第6章 曲线、 曲面及其绘制.ppt

1、第6章 曲线、 曲面及其绘制,6.1 概述 6.1 规则曲线的绘制 6.1 拟合曲线 6.3 Bzier曲线 6.4 B样条曲线 6.6 拟合曲面,6.1 概 述,1.曲线、 曲面的分类规则曲线:具有确定描述函数的曲线， 如圆锥曲线、 正弦曲线、 渐开线等。拟合曲线:由离散的特征点（或称为型值点）构造函数来描述的曲线。 也称自由曲线。,2.插值与逼近按照曲线（或曲面）与特征点的位置关系划分， 拟合曲线（或曲面）可分为插值曲线（或曲面）与逼近曲线（或曲面）。 若由特征点构造的曲线（或曲面）通过所有的特征点， 则称其为插值曲线（或曲面）。 若由特征点构造的曲线（或曲面）不通过或部分通过特征点， 并

2、在整体上接近这些特征点， 则称其为逼近曲线（或曲面）。,3.曲线、 曲面的光顺由特征点构造的曲线、 曲面应尽量满足光顺的要求， 这样才能达到美观的效果。 曲线、 曲面的光顺分为平面曲线光顺、 空间曲线光顺以及曲面光顺。 平面曲线光顺的准则有三条： 曲线C2（即二阶导数）连续、 没有多余拐点（凹凸）、 曲率变化较均匀（鼓瘪）。,4.样条曲线与曲面样条曲线是由若干个n次曲线段连接而成的拟合曲线， 且在连接处达到n-1阶导数连续（通常取n=3）。 样条曲面是由若干张n次曲面片连接而成的拟合曲面， 且在连接处达到n-1阶导数连续（通常取n=3）。,5.几何连续性为了达到整条曲线或整张曲面光顺的要求，

3、在连接点处应满足拼接条件， 我们称之为几何连续性。(1) 位置连续， 用G0表示。 即两段曲线在连接点处不存在间断点。 (2) 斜率连续， 用G1表示。 即两段曲线在连接处的切线方向相同。 (3) 曲率连续， 用G2表示。 即两段曲线在连接处曲率应连续变化， 不能出现跳跃。,对于曲面， 几何连续性包括： (1) 位置连续， 用G0表示。 即两曲面片在连接处的边界应一致。 (2) 斜率连续， 用G1表示。 即在连接处， 两曲面片的切平面方向应保持一致。,6、曲线、曲面的矢量参数表示形式采用矢量参数表示曲线、曲面的缘由：（1）用坐标分量形式（无论显函数还是隐函数）描述曲线、 曲面需要用二至三个方程

4、， 而用矢量形式描述只需一个方程；（2）用坐标分量形式描述，有时曲线范围不好确定，特别当X取相等的间隔来计算点时，这些点沿曲线长度并不均匀，会影响图形输出的质量和准确性；（3）用坐标分量形式描述当曲线沿某坐标轴斜率无限大时，会造成计算机处理上的困难。,采用参数形式表示曲线、曲面优点：1、曲线、曲面方程与坐标系选择无关，可以不依赖坐标系研究图形的几何性质，这一点称为几何不变性； 2、曲线曲面上的点计算方便，边界容易确定。（因为是参数的显函数）在计算机绘图中，绝大部分的拟合曲线和曲面都采用参数形式表示。,图6.1.1 曲线的矢量参数表示,曲线的矢量参数表示法： 把曲线的动点P看作是从原点出发的位置

5、矢径的端点， 当位置矢径变化时， 动点P的轨迹就形成了一条曲线。 设曲线上任一点的位置矢径为p， 它可以表示为参数t的函数， 即p=p(t) 0t1当t=0时， p1=p(0)， 为曲线的起点； 当t=1时， pn=p(1)， 为曲线的终点。,由于曲面是一个二元函数，通常是用两簇相交的网格线表示，即将曲线的矢量参数表示法作一拓广就得到曲面的矢量参数表示法， 即p=p(u, w) 0u, w1,拟合曲线、曲面是一类很重要的曲线曲面， 常用于表示实验、 测量或计算得来的数据。插值性曲线：抛物线调配曲线、圆弧样条曲线、三次参数样条曲线、三次B样条插值曲线、三次Bzier 插值曲线等。逼近性曲线： B

