1、1 6.直线、圆、圆锥曲线 要点重温 1直线的倾斜角与斜率 (1)倾斜角的范围为0，) (2)经过两点P 1 (x 1 ，y 1 )、P 2 (x 2 ，y 2 )的直线的倾斜角为(90)，则斜率为 ktan (x 1 x 2 )； y1y2 x1x2 (3)解决直线的倾斜角与斜率的问题，可借助ktan 的图象(如图22) 图22 应用1 已知直线l过P(1,2)，且与以A(2，3)，B(3,0)为端点的线段相 交，求直线l的斜率的取值范围. 【导学号：07804189】 答案 5，) ( ， 1 2 2直线方程的几种形式：点斜式：yy 0 k(xx 0 )；斜截式：ykxb；两点式： ；截距
2、式： 1(a0，b0)；一般式： yy1 y2y1 xx1 x2x1 x a y b AxByC0(A 2 B 2 0)要注意由于“截距为零”或“斜率不存在”等特殊情况造 成丢解 应用2 若直线在x轴上的截距是在y轴上截距的2倍，且过点(1,2)，则此直线 方程为_ 答案 x2y50或y2x 3两直线的平行与垂直 (1)l 1 ：yk 1 xb 1 ，l 2 ：yk 2 xb 2 (两直线斜率存在，且不重合)，则有 l 1 l 2 k 1 k 2 ；l 1 l 2 k 1 k 2 1. (2)l 1 ：A 1 xB 1 yC 1 0，l 2 ：A 2 xB 2 yC 2 0，则有l 1 l 2
3、 A 1 B 2 A 2 B 1 0且 B 1 C 2 B 2 C 1 0；l 1 l 2 A 1 A 2 B 1 B 2 0. 特别提醒： ， ， 仅是两直线平行、相交、重合的充分 A1 A2 B1 B2 C1 C2 A1 A2 B1 B2 A1 A2 B1 B2 C1 C2 不必要条件 应用3 设直线l 1 ：xmy60和l 2 ：(m2)x3y2m0，当m_时，2 l 1 l 2 ；当m_时，l 1 l 2 ；当_时l 1 与l 2 相交；当m_时， l 1 与l 2 重合 答案 1 m3且m1 3 1 2 4点到直线的距离及两平行直线间的距离 (1)点P(x 0 ，y 0 )到直线Ax
4、ByC0的距离为d ； |Ax0By0C| A2B2 (2)两平行线l 1 ：AxByC 1 0，l 2 ：AxByC 2 0间的距离为d . |C1C2| A2B2 应用4 两平行直线3x2y50与6x4y50间的距离为_ 答案 15 13 26 5圆的方程： (1)标准方程：(xa) 2 (yb) 2 r 2 ； (2)一般方程：x 2 y 2 DxEyF0(D 2 E 2 4F0)； (3)以线段P 1 P 2 为直径的圆方程：(xx 1 )(xx 2 ) (yy 1 )(yy 2 )0. (4)求圆的方程的方法：待定系数法，即根据题意列出关于a，b，r或D，E，F的方 程组，求得a，b
5、，r或D，E，F的对应值，代入圆的标准方程或一般方程便可解 题时注意圆的几何性质的应用 应用5 (1) 若方程a 2 x 2 (a2)y 2 2axa0表示圆，则a_. (2)求与x轴相切，圆心在直线3xy0上，且被直线xy0截得的弦长为2 的圆的方程 7 答案 (1)1 (2)x 2 y 2 2x6y10或 x 2 y 2 2x6y10 6直线与圆的位置关系 (1)若直线与圆相交，设弦长为l，弦心距为d，半径为r，则l2 . r2d2 (2)圆O内过点A的最长弦即为过该点的直径，最短弦为过该点且垂直于直径的弦 (3)讨论直线与圆的位置关系时，一般不用0，0，r，分别确定相交、相切、相离 的位
