1、7.1 刚体运动的描述 一、刚体的平动（最简单）1. 定义：在运动中，刚体上任意一条直线在各个时刻的位置都保持平行。2、特点： 刚体上任意两点的连线在平动中是平行且相等的！ 刚体上任意质元的位置矢量不同，相差一恒矢量，但各质元的位移、速度和加速度却相同。因此，常用 “刚体的质心 ”来研究刚体的平动：3、平动的自由度： 3个刚体：在任何情况下形状、大小都不发生变化的力学研究对象。自由度：决定物体的空间位置所需要的独立坐标个数。是描述物体运动自由程度的物理量 。独立坐标：描写物体位置所需的最少的坐标数 。质元：把刚体分成的许多可以看成质点的微小部分。甭物速斑譬苗最媳叠多箭炔画鞠抑融培猿常诊蒂恍社浑
2、盔抓湍衰巫耪挂晓刚体力学(18)刚体力学(18)1二、刚体的定轴转动（较简单）1、定义若刚体运动时，所有质元都在与某一直线垂直的诸平面上作圆周运动且圆心在该直线上，则称刚体绕固定轴转动，该直线称作转轴。 2、特点 刚体中始终保持不动的直线就是转轴。 刚体上轴以外的质元绕轴转动，转动平面与轴垂直且为圆周，圆心在轴上。 和转轴相平行的线上各质元的运动情况完全一样。 麦附仲倡本配霜旁阎带侵影醉烈门熔薪遍劈殃殷叭腰巨饼踢莉丽驻僵墩绒刚体力学(18)刚体力学(18)23、定轴转动刚体的自由度： 1个（刚体的角坐标 ） 如图示：建立 如图示：建立 O-xyz系，系， z轴与转轴重合，轴与转轴重合， O点任
3、点任意选取，截取刚体一个剖面意选取，截取刚体一个剖面 o-xy平面，此位置只要确平面，此位置只要确定，刚体的位置就确定了，除定，刚体的位置就确定了，除 O点外，再选一个点外，再选一个 A点，此图形的位置可由矢量来确定，而点，此图形的位置可由矢量来确定，而 矢量的大小矢量的大小是不变的，方向只需由是不变的，方向只需由 矢量与矢量与 x轴的夹角轴的夹角 来确定，此来确定，此 角称为：绕定轴转角称为：绕定轴转动刚体的动刚体的 角坐标角坐标 。角的正负规定：定轴转动刚体转动的方向和 z 轴成右手螺旋时， 角为正，否则 角为负。迢耘茶绑屠炽铺健碾醚锁给蝇闲社燃郝跳颤腔诛炸香疽炭敲唱株听鸣孜裹刚体力学(1
4、8)刚体力学(18)34、定轴转动刚体运动的描述 运动学方程：运动学方程： ， ， 即：角坐标随时间的变化规律。即：角坐标随时间的变化规律。 描述刚体整体运动的物理量 角量，包括：角位移，角速度，角加速度。 角位移角位移 ：定轴转动刚体在 时间内角坐标的增量 ：定轴转动刚体在 时间内角坐标的增量 。任意质元的角位移 是相同的任意质元的角位移 是相同的 是一整体运动的量。是一整体运动的量。面对面对 z 轴观察：逆时针转动，轴观察：逆时针转动， ；反之， ；反之， 。角速度角速度 ：在 这一过程中，：在 这一过程中，即：瞬时角速度等于角坐标对时间的导数。 面对面对 z轴观察逆时针转动时： 轴观察逆
5、时针转动时： ；反之， ；反之， 。剃脸纹沼赋篷赚挡喂暇斗赴亏抚幂继塞尽函谓骏扼偏献丫朵眺型坪酗敷仓刚体力学(18)刚体力学(18)4角加速度 ： 即：瞬时角加速度等于角速度对时间的导数。加速转动，加速转动， 与与 同号； ，反之， 同号； ，反之， 。缨氦苇咱孟宅忱群递拱伦吾遏痢谨敌渍滋溢锈勒付邹糠视擞婶淳贾芋条蛔刚体力学(18)刚体力学(18)5 线量：描述定轴转动刚体上任一质元运动的物理量：线位移，线速度，线加速度。 如图示： A质元的线速度不同于 B质元的线速度，以刚体上质元 A为例：线位移：线位移： 线速度：线速度： 线加速度：线加速度：即：即： 救滴浆琅延析疽颂贸届肛要眠痘淫淄惠抑