6、zier曲线、B样条曲线、有理B样条曲线、最小二乘法拟合曲线等。,三次参数样条曲线,1.三次参数曲线段的矢量方程已知pi、pi+1为两个相邻的型值点， 现假设两点处的切矢量pi、 pi+1也已知， 如图6.2.1 所示， 要求构造一个三次参数曲线段。,图6.2.1 三次参数曲线段,设该段的矢量参数方程为pi(t)=Ai+Bt+Cit2+Dit3 0tti （6-1）ti可以取1， 也可以取弦长或前面各段的累加弦长。 ti值取大些， 曲线的拟合效果会好些。,实践证明， ti取弦长时拟合的曲线是令人满意的。 这里我们取弦长， 即,下面我们来确定Ai、Bi、Ci、 Di四个系数。 对式（6-1）求导

7、得,（6-2）,t=0时，,(6-3),t=ti时，,(6-4),联立式（6-3）和式（6-4）求解得,（6-5）,把式（6-5）代入式（6-1）得,0tti (6-6）,2.二阶导矢量连续性方程样条曲线要求两段三次参数曲线在连接处达到C2连续。 C2连续的前提是在连接点处达到C0及C1连续。 从上面介绍内容来看， 相邻两段的连接点是前一段的终止端点同时又是后一段的起始端点， 两段使用同一型值点的位置矢径和切矢量， 这样就满足了C0及C1连续的条件， 切矢量pi、pi+1就是利用两段曲线在连接点处达到C2连续的条件来推出的。,对式（6-2）再求导， 得pi(t)=2Ci+6Dit 0tti （

8、6-7）将式（6-7）中的i换成i-1就得到第i-1段的二阶导矢量， 即pi-1(t)=2Ci-1+6Di-1t 0tti-1 (6-8)pi为两段曲线的连接点， 在pi处第i-1段二阶导矢量为,在pi处第i段二阶导矢量为,令pi-1(ti-1)=pi(0)， 并将式（6-5）的下标作一代换， 得,（6-9）,用ti-1ti乘式（6-9）两边并经整理得,（6-10）,用ti-1+ti除式（6-10）两边， 整理后得,（6-11）,3.边界条件与补充方程边界条件主要有： 两端固定、 两端自由、 抛物端（悬臂端）以及闭合曲线。 1） 两端固定两端的切矢量p1、pn给定时称为两端固定。 两个补充方程

9、为p1=b1 (b1=p1)pn=bn (bn=pn),2） 两端自由 两端自由时， 端点二阶导数为0。 两个补充方程为,3） 抛物端 抛物端要求端点的三阶导数为0。 两个补充方程为,4） 闭合曲线闭合曲线的起始型值点p1与终止型值点pn重合， 且在该点保持C1及C2连续。 把pn-1、pn两点构造的曲线作为第n-1段， 把pn、p2两点构造的曲线作为第n段， 这两段在pn点处达到C2连续， 必然满足式（6-10）。,4.求切矢量的方程组将式（6-11）和两个补充方程联立起来就可得到一个求切矢量的n阶线性方程组：,5.三次参数样条曲线的绘制求出各切矢量后， 利用式（6-6）就可逐个绘出每段曲线

10、， 由n-1个曲线段构成了三次参数样条曲线。 在编程绘图时应将式（6-6）中的矢量化成分量形式计算。 绘制每段曲线时可以用折线来逼近， 若为平面曲线也可以在两型值点之间用一对搭接（相切）的圆弧来代替三次参数曲线， 称之为双圆弧插值。 双圆弧插值的思想是利用相邻两个型值点及求出的型值点切矢量来构造双圆弧， 求出每个圆弧的圆心、 半径及搭接点， 再绘出两个圆弧。 圆心、半径及搭接点的求取有些文献有专门的叙述， 这里不再介绍。,6.3 Bzier 曲 线,1.Bzier曲线的定义给定n+1个位置矢径bi(i=0, 1, ， n)， 称n次参数曲线段,(6-12）,为Bzier曲线。 其中Bi,n(t

11、)为Bernstein基函数， 这是一个权函数， 它决定了在不同t值下各位置矢径对p(t)矢量影响的大小， 其表达式为,(6-13),特征多边形 特征多边形顶点,2.二次Bzier曲线 当n=2时， 将式（6-12）、 式（6-13）展开得,（6-14）,对式（6-14）求导得,(6-15),将t=0, t=1, t=0.5分别代入式（6-14）和式（6-15）得,图 6.3.1 二次Bzier曲线,3.三次Bzier曲线及其性质 当n=3时， 将式（6-12）、 式（6-13）展开得,0t1 (6-16),对式（6-16）求一阶导数， 得p(t)=-3(1-t)2b0+3(1-4t+3t2)