6、置关系 应用6 过点(3,1)作圆(x1) 2 y 2 1的两条切线，切点分别为A，B，则直线 AB的方程为( ) A2xy30 B2xy30 C4xy30 D4xy303 解析 点(3,1)与圆心(1,0)的连线的斜率为 ，所以直线AB的斜率为2，显然 1 2 (1,1)为其中一个切点，所以直线AB的方程为y12(x1)，化简得 2xy30.故选A. 答案 A 7(1) 圆锥曲线的定义和性质 名称 椭圆 双曲线 抛物线 定义 |PF 1 |PF 2 |2a (2a|F 1 F 2 |) |PF 1 |PF 2 |2a (2ab0) x2 a2 y2 b2 1(a0，b0) x2 a2 y2
7、b2 y 2 2px(p0) 图形 范围 |x|a，|y|b |x|a x0 顶点 (a,0)，(0，b) (a,0) (0,0) 对称性 关于x轴、y轴和原点对称 关于x轴对称 焦点 (c,0) ( ，0) p 2 轴 长轴长2a，短轴长2b 实轴长2a，虚轴长2b 离心率 e (01) c a 1 b2 a2 e1 准线 x p 2 通径 |AB| 2b2 a |AB|2p 渐近线 y x b a (2) 求圆锥曲线的标准方程时，一定要先定位，再定量 应用7 (1)已知抛物线y 2 2px(p0)上一点M(1，m)(m0)到其焦点的距离为 5，双曲线 y 2 1的左顶点为A，若双曲线的一条
8、渐近线与直线AM平行，则实数 x2 a a 的值是( ) A. B 1 9 1 254 C. D 1 5 1 3 (2)若 1表示椭圆，则m，n应满足的关系是_. x2 m y2 n 【导学号：07804190】 (3)已知椭圆的离心率为 ，且过点(2,3)，求椭圆的标准方程 1 2 解析 (1)由抛物线定义可得M点到准线的距离为5，p8，抛物线方程为 y 2 16x，M(1,4)，点A( ，0)，由AM的斜率等于渐近线的斜率得 a ，解得a ，故选A. 4 1 a 1 a 1 9 答案 (1)A (2)m0，n0，mn (3) 1和 1 x2 16 y2 12 x2 43 4 y2 43 3
9、 8(1)在用圆锥曲线与直线联立求解时，消元后得到的方程中要注意二次项的系数是否为 零，利用解的情况可判断位置关系：有两解时相交；无解时相离；有唯一解时，在椭圆 中相切，在双曲线中需注意直线与渐近线的关系，在抛物线中需注意直线与对称轴的关 系，而后判断是否相切 (2)直线与圆锥曲线相交时的弦长问题 斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P 1 (x 1 ，y 1 )，P 2 (x 2 ，y 2 )，则所得弦长 |P 1 P 2 | 或|P 1 P 2 | 1k2x1x224x1x2 . ( 1 1 k2 ) y1y224y1y2 (3)过抛物线y 2 2px(p0)的焦点F的直线l交抛物线于C(x
10、1 ，y 1 )，D(x 2 ，y 2 )，则 焦半径|CF|x 1 ； p 2 弦长|CD|x 1 x 2 p；x 1 x 2 ，y 1 y 2 p 2 . p2 4 应用8 已知抛物线的方程为y 2 2px(p0)，过抛物线上一点M(p， p)和抛物 2 线的焦点F作直线l交抛物线于另一点N，则|NF|FM|等于( ) A1 B1 2 3 C12 D13 解析 由题意可知直线l的方程为y2 ， 2 ( x p 2 ) 联立方程Error!得 N ， ( p 4 ， 2 2 p )5 所以|NF| p，|FM|p p， p 4 p 2 3 4 p 2 3 2 所以|NF|FM|12. 答案
11、C 应用9 已知双曲线x 2 1，过点A(1,1)能否作直线l，使l与双曲线交于 y2 2 P、Q两点，并且A为线段PQ的中点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说 明理由 解 设被A(1,1)所平分的弦所在直线方程为yk(x1)1. 代入双曲线方程x 2 1，整理得， y2 2 (2k 2 )x 2 2k(k1)x32kk 2 0， 由4k 2 (k1) 2 4(2k 2 )(2k3k 2 )0， 解得k ， 3 2 故不存在被点A(1,1)平分的弦 查缺补漏 1已知圆C：(xa) 2 (yb) 2 r 2 的圆心为抛物线y 2 4x的焦点，直线3x4y20 与圆C相切，则该圆的方程为(
