1、,In our classes,all the mobile phones should be switched off !,上课啦！,The class is begin!,二、群中元素的阶,前面已介绍了群的阶：|G|=G中所含元素的个数。下面利用单位元e，引入另一个新概念。 1阶的定义与计算 （1）定义 设G为群，而aG. 如果有整数k，使ak=e，那么使这个等式成立的最小正整数m叫做G的阶，记为|a|=m.如果这样的m不存在，则称a的阶是无限的，记为|a|=+。,（2）阶的计算方法 按照定义寻找使成立的最小正整数。 例1 乘法群Z5*= 1, 2, 3, 4中，1是单位元，显然|1|=1
2、，而212=28=24=1，|2|=4,同理知|3|=4,|4|=2。 例2 加法群= 0, 1, 2, 3, 4中，0是单位元，例3 加法群中，0是单位元。|0|=1，而其它元素a,|a|=+。 例4 乘法群中，1是单位元，|1|=1,|-1|=2，而其它元素的阶都是无限。,说明 加法群中，元素的阶的定义自然需做相应的变化：设aG ，能够使ma=0的最小正整数m叫做a的阶，若这样的m不存在，则称a的阶是无限的，a的阶仍记为|a|。 例5 设G=0, 1, 2是由x3=1的三个复根组成的集合，而G中的代数运算“”是通常的乘法，那么必为一个乘法群。习惯上记为G3，叫做3次单位根群。这里,证 事实
3、上 （1） （2）结合律显然成立（因为复数集C中满足结合律）. （3）0=1是G中的单位元. （4）0的逆元是0，1与2互为逆元. 所以为一个乘法群。不仅如此，我们还知：例6 在非零有理数乘群Q*中，1的阶是1，-l的阶是2，其余元素的阶均无限 例7 在4次单位根群G=1, -1, i, -i中,1的阶是l，-l的阶是2，i与-i的阶都是4,2群中元素的阶的性质,性质1 设G是群，那么aG，若存在mZ+，使a m=e |a| m（可知a的阶是有限的）。 证明 由于a m=e ，这本身说明|a| m，则与元素的阶的定义矛盾，故知k m 。 性质2 设aG, 且若存在mZ+使a m=e |a|=n
4、 +, 且n|m(但不能保证n=m)。 证明 由整数的带余除法知,g,rZ使m=ng+r, r=0或者0rn. 如果r0,那么e=a m=ang+r=angar=(an)gar=(e)gar=ar矛盾（rn）； r=0m=ngn|m.,性质3 设aG且|a|=n,那么n|m a m=e. 证明 “”正是性质2. “” 性质4 设群G中元素a的阶是m,则|ak|=m/(m,k),其中k为任意整数 证明 首先，设(k,m)=d，且m=dm1,k=dk1,(m1,k1)=1, 则由于|a|=m,就有,即 其次,设(ak)n=e,则akn=e.于是由性质1,m|kn，从而m1|k1n, 但(m1,k1
5、)=1,故m1|n,因此, ak的阶是m1,所以|ak|= m1=m/(k,m).,说明 若有m,n的约数h,使m,n=hk，则可得|ck|=h，于是结论（3）又可以改为：对m,n的任一正因数h,G中有阶是h的元素。 性质9 群的元素和它的逆元有相同的阶.证明 设群G的元素a与a-1的阶分别为m,n， 由于a m=e，于是 (a-1)m= (am)-1 =e-1=e， 由性质l，n|m，而 an=(a-1)-1n= (a-1) n-1 =e-1=e， 于是m|n，因此，m=n。,性质10 设群G中元素a的阶是m，b的阶是n,则当ab=ba且(m,n)=1时,|ab|=m。 证明 首先，由于|a