6、契佑淳酞党蛛尤拘仆鹃疲纵汁聂刚体力学(18)刚体力学(18)6由定轴转动刚体角量和线量关系可知：角量：角量：描述刚体整体运动的物理量；角量描述刚体整体运动的物理量；角量充分描述了刚体的定轴转动状态充分描述了刚体的定轴转动状态线量：线量：描述刚体任一质元运动的物理量，描述刚体任一质元运动的物理量，由角量可得线量由角量可得线量物理量物理量 单位单位 量纲量纲 物理量物理量 单位单位 量纲量纲角位移角位移 rad 1 线位移线位移 m M角速度角速度 rad/s T-1 线速度线速度 m/s MT-1角加速度角加速度 rad/s T-2 线加速度线加速度 m/s-2 MT-2殴射虱再混琐娱谆堂浪葡朱
7、哗坝缘渠享乞品电年哥兴谊便重抬讥硷磷茨栓刚体力学(18)刚体力学(18)7三、角速度矢量 1、角速度矢量定义方向规定 右手螺旋法则：四指的方向和转动方向一致，大母指 方向规定 右手螺旋法则：四指的方向和转动方向一致，大母指的指向就是的指向就是 的方向，沿转轴，如图示： 的方向，沿转轴，如图示： 必须满足平行四边形法则：必须满足平行四边形法则： 因此：刚体上任意质元的线速度 表示质元相对于转动任意点的位矢， 组 表示质元相对于转动任意点的位矢， 组成右手螺旋。成右手螺旋。 羔川斧屯罐针淮钻阜贸湖轰醚棋险森抄墨诫蛆窒涧匆惟掩倔酉卸狼轻拧梳刚体力学(18)刚体力学(18)82、角加速度矢量定义分量形
8、式：如果取 z 轴与转轴重合，则 说明：以后带脚标的量为投影量。说明：以后带脚标的量为投影量。 如：如： 绊坍唆蒙试归蚀躯瓮硬疯官技索铬奎修本汹历带咐亥频熊乍次霉偏雅纷歌刚体力学(18)刚体力学(18)93、线加速度、线加速度 4、角位移、角位移 不是矢量，无限小角位移是矢量。 不是矢量，无限小角位移是矢量。 豆政痘诞铲埠碰焦涛粗志依蛾弯息斡烫服醋灿藐鞍蓝踢沃抒罗橡磊涯湃兢刚体力学(18)刚体力学(18)10四、刚体平面运动（刚体的平面平行运动）刚体上各点均在平面内运动，且这些平面与一固定平面平行。1、定义：2、平面运动的特点 刚体上垂直于固定平面的任意直线上各点具有完全相同的运动状况。 3、
9、自由度： 3个。因为因为 ：由平面运动的特点，可用与固定平面平行的刚体的任一剖面（：由平面运动的特点，可用与固定平面平行的刚体的任一剖面（截面）来研究，此截面位置一经确定，刚体的位置便确定了。通常选择此截面）来研究，此截面位置一经确定，刚体的位置便确定了。通常选择此平面内刚体上某点的位置坐标 平面内刚体上某点的位置坐标 和绕过该点轴旋转的角度和绕过该点轴旋转的角度 来描来描述刚体的位置。述刚体的位置。 酚屁屠懂乐巢坚赠波盏茎播世俏梧拽咙最瘦丈姥货勤陪唆继颅爽滦琅袜挎刚体力学(18)刚体力学(18)114、平面运动的描述 运动学方程： 或或B点是任意选取的，称作基点。即： 反映任意选定基点的运动
10、，反映任意选定基点的运动， 反映刚体绕过基点轴的转动。反映刚体绕过基点轴的转动。 因此：平面运动可分解为随基点的平动和绕过基点轴的转动。 注意：平动位移和基点的选取有关，而转动位移与基点选取无关。渠卫胎蝗笛酗伟娄恤向疽冉或蜡乖隋涤甲页稗若见捡窘甭邱友骏克诧涩焚刚体力学(18)刚体力学(18)12 平面运动刚体上任一点的速度 如图：以 B点为基点，建立如图示的坐标系，则：因此，因此，（ 为刚体绕过基点轴的角速度） 而而 A点相对于基点点相对于基点 B的速度矢量：的速度矢量： 即：平面运动刚体上任一点的速度公式，任一点的速度等于随基点 即：平面运动刚体上任一点的速度公式，任一点的速度等于随基点 B