12、) A(x1) 2 y 2 64 25 Bx 2 (y1) 2 64 25 C(x1) 2 y 2 1 Dx 2 (y1) 2 1 C 因为抛物线y 2 4x的焦点为(1,0)，所以a1，b0，又直线3x4y20与 圆C相切，得r 1，所以该圆的方程为(x1) 2 y 2 1. |32| 56 2已知双曲线C： 1(a0，b0)的渐近线方程为y x，且其右焦点为(5,0)， x2 a2 y2 b2 3 4 则双曲线C的方程为( ) 【导学号：07804191】 A. 1 B 1 x2 9 y2 16 x2 16 y2 9 C. 1 D 1 x2 3 y2 4 x2 4 y2 3 B 由题意得
13、，c 2 a 2 b 2 25，所以a4，b3，所求双曲线方程为 b a 3 4 1. x2 16 y2 9 3已知椭圆C： 1(ab0)的离心率为 ，四个顶点构成的四边形的面积为12，直 x2 a2 y2 b2 3 2 线l 与椭圆C交于A，B两点，且线段AB的中点为M(2,1)，则直线l的斜率为( ) A B 1 3 3 2 C D1 1 2 C 由题意得 ，2ab12a 2 12，b 2 3，利用点差法得直线l的斜率为 c a 3 2 ，选C. b2x中 a2y中 3 2 12 1 1 2 4若抛物线x 2 4y上有一条长为6的动弦AB，则AB的中点到x轴的最短距离为( ) A B 3
14、4 3 2 C1 D2 D 设抛物线的焦点为F(0,1)，AB的中点为M，准线方程为y1，则点M到准线 的距离d (|AF|BF|) |AB|3，即点M到准线的距离的最小值为d min 3，所 1 2 1 2 以点M到x轴的最短距离d min d min 12，选D. 5已知P为椭圆 1上的点，点M为圆C 1 ：(x3) 2 y 2 1上的动点，点N为圆 x2 25 y2 16 C 2 ：(x3) 2 y 2 1上 的动点，则|PM|PN|的最大值为( ) A8 B12 C16 D 20 B 由题可知，(|PM|PN|) max |PC 1 |PC 2 |212，故选B.7 6过曲线C 1 ：
15、 1(a0，b0)的左焦点F 1 作曲线C 2 ：x 2 y 2 a 2 的切线，设切点为 x2 a2 y2 b2 M，延长F 1 M交曲线C 3 ：y 2 2px(p0)于点N，其中C 1 、C 3 有一个共同的焦点，若 |MF 1 |MN|，则曲线C 1 的离心率为( ) A. B 1 5 5 C. 1 D 5 51 2 D 如图所示， OMF 1 N，且M为线段F 1 N的中点，所以ANF 2 N2a，F 2 NF 1 N，所以在RtF 1 F 2 N 中，cosNF 1 F 2 ，在RtF 1 AN中，cosF 1 NA ，又因为 2b 2c b c 2a 2b a b NF 1 F
16、2 F 1 NA，所以 ，即c 2 a 2 b 2 ac，解之得e ，故选D. b c a b 1 5 2 7已知双曲线C 1 ： y 2 1，双曲线C 2 ： 1(ab0)的左、右焦点分别为 x2 4 x2 a2 y2 b2 F 1 ，F 2 ，M是双曲线C 2 的一条渐近线上的点，且OMMF 2 ，O为坐标原点，若S OMF 2 16，且双曲线C 1 ，C 2 的离心率相同，则双曲线C 2 的实轴长是( ) A32 B16 C8 D4 B 因为双曲线C 2 ： 1与双曲线C 1 ： y 2 1的离心率相同，所以 x2 a2 y2 b2 x2 4 e ，解得 ，即双曲线C 2 的一条渐近线方