6、|=m,|b|=n,ab=ba,则(ab)mn=(am)n(bn)m=e;其次,若有正整数s使得(ab)s=e,则 (ab) sm=(am)sbsm=bsm=e,但|b|=n,则n|sm.又因为(m,n)=1,所以n|s.同理可得m|s,再根据(m,n)=1,故mn|s,从而|ab|=mn. 说明 值得注意的是:当元素a与b不满足定理中的假设条件时,其乘积的阶会出现各种各样的情况,将无法根据a,b的阶来作出判断。,第十一讲 循环群、子群,课时安排 约2课时 教学内容 1循环群的思想，理想在循环群结构中的主要的结果（i）数量总数，(ii)构造问题，（iii）循环群的生成元； 2子群包括的三层意思
7、、子群的判定方法和构造群的子群的方法； 3循环群的阶与生成元的阶的关系； 4两类循环群的本质区别及各自的同构象； 5循环群中元素之间的联系和性质； 6子群的构成判断和彼此等价的判断条件； 7有限群的判断定理； 8子群（集）的乘积和生成子群的概念； 9循环群的子群所具有的特性。,教学重点 1G=的定义，利用G=(a)的定义，证明有关的定理和命题； 2子群定义，利用子群定义证明有关的问题，群的一个非空集组成子群的充要条件； 3循环群的结构定理、循环群的子群的性质；子群之积的性质。 教学难点 1 G=(a)的构选问题，利用G=(a)的定义证明若a为无限阶的，则（a）Z,+；若a的阶为n，则（a）Zn
8、，+； 2作成子群的充分必要条件的证明过程，子群的判定方法； 3循环群的生成元个数（谁有资格作为生成元）和循环群的子群的性质和子群的生成元问题。 4循环群的子群的性质；子群之积的性质。,教学要求 1理解循环群的思想，理想在循环群结构中的主要的结果（i）数量总数，(ii)构造问题，（iii）循环群的生成元； 2理解子群包括三层意思，理解子群的判定方法和构造群的子群的方法； 3掌握循环群的阶与生成元的阶的关系； 4掌握两类循环群的本质区别及各自的同构象； 5掌握循环群中元素之间的联系和性质。 6掌握有限群的判断定理； 7理解子群（集）的乘积和生成子群的概念； 8掌握循环群的子群所具有的特性。 教学
9、手段与方法 1手段：黑板板书与多媒体演示相结合； 2方法：讲授为主，互动为辅，两者相结合。,一、循环群,研究一个对象可粗略地分为两种方法：一种方法是研究此对象的内部关系，另一种是把此对象放在其它对象的相互联系中去研究。当我们对一个群“孤立地”去研究时，掌握这个群的一个好的生成元（生成元集）常是非常有帮助的，循环群就是由一个生成元生成的一种特殊的群。循环群是所有群中最简单的一种群。它的结构到目前为止是可以完全刻划清楚的。 本讲中，我们要了解这类群的特点，从本质上领会“循环群已经完全弄清楚了”的含义。先看下面的例子.,例1 整数加群中，每个元素都是的倍数（因为此群是加法运算，所以用“倍数”这个词）
10、。事实上，是的零倍： ；正数是的的倍：，负数是的倍:。,上述两例都表明了同一个问题：群中有一个特殊的元素，使群中每个元素都是这个特殊元素的倍数。（因为是加法群，所以用倍数 . 如果是乘法群，则应是方幂）。于是，下面有了循环群的定义（下面通常用乘法群为例）。 1循环群的概念 设是一个(乘法)群,而中有一个元素，使中每个元素都的乘方 . 即. 那么称为循环群 .叫做的生成元，习惯上记为. 也就是说，是由生成元生成的。,我们仔细观察下面两对群，它们元素之间存在着对应关系：,定理2 设是由生成元生成的循环群。如果，那么. 如果，那么。 证明 (1)当时，作.由上述的对应关系易知,是双射.而（2）当时，