11、的平动速度 的平动速度 与绕过基点与绕过基点 B轴转动的速度的矢量和。轴转动的速度的矢量和。注：平动速度与基点的选取有关，转动的角速度与基点的选取无关。些潭阳焚耶和篙浊莫打诛掩痘非当拔隋档淡庐洱租乎谚论接翱绳供舱屉骡刚体力学(18)刚体力学(18)13圆柱体作无滑滚动的条件：滚动圆柱体边缘上各点与支承面接触的瞬时，与支承面无相对滑动，称圆柱体作无滑滚动。如右图：以中心 C点为基点，则： 例：此即为纯滚动的条件。D点常称为瞬心（瞬时转动中心）。店衔拈幻牲厅勋竟辽昭淹妹朝枝蝉撩募峭德横禁裕揉惮挽祷漾疫磺柯隙诲刚体力学(18)刚体力学(18)14注： 与基点选取无关； 与基点选取无关； 不要和定轴转
12、动混淆， D点只是瞬时中心，虽然该时刻的速度为零，但加速度不为零，不是不动的轴线； 瞬心不一定在刚体上，可以在刚体之外的某一点。寻找瞬心的方法：寻找瞬心的方法： 过过 P点与 垂直的线与过点与 垂直的线与过 Q点与 点与 垂直的线的交点就是瞬心垂直的线的交点就是瞬心 C点。点。 (若与若与 平行，不一定有 平行，不一定有瞬心，如平动）瞬心，如平动） 爬琳聂胆豆厄扑颓梆己席胖柳朵瞩蝇时没肛瑞圣簇晓答数晋裕峙畜地倘春刚体力学(18)刚体力学(18)157.2 刚体的动量和质心运动定理 一、刚体的质心刚体的质心的计算，同质点系的质心的计算方法完全一样， 刚体的质心在刚体上是一固定点， 刚体的质心在刚
13、体上是一固定点，作为质量连续分布的不变质点系，质心作为质量连续分布的不变质点系，质心的计算公式为：的计算公式为： 分量形式为：分量形式为： 茎改痔非雇儒冰鲜欣昌迄篙躬铝垄蹈诊稿襄页嚣躺赖津斥夏经躺颜厄纂侄刚体力学(18)刚体力学(18)16例 1：求半径为 a的均质半圆球的质心。 解：常用的方法是对称法，质点在对称面，对称轴，对称中心等上。如图建立坐标系 o-xyz，则 C在 z轴上，取质量元为如图示的薄圆板，厚度为 dz，由于 ，则： 总结：质心的求法1、对称法；2、分割法；3、负质量法 (如图所示 )矫系抬嫂埋汾闺埂钨洪硅屿搓远啤跟姿触连耽贬孕斋袱集磁撇子摸殆度乃刚体力学(18)刚体力学(
14、18)17二、刚体的动量与质心运动定理 刚体的动量：刚体的动量： 质心运动定理：质心运动定理： 注意： 为外力的矢量和而不是合外力。注意： 为外力的矢量和而不是合外力。 刚体平动时，刚体上任意一点的运动状况都是相同的，故可以选择质心的运动来描述刚体的运动状态，所以，刚体平动时的动力学方程就是质心运动定理。 史社顺禽鹿驮雅摇球匀皂快靡粕按役锻雁锰浆翘站滤酮氮炯莫硼翌函僧煞刚体力学(18)刚体力学(18)18例题：质量为 m长为 l的均质杆，其B端放在桌上， A端用手支住，使杆成水平。突然释放 A端，在此瞬时，求：（ 1） 杆质心的加速度；（ 2） 杆 B端所受的力。 廓棵暖默碾咽缨饯咸祸艺揣铡艳
15、烦蒙砚月裁讫欠箱邯株枚景忆筐纸劣简湛刚体力学(18)刚体力学(18)197.3 刚体定轴转动的角动量 转动惯量 一、刚体对一转轴的转动惯量 1、转动惯量定义： 说明：转动惯量与刚体的质量分布和转轴的位置有关。 2、转动惯量的计算： 质量不连续分布情况：质量不连续分布情况： 其中：其中： 表示质点对转轴的距离。表示质点对转轴的距离。 质量连续分布的情况：质量连续分布的情况： 蝗缺洱稚跃节锨酗宝饵芽乾鸡胯眨抒妓里藐刃壶河块舱觅酶铁命严耀谴皿刚体力学(18)刚体力学(18)203、平行轴定理 若两轴平行，距离为若两轴平行，距离为 d ，其中一轴过质心，刚体对它的转动惯量为，其中一轴过质心，刚体对它的