12、b1+3(2t-3t2)b2+3t2b3 （6-17）,1） 端点性质当t=0时， p(0)=b0p(0)=3(b1-b0) 当t=1时， p(1)=b3p(1)=3(b3-b2),图6.3.2 三次Bzier曲线,2） 对称性现在， 我们保持Bzier曲线各顶点bi位置不变， 只把顶点次序颠倒过来， 结果得到一个新特征多边形， 其顶点记为b*i且bi=b3-i(i=0, 1, 2, 3)， 如图6.3.2所示。 由新特征多边形构造的Bzier曲线为 p*(t) =(1-t)3b*0+3t(1-t)2b*1+3t2(1-t)b*2+t3b*3=(1-t)3b3+3t(1-t)2b2+3t2(1

13、-t) b1+t3b0 =p(1-t) 0t1,3） 其他性质Bzier曲线的其他性质指直观性（逼近性）、 几何不变性、 凸包性及保凸性等。 凸包性是指Bzier曲线落在由特征多边形构成的凸包（包含特征多边形的最小凸多边形或最小凸多面体称为凸包）之中。 保凸性是指若特征多边形为凸， 则Bzier曲线也为凸， 如图6.3.3所示。,4.Bzier曲线的拼接Bzier曲线只是一个曲线段。 仅用一个曲线段（不管是低次还是高次Bzier曲线）来描述几何外形或进行图案设计是极其困难的， 只有把若干个Bzier曲线段拼接成Bzier样条曲线方可用于几何设计。 两端曲线在拼接处必须满足几何连续性。,图 6.

14、3.3 Bzier曲线的拼接,G0连续 G1连续,5. Bzier曲线绘图程序设计以平面三次Bzier曲线为例。 设b0=(x0, y0), b1=(x1, y1),b2=(x2, y2), b3=(x3, y3),p(t)=(x, y)按t的升幂排列并写成坐标分量形式就得到三次Bzier曲线的坐标分量表示形式。 思考：Bzier曲线的优点：？Bzier曲线的缺点：？,6.4 B 样 条 曲 线,1. B样条曲线的定义给定m+n+1 个位置矢径bk(k=0, 1, , m+n), 称n次参数曲线,0t1， i=0, 1, , m （6-18）,为n次B样条的第i段曲线。 它的全体（m+1段）称

15、为n次B样条曲线。 其中， Fl,n(t)为权函数（即B样条基函数）， 其表达式为,l=0, 1, , n （6-19）,2. 二次B样条曲线由B样条曲线定义可知， 二次B样条曲线段由三个顶点来定义。 令n=2, i=0， 将式（6-18）、 （6-19）展开便得二次B样条曲线段的表达式,将上式求导， 得p(t)=(t-1)b0+(-2t+1)b1+tb2,t=0时，,t=0.5时，,t=1时，,图6.4.1 二次B样条曲线,3.三次B样条曲线及其性质取三次B样条曲线第一段来讨论。 令n=3， i=0, 将式（6-18）、 式（6-19）展开得,（6-20）,这就是三次B样条曲线的数学表达式，

16、 它是由b0、 b1、 b2、 b3四个顶点来定义的， 其特征多边形如图6.4.2所示。,1） 端点性质 t=0时，,t=1 时，,2） 三次B样条曲线段在连接处达到C2（G2）连续再增加一个三次B样条曲线段， 根据B样条曲线的定义， 此段由b1、 b2、 b3、 b4四个顶点定义， 前三个顶点已有， 故只需增加一个顶点b4， 如图6.4.2所示。该点和其前三个顶点便产生一个曲线段，若干个这样的曲线段首尾相连形成一条闭合的C2连续的样条曲线。,3） 局部性从B样条曲线定义可知， 改动特征多边形的一个顶点， 只影响以该点为中心的邻近n+1 段曲线的形状。 对三次B样条曲线而言， 只影响4段。 这

17、个性质给曲线的局部修改带来了方便。,4） 直观性B样条曲线的形状取决于特征多边形， 而且曲线和多边形相当逼近， 因此根据特征多边形的形状和走向就可推知B样条曲线的形状和走向。 图6.4.3是几种拟合曲线逼近性的比较， 从图中可看出， B样条曲线的逼近性优于Bzier曲线。,图6.4.3 几种拟合曲线的逼近性,4.B样条曲线的造型技巧1） 构造直线段 如图6.4.4(a)所示。2） 样条曲线与特征多边形边相切 方法为相邻三顶点共线或两个顶点重合， 如图6.4.4(b)、 (c)所示。,3） 样条曲线通过某一顶点或形成一个尖角方法为相邻三个顶点重合， 如图6.4.4(d)所示。 4） 构造通过特征