11、作,，由上述对应关系也易知,是双射 . 而且. 即. 注意 用代数同构观点，循环群只有两个：一个是整数加群；一个是模的剩余类加群。,3循环群的生成元,（1）无限循环群的生成元 当时，自然是的生成元，但除了外,其实也是的生成元。即无限循环群中只有两个不同的生成元和。 证明 因为,思考1 除和之外， 还有其它生成元吗？ 解 没有。否则， 如果也是一个生成元，于是必有 . 思考2 求整数加群Z的所有生成元 和元素的阶。 解 有且仅有两个元1和-1可以作为整数加群Z的生成元,且在Z中除零元外,每个元的阶都是无限的。,（2）有限循环群的生成元,当时，有是的生成元。 证明 若是的生成元，则，而，所以；反之
12、，若，而，即有，但由知，不同的恰有n个，所以。,思考3 当. 除了自然是的生成元之外，还有其余生成元吗？ 解 为了讨论的方便，现假设.这时， ， 可以验证也是的生成元:. 这说明也能生成，即:. 最后可断言：上例中的生成元只有和。 那么为什么说，只有和是阶循环群的生成元呢？因为，同时例中也验证了. 这就是说，中也含有个元素 . 与的一样多 也是生成元，而其他元素的阶都不是，所以它们都不能成为生成元。,（3）寻找循环群的其他生成元的方法 上思考题告诫我们，寻找循环群的其他生成元的关键问题是要确定其阶数。 于是元素的阶数问题自然很重要了. （4）循环群的一个性质 循环群一定是交换群。,4循环群中元
13、素的阶的性质,对于无限循环群，我们自然清楚其中每个元素的阶都必是无限的（否则，便成为有限循环群了）。 下面主要讨论阶循环群 中的元素的阶的问题。 性质1 设是阶循环群中任一个元，若. 那么。 证明 因为是与的最大公因数。并且有这里并且知(互质)。,首先, . 若设 其次，这说明，但 . 由和知,. 即. 由性质1知，若时，这时就是的生成元，所以有,由性质1知，若时，这时就是的生成元，所以有 性质2 在阶循环群中，是生成元。 证明 设. “ ”，若是生成元.但由性质1. “”也是生成元。,2 循环群的结构定理 定理1 设是一个群，而是的生成元，那么的阶与的阶一致，即。 证明 事实上， （1）当的
14、阶是无限时，这说明任一个整数(除了)都不会有. 于是我们有，当时， ， 设，而恰有。不妨设. 那么，这说明 与矛盾。所以只要。,所以只要。 (2) 当的阶是有限时，乘方“”就不可能无限“泛滥”，由钟表记算法知，“”就只能限制在一定范围内，我们有，当时， ， 其中：.首先,若时,。 若而,这与矛盾.由此知道:是两两不等的.,其次,都是中某个元素:事实上,如果,自然在之中；如果由帯余除法知. 于是 . 在之中。 如果，由帯余除法同理在之中 。,例3 设阶循环群，求中的每个元素的阶和的全部生成元。 解 因为 ， 的全部生成元有二个：和. 说明 定义在自然数集上的函数叫做欧拉函数。其中表示不超过且与互
15、素的自然数个数。例如：,性质3（生成元个数定理） 任一个阶循环群都有个生成元。 证明 由性质2知，在阶循环群中，是生成元，于是有这样一个存在，就有一个生成元，再由的定义知，阶循环群共有个生成元。,5循环群的元素的性质,性质1 设是循环群，那么 （1）若，则 ； （2）若，则； 证明 （1）“”显然成立；“”如果，不妨设，由， 因与矛盾. 。 （2）由元素的阶的性质知 。,性质2 设是阶循环群，那么 （1）若为素数，则中每个非单位元都是的生成元。 （2）若为合数，只要，则中必有阶元。 证明 由元素的阶的性质和性质 1直接可得。 性质3 在模的剩余类中,有 (1) ; (2) 是的生成元()=1。,证明 (1) 由k=k1和元素的阶的性质可得； (2) 若且()=1，则。再由(1)与()=1知,所以,. 反之,设是的生成元,有所以,，由(1)知()=1。 此定理说明 时,。,