17、程为y x，即x2y0，又因 c a 5 2 b a 1 2 1 2 为OMMF 2 ，OMF 2 的面积为16，所以 |OM|MF 2 |MF 2 | 2 16，解得|MF 2 |4， 1 2 即右焦点F 2 (c,0)到渐近线x2y0的距离为4，所以 4，解得c4 ，a c 5 5 8,2a16，即双曲线C 2 的实轴长为16.故选B. 4 5 5 2 8抛物线y 2 2px(p0)的焦点为F，O为坐标原点，M为抛物线上一点，且8 |MF|4|OF|，MFO的面积为4 ，则抛物线方程为( ) 3 Ay 2 6x By 2 8x Cy 2 16x Dy 2 x 15 2 B 依题意，设M(x
18、，y)，|OF| ，所以|MF|2p，x 2p，x ，y p， p 2 p 2 3p 2 3 又MFO的面积为4 ，所以 p4 ，p4，所以抛物线方程为y 2 8x， 3 1 2 p 2 3 3 选B. 9在平面直角坐标系xOy中，直线l：y2x4，圆C的半径为1，圆心在直线l上，若 圆C 上存在点M，且M在圆D：x 2 (y1) 2 4上，则圆心C的横坐标a的取值范围是( ) A. 3 5 ，2 B. 0， 12 5 C. 2 2 55，2 2 55 D. 0，2 2 55 2 2 55，4 B 点M既在圆C上，又在圆D上，所以圆C和圆D有公共点，圆C 的圆心为 (a,2a4) ，半径为1，
19、圆D的圆心为(0，1) ，半径为2，则圆心距 ，满足Error! ，解得：0a ，故选B. a22a412 5a212a9 12 5 10已知圆C：x 2 y 2 4，点P为直线x2y90上一动点，过点P向圆C引两条切线 PA、PB, A、B为切点，则直线AB经过定点 A. B ( 4 9 ， 8 9 ) ( 2 9 ， 4 9 ) C(2,0) D(9,0) A 设A(x 1 ，y 1 )，B(x 2 ，y 2 )，P(x 0 ，y 0 ), 则PA：x 1 xy 1 y4；PB：x 2 xy 2 y4; 即x 1 x 0 y 1 y 0 4；x 2 x 0 y 2 y 0 4；因此A、B在
20、直线x 0 xy 0 y4上，直线AB方程为 x 0 xy 0 y4，又x 0 2y 0 90，所以(92y 0 )xy 0 y4y 0 (y2x)9x40即 y2x0,9x40y ，x ，直线AB经过定点 ，选A. 8 9 4 9 ( 4 9 ， 8 9 ) 11已知椭圆 1(ab0)的左、右焦点分别为F 1 ，F 2 ，上、下顶点分别是B 1 ，B 2 ， x2 a2 y2 b2 点C 是B 1 F 2 的中点，若 2，且CF 1 B 1 F 2 ，则椭圆的方程为_ B1F1 B1F2 9 1 由题意可得F 1 (c,0)，F 2 (c,0)，B 1 (0，b)，B 2 (0，b)，C ，
21、 x2 4 y2 3 ( c 2 ， b 2 ) (c，b)(c，b)c 2 b 2 2， ，可 B1F1 B1F2 CF1 B1F2 得 0，即有 (c，b) c 2 0，解得c1，b CF1 B1F2 ( 3c 2 ， b 2 ) 3 2 b2 2 ，a 2，可得椭圆的方程为 1. 3 b2c2 x2 4 y2 3 12在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x 2 y 2 8x150，若直线ykx2上至 少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是 _圆C的标准方程为(x4) 2 y 2 1，圆心为(4,0)由题意知(4,0)到 4 3 kxy20的距离应不大于
