1、1 大题规范练(七) “20题、21题”24分练 (时间：30分钟 分值：24分) 解答题(本大题共2小题，共24分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 20已知圆心在直线y x上的圆C与x轴相切，与y轴正半轴交于M，N两点(点M在N 5 4 的下方)，且|MN|3. (1)求圆C的方程； (2)过点M任作一直线与椭圆 1交于A，B两点，设直线AN，BN的斜率分别 x2 8 y2 4 为k 1 ，k 2 ，则k 1 k 2 是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理 由. 【导学号：04024242】 解：(1)由圆心C在直线y x上， 5 4 所以设圆心为C(4a,5a)(a
2、0)， 因为|MN|3，所以(4a) 2 2 (5a) 2 ，解得a ， ( 3 2 ) 1 2 所以圆心为 ，r ， ( 2， 5 2 ) 5 2 故圆C的方程为(x2) 2 2 . ( y 5 2 ) 25 4 (2)k 1 k 2 0为定值证明如下： 将x0代入(x2) 2 2 ， ( y 5 2 ) 25 4 得y1或y4，所以M(0,1)，N(0,4) 当直线AB的斜率k不存在时，不符合题意，故可设直线AB的方程为ykx1. 由Error!得(12k 2 )x 2 4kx60. 设A(x 1 ，y 1 )，B(x 2 ，y 2 )，则 x 1 x 2 ，x 1 x 2 ， 4k 12
3、k2 6 12k2 所以k 1 k 2 . y14 x1 y24 x2 kx13 x1 kx23 x2 2kx1x23x1x2 x1x2 而2kx 1 x 2 3(x 1 x 2 ) 0， 12k 12k2 12k 12k2 所以k 1 k 2 0. 21已知函数f(x)ln xmx 2 ，g(x) mx 2 x，mR，令F(x)f(x)g(x) 1 22 (1)当m 时，求函数f(x)的单调区间及极值； 1 2 (2)若关于x的不等式F(x)mx1恒成立，求整数m的最小值. 【导学号：04024243】 解：(1)当m 时，f(x)ln x x 2 (x0)，所以f(x) x(x0) 1 2
4、 1 2 1 x 令f(x)0得x1. 由f(x)0得01，所以f(x)的单调递减区间为(1，) 所以f(x) 极大值 f(1) ，无极小值 1 2 (2)方法一：令G(x)F(x)(mx1)ln x mx 2 (1m)x1， 1 2 所以G(x) mx(1m) . 1 x mx21mx1 x 当m0时，因为x0，所以G(x)0，所以G(x)在(0，)上是增函数 又因为G(1) m20， 3 2 所以关于x的不等式G(x)mx1不能恒成立 当m0时，G(x) mx21mx1 x . m ( x 1 m ) x1 x 令G(x)0，得x ，所以当x 时，G(x)0；当x 时， 1 m ( 0，
5、1 m ) ( 1 m ， ) G(x)0， 因此函数G(x)在 上是增函数，在 上是减函数 ( 0， 1 m ) ( 1 m ， ) 故函数G(x)的最大值为G ln m. ( 1 m ) 1 2m 令h(m) ln m，因为h(1) 0，h(2) ln 20， 1 2m 1 2 1 4 且h(m)在(0，)上是减函数，所以当m2时，h(m)0. 所以整数m的最小值为2. 方法二：由F(x)mx1恒成立，知m (x0)恒成立， 2ln xx1 x22x 令h(x) (x0)， 2ln xx1 x22x3 则h(x) ， 2x12ln xx x22x2 令(x)2ln xx，因为 ln 40，(1)10，且(x)为增函数， ( 1 2 ) 1 2 所以存在x 0 ，使(x 0 )0，即2ln x 0 x 0 0. ( 1 2 ，1 ) 当 xx 0 时，h(x)0，h(x)为增函数； 1 2 当x 0 x时，h(x)0，h(x)为减函数 所以h(x) max h(x 0 ) ，而x 0 ，所以 (1,2)， 2ln x02x02 x2 02x0 1 x0 ( 1 2 ，1 ) 1 x0 所以整数m的最小值为2.
