(2),归纳假设：假设A到B的推演长度小于n定理成立。 归纳证明：当A到B的推演长度等于n时，并且B由分离规则推出有,A B A1=B1 A2=B2 An=BAi= R Aj= R B,从的推演 A1=D1 Am= AR Ak=
18、A (RB)Ak+1=(A (R B) (A R) (A B) Ak+2=(A R) (A B) Ak+3=A B,因为i,jn,所以 A R ARA RB A (RB),演绎定理(3),归纳证明：当A到B的推演长度等于n时，并且B由综合规则推出，所以,从的推演 A1=B1Am= A R Am+1=x(A R ) Am+2= A xRA为闭公式,A B A1=B1 A2=B2 An-1= R An= xR An=B,因为A R推演长度等于n-1，所以 AR,演绎定理(4), 到AB 的推演 由 AB可知，有推理序列A1, A2, Am，使得Am= AB 。 证明有A B 。因为 有推理序列A1
19、, A2, Am，其中 Am= AB Am+1= A Am+2= B,x(P(x) Q(x) (xP(x) xQ(x) x(P(x) Q(x) xP(x) xQ(x) A1= x(P(x) Q(x) A2= x(P(x) Q(x) P(x) Q(x) A3= P(x) Q(x) A4= P(x) Q(x) P(x) A5= P(x) A6= xP(x) A7= P(x) Q(x) Q(x) A8= Q(x) A9= xQ(x) A10= xP(x) xQ(x),自由出现变元问题, x(P(x,y)Q(x,y)(xP(x,y)xQ(x,y) )？ x(P(x,b)Q(x,b)(xP(x, b)x
20、Q(x, b) ),定理 设c1, cm是在语句集中不出现的不同常元， y1, , ym是在公式Q(c1, cm)中不出现的不同变元，用y1, , ym分别同时代替Q(c1, cm)中的c1, , cm得到Q(y1, ym) 。若 Q(c1, cm)，则 Q(y1, ym) 。,证明步骤A1An： (1)使用公理模式对应; (2)使用Ak对应; (3) 使用MP规则对应； (4)使用UG规则对应。,证明： Q(c1, cm) A1=Q1 (c1, cm) An=Qn (c1, cm) An=Q (c1, cm),z1, , zn是在中不出现的不同变元，并且z1, zny1, yn=。 A1=Q
21、1 (z1, zm) An=Qn (z1, zm) An=Q (z1, zm) An+1= z1 znQ (z1, zm) An+2= z1 znQ (z1, zm)Q (y1, ym) An+3=Q (y1, ym), x(P(x,y)Q(x,y)(xP(x,y)xQ(x,y) ) x(P(x,c)Q(x,c)(xP(x,c)xQ(x,c) )x(P(x,c)Q(x,c), xP(x,c) xQ(x,c) A1= x(P(x,c)Q(x,c) A2= P(x,c)Q(x,c) A3= xP(x,c) A4= P(x,c) A5= Q(x,c) A6= xQ(x,c),若 A(x)B(x)，则
22、 xA(x) x B(x) A1=C1 Am= A(x)B(x) Am+1= x A(x)A(x) Am+2=xA(x)B(x) Am+3=x(xA(x)B(x) Am+4=x(xA(x)B(x)(xA(x)xB(x) Am+5=xA(x)x B(x),问题是什么? X是自由出现,主要内容,逻辑公理系统 命题逻辑公理系统 谓词逻辑公理系统 定理证明 公理系统性质 理论与模型 判定问题 总结,重要定律,三段论：Q, QR R 传递律：PQ,QRPR 反证律：如果, Q R, , QR,则 Q 归谬律：如果, Q R, , Q R，则 Q,重要定理, (P(QR) (Q(PR) (Q R)(PQ)
23、(PR) (P Q)(QR)(PR) (P Q)(PR)(P(Q R) QQ QQ QQ QQ Q (QQ) (QQ), (QR)(QR) (QR)(QR) (QR)(RQ) (QR)(RQ) (Q R )(RQ) Q(Q R) (QQ)(RQ) (QQ)Q (QR) (RQ) (Q R)(Q R),重要定理,Q(QR) R) Q(QR)R (PQ) (Q R) (P R) (QR) (QR) Q) (QR) (QR) Q) (QR R) Q (PQ R) (P (Q R) Q(R(QR) (PQ) (PR) (PQ R) (PR) (QR) (PQ) R),三段论,Q, QR R A1= Q
24、R A1 A2= Q A2 A3= R A1=A2 A3,传递律,PQ,QRPR A1=(QR) (P (QR) A1 A2=QR A2 A3=P (QR) A1=A2 A3 A4=(P (QR) (PQ) (PR) A2 A5=(PQ) (PR) A4=A3 A5 A6=(PQ) A6 A7=(PR) A5=A6A7, (P(QR)(Q(PR) A1=(P (Q R) ( P Q)(P R) A 2 A2= ( P Q)(P R)(Q( P Q)(P R) ) A 1 A3=(Q( P Q)(P R) ( Q( P Q) (Q(P R) A 2 A4= (P (Q R) ( Q( P Q)