22、2，即 2.整理，得3k 2 4k0，解得0k |4k2| k21 .故k的最大值是 . 4 3 4 3 13已知双曲线C： 1(ba0)的右焦点为F，O为坐标原点，若存在直线l过点F x2 a2 y2 b2 交双曲线C的右支于A，B两点，使 0，则双曲线离心率的取值范围是_. OA OB 【导学号：07804192】设A(x 1 ，y 1 )，B(x 2 ，y 2 )，直线l的方程为xmyc(0mb0)的右焦点F，抛物线x 2 4 y的 x2 a2 y2 b2 310 焦点为椭圆C的上顶点，且直线l交椭圆C于A，B两点 (1)求椭圆C的方程； (2)若直线l交y轴于点M，且 1 ， 2 ，当
23、m变化时， 1 2 的值 MA AF MB BF 是否为定值？若是，求出这个定值，若不是，说明由 解 (1)易知椭圆右焦点F(1,0)，c1，抛物线x 2 4 y的焦点坐标(0， )， 3 3 b ， a 2 b 2 c 2 4. 3 椭圆C的方程为 1 . x2 4 y2 3 (2)易知m0，M ，设A(x 1 ，y 1 )，B(x 2 ，y 2 )， ( 0， 1 m ) 由Error! (3m 2 4)y 2 6my90， (6m) 2 36(3m 2 4)144(m 2 1)0. y 1 y 2 ，y 1 y 2 . 6m 3m24 9 3m24 又由 1 ， 2 得： 1 1 ， M
24、A AF MB BF 1 my1 2 1 . 1 my2 1 2 2 . 1 m y1y2 y1y2 8 3 15已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率为 ，它的一个顶点恰好是抛物 1 2 线x 2 4 y的焦点 3 (1)若A，B是椭圆C上关于x轴对称的任意两点，设点P(4,0)，连接PA交椭圆 C 于另一点E，求证：直线BE与x轴相交于定点M； (2)设O为坐标原点，在(2)的条件下，过点M的直线交椭圆C于S，T两点，求 OS 的取值范围 OT 解 (1)证明：设椭圆C的标准方程为 1(ab0)，抛物线x 2 4 y的焦点 x2 a2 y2 b2 3 为(0， )由题意，可得Er
25、ror!Error! 3 椭圆C的标准方程为 1. x2 4 y2 3 由题意可知直线PA存在斜率，设直线PA的方程为yk(x4)，代入椭圆方程可得 (4k 2 3)x 2 32k 2 x64k 2 120. 由32 2 k 4 4(4k 2 3)(64k 2 12)0，有 k . 1 2 1 211 设A(x 1 ，y 1 )，E(x 2 ，y 2 )，则B(x 1 ，y 1 )， 由根与系数的关系得x 1 x 2 ，x 1 x 2 32k2 4k23 64k212 4k23 直线BE的方程为yy 1 (xx 1 )， y2y1 x2x1 令y0，可得x M x 1 ， x2y1x1y1 y
26、1y2 x1y2x2y1 y1y2 将y 1 k(x 1 4)，y 2 k(x 2 4)代入上式，整理可得 x M 2x1x24x1x2 x1x28 将，代入整理可得 x M 1 264k212128k2 32k284k23 直线BE与x轴相交于定点M(1,0) (2)当过点M的直线ST的斜率为0时，S(2,0)，T(2,0)，此时 4. OS OT 当过点M的直线ST的斜率不为0时，设直线ST的方程为xmy1，且设点 S(x 1 ，y 1 )，T(x 2 ，y 2 ). 联立Error!，消去 x整理，得(3m 2 4)y 2 6my90， 由根与系数的关系得：y 1 y 2 ，y 1 y 2 . 6m 3m24 9 3m24 从而 x 1 x 2 y 1 y 2 OS OT (my 1 1)(my 2 1)y 1 y 2 (m 2 1)y 1 y 2 m(y 1 y 2 )1 1 9m21 3m24 6m2 3m24 12m25 3m24 4 综上所述， 的取值范围为 . 11 3m24 ( 4， 5 4 OS OT 4， 5 4