18、多边形起点和终点并与相应边相切的样条曲线如图6.4.4(e)所示， 要构造符合要求的三次B样条曲线， 需要外延两个顶点b-1、bn+1。 根据端点性质，b-1、bn+1应满足,5） 构造闭合曲线构造闭合曲线的方法是沿特征多边形重复取点， 直到样条曲线闭合为止， 如图6.4.4(f)所示。,【例 6.1】 用三次B样条曲线设计图6.4.5(a)所示的花瓣图案。,一瓣的特征多边形设计， 其中b3、 b5、 b7三个顶点在边上的位置将会影响花瓣两个弯角离b4、 b6两个顶点的远近。 一瓣由11个顶点定义， 含有8个曲线段， 图中两个圆点之间为一段。 这8段构成如下：b0b1b2b3、 b1b2b3b

19、4、 b2b3b4b5、 b3b4b5b6、 b4b5b6b7、 b5b6b7b8、 b6b7b8b9、 b7b8b9b10。,5.B样条曲线绘图程序设计只要编出绘制B样条曲线段的程序， 经过若干次调用便可绘出B样条曲线。 这里以平面三次B样条曲线为例。 设b0=(x0, y0), b1=(x1, y1),b2=(x2, y2), b3=(x3, y3), p(t)=(x, y),把式（6-20）写成坐标分量形式,6. B样条曲线的反算 在B样条曲线的应用研究中， 除了造型及特征多边形设计外， 另一类应用就是B样条曲线的反算问题。 所谓反算就是已知一系列型值点pi(i=1, 2, , n-1)

20、, 构造一条三次B样条曲线使之通过这些点， 其实质是求解对应这条B样条曲线的特征多边形各顶点bi(i=0, 1, , n)， 如图6.4.6所示。 反算问题也称为样条插值。,图6.4.6 B样条曲线的反算,假设pipi+1段曲线由bi-1、bi、bi+1、bi+2四个顶点定义， 根据端点性质得bi-1+4bi+bi+1=6pi (i=1, 2, , n-1) （6-21）,这些方程共有n-1 个， 而顶点数为n+1 个， 尚需根据边界条件补充两个方程。 边界条件除了6.2节介绍的几种外， 这里， 还可以采用两端各外延增加一点（如造型技巧之四）或两端取两重顶点的方法。 对闭合曲线可以采用造型技巧

21、之五的方法。 例如， 对两端自由的边界条件， 根据端点性质可得到两个补充方程： b0-2b1+b2=0bn-2-2bn-1+bn=0,（6-22）,7. AutoCAD的SPLINE命令AutoCAD提供的SPLINE命令用来绘制平面或空间非均匀有理B样条曲线(即NURBS曲线)。 该命令绘制曲线需要的条件是： 特征点、 起点和终点的切线方向、 曲线偏离特征点的误差系数（Fit tolerance）。 误差系数为0（默认情况）时绘制插值曲线， 为正数时绘制逼近曲线。AutoCAD 2002还有编辑样条曲线SPLINE的专用命令SPLINEDIT， 它可以移动控制点、 封闭/打开样条曲线、 删除

22、/添加拟合点等。,6.6 拟 合 曲 面,6.6.1 Coons曲面 Coons曲面是由四条边界曲线定义的插值曲面片， 曲面片通过四条边界线。 常用的Coons曲面为双三次Coons曲面， 它是三次参数样条曲线的拓广。 双三次Coons曲面由四个角点的位置矢、 两个方向（参数u、 w方向）切矢以及扭矢来定义（这与由四条边界曲线定义是等价的）， 如图6.6.1所示。,图 6.6.1 Coons曲面片,6.6.2 Bzier曲面 Bzier曲面是Bzier曲线的拓广。 给定(m+1)(n+1)个空间矢径bij(i=0, 1, , m; j=0, 1, , n)， 称mn次参数曲面片,0u, w1,