25、(Q(P R) A1, A2, A3 A4 A5=(P (Q R) ( Q( P Q) (Q(P R)( (P (Q R) ( Q( P Q) (P (Q R) (Q (P R) A 2 A6=(P (Q R)(Q(PQ)(P(Q R)(Q(PR) A5=A4 A6 A7= Q(PQ) A 1 A8= (Q( P Q) ( (P (Q R) ( Q( P Q) A 1 A9= (P (Q R) ( Q( P Q) A8=A7 A9 A10=(P (Q R) (Q (P R) A6=A9 A10,(Q R)(P Q) (PR) A1= (Q R) (P (Q R) A1 A2= (P(Q R)
26、(P Q) (P R) A2 A3= (Q R)(P Q)(P R) A1, A2 A3,(PQ)(QR)(PR)A1=(Q R) (P Q) (P R) (Q R)(P Q) (PR) A2=(Q R) (P Q) (P R) (P Q)(Q R) (P R) (P(QR) (Q(PR) A3=(P Q)(QR)(PR) A2=A1 A3,P(Q R),QP R A1= P(Q R) A1 A2=(P(Q R) (PQ ) (PR ) A2 A3= (PQ ) (PR ) A2=A1 A3 A4=Q (P Q) A1 A5=Q A5 A6= PQ A4=A5 A6 A7=P R A3=A6
27、A7,(P Q)(PR)(P(Q R) A1= (P Q)(PR) (Q (P Q)(PR) A1 A2= (Q (P Q)(PR) (Q (P Q) (Q (PR) A2 A3= Q (P Q) A1 A4= (Q (P Q)(PR) (Q (PR) P(Q R),QP R A5= (P Q)(PR) (Q (PR) A1, A4 A5 A6= (Q (PR) (P (QR) (P (QR) (Q (PR) A7= (P Q)(PR) (P (QR) A5, A6 A7,QQ A1=(Q (QQ)Q)(Q(QQ)(QQ) A2 A2=Q (QQ) Q) A1 A3=(Q (QQ) (QQ)
28、A1=A2A3 A4=Q (QQ) A1 A5=QQ A3=A4A5,QQ A1=Q (QQ) A1 A2= (QQ) (QQ) A3 A3=(QQ) (QQ) A3 A4= Q (QQ) A1, A2, A3 A4 A5=(Q (QQ) (Q Q) (Q Q) A2 A6=(Q Q) (Q Q) A5=A4 A6 A7=(Q Q) Q Q A8=Q Q A6=A7 A8, Q Q A1= (Q Q)(QQ) A3 A2= (Q Q) QQ A3= (QQ) (QQ ) A3 A4= QQ A3=A2 A4, (QR)(QR) A1= (QR) (RQ) A3 A2= (RQ) (QR) A3
29、, (QR)(QR) A1= RR QQ A2=(RR)(Q(RR) A 1 A3=Q(RR) A2=A1 A3 A4=(Q(RR)(QR)(QR) A 2 A5= (QR)(QR) A4=A3 A5 A6= Q Q QQ A7=(Q Q)(QR)(Q R) (P Q)(Q R)(P R) A8=(QR)(Q R) A7=A6 A8 A9=(QR)(QR) A8, A5A9,(QR) (R Q) A1= (QR)(QR) (QR)(QR) A2= (Q R) (R Q) A3 A3= (QR) (R Q) A2=A1 A3,( Q R )(RQ) A1= (QR)(RQ) (QR) (R Q)
30、 A2= QQ QQ A3= (Q Q)(RQ)(RQ)(Q R)(P Q) (PR) A4= (RQ)(RQ) A3=A2 A4 A5= (QR) (RQ) A1, A4 A5,(Q R )(RQ) A1= (Q R )(RQ) A3 A2= (Q Q) (Q R ) (QR )(PQ)(QR)(PR) A3= (Q Q) (Q Q) A4= (Q R ) (QR ) A2=A3 A4 A5= (Q R ) (RQ) A4, A1 A5,(QQ)(RQ) A1= Q(RQ) A1 A2=(RQ)(QR) A3 A3=Q (QR) A1, A2A3 A4=(Q(QR) (QQ)(QR) A2
31、A5=( Q Q) (Q R) A4=A3 A5 A6= (Q R) (RQ) A 3 A7=(QQ)(RQ) A5, A6A7,(QQ)Q A1=(QQ)(QQ)Q) (QQ)(RQ) A2=(QQ)(QQ)Q)(QQ)(QQ) (QQ)Q) A2 A3=(QQ)(QQ)(QQ)Q) A2=A1 A3 A4= (QQ) (QQ) A 1 A5=(QQ)Q A3=A4 A5, QQ Q A1= QQ (QQ) QQ (QR) A2= (QQ) Q (QQ)Q A3= QQ Q A1, A2A3,(QQ) A1=QQ QQ A2=(Q Q) (Q Q) QQ A3= (Q Q) A2=A1 A3 A4= (QQ) QR (Q R),(QQ) A1= Q Q QQ A2= (QQ) QR Q R, Q(Q R) A1= Q(R Q) A1 A2= (R Q) (Q R) A3 A3= Q(Q R) A1, A2 A3,
