1、第29讲函数与方程思想、数形结合思想,1考题展望函数与方程思想是中学数学的基本数学思想，高考试题中考查函数与方程思想的题目占较大比例，题型涉及选择题、填空题、解答题，难度有难有易，试题中的大部分压轴题与函数方程思想有关，作为中学数学的主要思想，今后将仍然是高考考查的重点内容数形结合思想在每年的高考中都有所体现，尤其是某些选择题、填空题，数形结合非常有效从近几年的高考题来看，数形结合的重点是研究“以形助数”，但“以数定形”在今后的高考题中将会有所加强，应引起重视,2高考真题,【命题立意】本题考查函数、导数的基础知识，运用导数研究函数性质的基本方法，考查分类讨论思想，代数恒等变形能力和综合运用数学
2、知识分析问题和解决问题的能力,1函数与方程思想(1)函数思想指应用函数的概念和性质去分析和解决问题，具体表现在：通过函数性质解题，应用映射和函数观点去观察和分析问题，有关不等式或讨论方程解的个数，求参数的范围等问题通过构造函数运用函数性质求解(2)方程思想是指应用变量间相等关系，建立方程(或方程组)后解答问题，如：将函数与方程间等价转化，通过等价转化为关于某变量的方程后来达到解决问题的目标,2数形结合思想数形结合思想，就是把问题的数量关系和空间图形结合起来考查的思想方法，即根据解决问题的需要，可以把数量关系的问题转化为图形的性质和特征去研究；或者把图形的性质问题转化为数量关系的问题去研究数与形
3、转换的三条途径：(1)通过坐标系的建立，引入数量化静为动，以动求解(2)转化，通过分析数与式的结构特点，把问题转化为形的角度来考虑(3)构造，通过对数(式)与形特点的分析，联想相关知识，构造一个几何图形，构造一个函数，构造一个图表等来分析解决问题,C,【点评】本题由奇函数的定义，将函数问题转化为方程问题分析求解充分运用了函数与方程思想,【点评】本例将方程的根的问题转化为函数y3f(x)与yx的交点个数问题求解，实际上是应用函数与方程思想将问题转化化归，从而实现简便地解决问题的目的,C,【点评】应运用化归思想，将y3转化为圆的一部分，此时应注意对变量x，y的限制条件，然后应用数形结合的思想方法分
4、析求解变量b的取值范围,【点评】本题若直接求解较困难，若通过分离变量，构造函数求解，则运算量较大，但若应用数形结合思想求解，则简单直观迅速,【点评】本例题是一道函数、导数与不等式综合的难题，第(2)小问在探究m的取值与方程根的个数时即应用了函数与方程思想，同时也应用了数形结合思想，第(3)小问通过等价转换后利用函数思想通过构造函数，应用函数知识求解,【点评】本例涉及解析几何中的轨迹问题和定值问题，着重考查运算求解和推理论证能力；在解题的过程中要恰当的应用数形结合思想，使运算求解和推理论证目标明确、过程简要,备选题某营养师要为某儿童预订午餐和晚餐，已知1个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个
5、单位的蛋白质和6个单位的维生素C；1个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.别外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.如果1个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？,【点评】本题系线性规划应用问题分析求解既要准确转化翻译题设条件，又要应用数形结合思想确定最优解及目标函数的数值,1函数与方程的转化常见问题有：(1)函数与其图象可视为二元方程与曲线的关系(2)方程中的参变量必要时可视为其中某个量的函数，从而利用函数
6、性质研究(3)解方程或不等式时可视其结构联想到相关函数图象或性质给予解决(4)数列的相关问题可视为函数问题或转化为方程和不等式解决,2运用数形结合思想分析解决问题时，要遵循三个原则：一是等价性原则，要注意由于所作的草图不能精确刻画数量关系带来的负面效应；二是双向性原则，即进行几何直观分析，又要进行相应的代数抽象探求，仅对代数问题进行几何直观分析，又要进行相应的代数抽象探求，仅对代数问题进行几何分析容易失真；三是简单性原则，不要为了“数形结合”而数形结合，而取决于是否有效、简便和更易达到解决问题的目的,3数形结合的主要解题方式有：(1)数转化为形，即根据所给出的“数”的特点，构造符合条件的几何图形，用几何方法去解决(2)形转化为数，即根据题目特点，用代数方法去研究几何问题(3)数形结合，即用数研究形，用形研究数，相互结合，使问题变得简捷、直观、明了,C,D,C,B,(13，13),4,【点评】本小题考查导数的求法及其几何意义，直线方程及导数与函数单调性的关系等基础知识，同时也考查了函数与方程思想及运算求解能力,【点评】本题主要考查抛物线的几何性质，直线与抛物线、圆的位置关系等基础知识，同时考查方程思想及运算求解能力,