23、当m=n=3 时， 上述曲面片称为双三次Bzier曲面。 即,0u, w1,其中,图 6.6.2 双三次Bzier曲面片,6.6.3 B样条曲面 样条曲面是样条曲线的拓广。 给定(m+1)(n+1)个空间矢径bij(i=0, 1, , m; j=0, 1, , n), 称mn次参数曲面片,0u, w1,当m=n=3 时， 上述曲面片称为双三次样条曲面片。 即,0u, w1,其中,图 6.6.3 双三次B样条曲面片,6.6.4 用AutoCAD绘制拟合曲面 1. EDGESURF(Coons曲面)命令EDGESURF命令可绘制Coons曲面。 这里的Coons曲面与6.5.1中的不同， 它的已知

24、条件为四条相接的边界曲线， 称之为简单Coons曲面片或具有指定边界曲线的Coons曲面片。 EDGESURF命令通过选择条相连的边构造出Coons曲面片。 对照图6.6.4(a)， 命令操作如下：,Command: EDGESURFSelect object 1 for surface edge: 点P1（选第1条边）Select object 2 for surface edge: 点P2（选第2条边）Select object 3 for surface edge: 点P3（选第3条边）Select object 4 for surface edge: 点P4（选第4条边）绘制结果如图6

25、.6.4(b)所示。 菜单操作： DrawSurfacesEdge Surface,图 6.6.4 Coons曲面,EDGESURF命令中的每条边界曲线可以是直线（2维或3维）、 弧、 样条曲线、 非闭合多义线（2维或3维）， 但必须为一个图形实体。 四条边界曲线一定要互相连接， 否则系统会提示连接不上的错误。 如果用户只有相互连接的三条边界曲线， 可以将其中一条边界曲线分成两个图形实体。,EDGESURF命令中四条边界曲线的选择顺序是任意的， 但选择的第一条边将成为参数u的方向， 靠近用户选择点的那个端点为u的起点。 与第一条边相连的那两条边为参数w的方向， 连接处为w的起点。 网格密度由系

26、统变量SURFTAB1和SURFTAB2控制， 前者控制u方向的网格的格子数， 后者控制w方向网格的格子数。 在执行EDGESURF命令之前先设置这两个系统变量的值。,2. 3DMESH命令和PEDIT命令 这两个命令配合使用可生成拟合曲面。 3DMESH命令生成特征网格， PEDIT命令拟合特征网格产生拟合曲面。 PEDIT命令的选项（Smooth surface）生成拟合曲面。 这里的拟合曲面可以是Bzier曲面（任意次数的曲面）、 双二次样条曲面、 双三次样条曲面， 由系统变量SURFTYPE控制。 当SURFTYPE的值为时产生双二次样条曲面， 值为时（初值）产生双三次样条曲面， 值为

27、时产生Bzier曲面。 SURFTYPE的值应在执行PEDIT命令之前设置。,(1) 3DMESH(三维网格)命令。 参照图6.6.5， 命令操作如下： Command: 3DMESHEnter size of mesh in M direction: 4(M方向顶点数)Enter size of mesh in N direction: 5(N方向顶点数)Specify location for vertex (0, 0): 192, 100, 0(b00点)Specify location for vertex (0, 1): 203, 113, 0(b01点)Specify locati

28、on for vertex (0, 4): 200, 137, 0(b04点),Specify location for vertex (1, 0): 213, 106, 0(b10点)Specify location for vertex (1, 4): 212, 137, 0(b14点)Specify location for vertex (2, 0): 224, 106, 0(b20点)Specify location for vertex (2, 4): 228, 137, 48(b24点)Specify location for vertex (3, 0): 236, 106, 0

29、(b30点)Specify location for vertex(3, 4): 241, 137, 0(b34点),绘制结果如图6.6.5(a)所示， 这是一个俯视图。 用VPOINT命令取轴测投影得图6.6.5(b)。 菜单操作： DrawSurfaces3D Mesh,图 6.6.5 特征网格绘制,(2) PEDIT命令拟合曲面。为了得到图6.6.6(a)所示的双二次样条曲面， 先修改系统变量SURFTYPE的值。 Command: SETVAREnter variable name or?： SURFTYPEEnter new value for SURFTYPE: 5,然后执行PEDIT命令作拟合曲面。 Command: PEDITSelect polyline orMultiple: 选择图6.6.5(b)网格Enter an optionEdit vertex/Smooth surface/Undo: SEnter an optionEdit vertex/Smooth surface/Undo: ,图 6.6.6 曲面 (a) 双二次B样条曲面； (b) 双三次B样条曲面； (c) Bzier曲面,题图 6.2,题图 6.3,题图 6.4,题图 6.5,题图 6.7,