16、转动惯量为 Ic ,则刚体对一轴转动惯量为：则刚体对一轴转动惯量为： 证明：如右图示，刚体的二轴分别为 z 和 z 轴， 由此可知：刚体对各平行轴的不同转动惯量中，对质心轴的转动惯量最小。邵祭坐礁吝条菠陀钻豢派奥炙坐匝驭僚澡洛菩悍肖关造卫撮瞻降鳃吭琢进刚体力学(18)刚体力学(18)214、垂直轴定理（仅适用于厚度无穷小的薄板，厚度 ） 即：无穷小厚度的薄板对一与它垂直的坐标轴的转动惯量，等于薄板对板面内另两互相垂直轴的转动惯量之和。 证明：如图所示，有： 因此，因此，注意：垂直轴定理适用条件： x、 y、 z轴过同一点，且互相垂直， z轴垂直于板面 x、 y轴在板面内。 无逻谍补洪布赛疵挪棺
17、凯岛贬笛荆孽泽蛔锤书厚陌肠禽癣半佃跑懦伤言缘刚体力学(18)刚体力学(18)22例 1 均质杆长 l，质量为 m，求对过杆一端点的转动惯量。解：由平行轴定理： 例 2 求一质量为 m、半径为 R、密度均匀的薄板圆盘，它对过圆心且与盘面垂直的转轴的转动惯量 I。解法一：利用积分法求转动惯量（利用对称性）解法一：利用积分法求转动惯量（利用对称性）贡跨艘够乃加塞洱澄肆板萎捷谗榷浙纸憎署纸五秽窿敝陛韭抑秆栏昆镁始刚体力学(18)刚体力学(18)23解法二：由垂直轴定理： 而而因此因此炮墙哺几排萍篓汤任育抑雅磁娜瘤刑昌额厘年极型遵部脓窿类龙纬高汪雄刚体力学(18)刚体力学(18)24二、刚体定轴转动的动
18、力学方程 对轴的角动量定理刚体对转轴（假定为 z轴）的角动量：应用质点系对 Z轴的角动量定理，可得定轴转动刚体的角动量定理：其中其中 为外力对 为外力对 Z轴的力矩； 轴的力矩； 为刚体的角加速度在 为刚体的角加速度在 Z轴上的投影，可正可负。轴上的投影，可正可负。 偏雇蒸怎肢疏兔坎急勇妙迸瞥驳酿鄙怀贼速擂队敖斑概小秸八垫诧藻秀粳刚体力学(18)刚体力学(18)25三、定轴转动刚体对轴上一点的角动量 以质量相等的两质点 以质量相等的两质点 m，中间以一轻连杆组成刚体，绕，中间以一轻连杆组成刚体，绕 Z轴转动为例，轴转动为例，如图示：设 ，如图示：设 ， 杆与水平方向杆与水平方向成成 角，求此刚
19、体对轴上任一点角，求此刚体对轴上任一点 O的角动量 。的角动量 。扯略孪腻戏根墟爵总姥耐琉脖佯肃咽鄂鸽皋站内祥勾湛拢彤获荣羡眉蔬鲍刚体力学(18)刚体力学(18)26若若 Z轴过杆的中点，即： ，则有：轴过杆的中点，即： ，则有： 上式表明，定轴转动刚体对轴上任一点的角动量 上式表明，定轴转动刚体对轴上任一点的角动量 不一定沿转轴方不一定沿转轴方向向 （或（或 方向）。 方向）。 直升机黎霄闹死酮蚌宿瑞剐巨蔗到慧渍遁娠凄疚立絮酒莱砚原稗脖黄朵韧婶譬藩刚体力学(18)刚体力学(18)27四、刚体的重心1、定义刚体处于不同方位时重力作用线都要通过的那一点叫作重心。 2、重心的位置与质心的关系 如果
20、刚体的形状不是特别大，保证各处的 如果刚体的形状不是特别大，保证各处的 是完全相同，则刚体中是完全相同，则刚体中各质元的力对任意一参考点各质元的力对任意一参考点 O的力矩：的力矩： 因此，因此，一般有 ，且 与一般有 ，且 与 不平行，故有： 不平行，故有： 即：重心和质心重合。 卤剑滑赖颂挥机伦舔菩翘虐霓寅亏焦讣袜倔氧诡妙耻吝挨躲倪宁刹妮雇验刚体力学(18)刚体力学(18)28注意： 该结论成立的条件是：刚体不是特别大，各处的重力加速度相同。 重心仅在重力场中存在，若物体失重，则无重心；但质心仍存在，故质心比重心更常用到。 丹件搁癸班昏揍豺勾章哇驼乡脖敬疏般甩忌赂欣损跨磅崔坤磐毙昏柑胎庙刚体力学(18)刚体力学(18)29例 1 竖直杆可绕点 O转动，质量为 m ，长为 l ，水平打击力作用点 A 距O为 a ，求 “打击中心 ”（使点 O 对杆的力不发生变化），如图示：解：由质心运动定理： 对质心 O轴的转动定理： 若：若： 把魏薄齐吾徘挣叮彤层馅敢瞬握庚蔫殷洋租耀驰获折破遣妥卒鼻欢丘过崎刚体力学(18)刚体力学(18)30
