1、现代控制理论 Modern Control Theory (14),俞 立浙江工业大学 信息工程学院,爱克曼（Ackermann）公式 闭环系统特征多项式：记闭环状态矩阵 ， 应用凯莱哈密尔顿引理，闭环状态矩阵满足问题：以上构成了关于增益矩阵K的一个方程，如何从 中确定增益矩阵K？,需要设法把增益矩阵K分离出来！ 以一个三阶系统为例来说明从关系式分别乘以 ，再相加可得,设法将包含增益矩阵K的进行分类合并,由能控性，可得爱克曼公式,例 对传递函数描述的二阶系统 ，确定一个状态 反馈控制律，使得闭环极点位于 解 期望闭环多项式：对象的状态空间实现：能控性矩阵：爱克曼公式：,关于极点配置问题： 1。
2、n个极点，以共轭对的形式出现； 2。主导极点； 3。考虑到零点的影响； 4。系统响应速度并非越快越好； 5。单输入系统，极点配置不影响零点分布； 6。单输入能控系统，控制器惟一，多输入系统则不惟一 7。区域极点配置。 不足：需要用到全部状态。,5.3.5 应用MATLAB求解极点配置问题 提供了两个函数： acker:基于爱克曼公式，适用于单输入系统，多重极点 place:适用于多输入系统，相同极点个数不超过B的秩 对单输入系统，所得的K是一致的 K=acker(A,B,J) K=place(A,B,J)检验：eig(A-B*K) 极点配置的优点：可以改善系统的稳定性、动态性能,控制系统设计的
3、目标闭环系统稳定；闭环系统具有满意的过渡过程； 采用的方法线性定常系统，系统极点决定了稳定性和动态性能极点配置 设计的控制器状态反馈控制器：,例 已知被控对象的状态空间模型为 设计状态反馈控制律，使得闭环极点为-4和-5，并讨 论闭环系统的稳态性能。系统的开环极点是-1和-3，现在要求将闭环极点 配置在-4和-5位置上，加快响应速度！采用极点配置方法可得,状态反馈增益矩阵是检验闭环系统的稳态性能 利用终值定理方法！ 闭环系统状态矩阵闭环传递函数当参考输入为单位阶跃信号时，系统输出的稳态值存在稳态误差,开环系统是稳定的，且开环传递函数 开环系统的稳态输出 闭环系统的稳态输出,开环系统的单位阶跃响
4、应,闭环系统的单位阶跃响应,无静差,有静差,结论：极点配置改善了系统的动态性能；有可能降低系统的稳态性能，一个无静差的系统产生了静差。 怎么办？抛弃！改良！ 问题：如何在改善系统动态性能的同时，又不降低稳态性能呢？,跟踪控制器设计 考虑系统 参考输入： 外部扰动： 特点：都是阶跃信号（为了处理的简单） 问题：设计控制器，使得系统是稳定的，且具有期望的过渡过程特性；在存在扰动下，系统输出跟踪参考输入。,消除误差的办法：积分器！ 定义误差向量： 引入误差的积分：对多输出系统： 将积分器的输出作为状态，可得增广系统,引入了积分器,对增广系统首先必须是稳定的！ 设计状态反馈控制律使得闭环系统是稳定的。
5、 进而分析稳态性能：求拉氏变换，得到,参考输入和外部扰动都是阶跃信号时，由终值定理即x和q趋向于常值。从而 和 趋于零。结论：针对增广系统，设计状态反馈控制律，使得闭 环系统渐近稳定，对应的系统无静态误差。 若还需要系统有期望的过渡过程特性，则可极点配置！,条件：增广系统能任意配置极点的条件是系统能控。 定理 增广系统能控的充分必要条件是 （1）原来系统是能控的（2） ， ，在对原系统进行极点配置时，也需要能控性！ 条件（2）的解释： m是输入的个数，r是输出的个数。：输入个数不少于输出个数：所有的测量输出都是独立的,（2） ， ，证明：能控原系统的能控性 行向量线性无关，是行满秩的,S1,最
6、后边的秩是n+r,跟踪外部参考输入的控制律是比例积分控制器！,例 已知被控对象的状态空间模型为 开环极点是-1和-3。状态反馈控制律 使得 闭环极点为-4和-5，改善了系统的衰减速度。,开环系统的单位阶跃响应,闭环系统的单位阶跃响应,解决方法：引进误差的积分增广系统模型 增广系统能控,设计要求：保持原闭环极点4，5；增加一个增广闭环极点8。 利用Matlab可得： K=-17.6667 13.0000 53.3333 跟踪控制律比例积分控制器。,单位阶跃响应：改善动态性能消除静态误差,开环系统的单位阶跃响应,跟踪控制器的闭环系统,极点配置的闭环系统,结论通过对增广系统进行极点配置，设计一个比例加积 分的控制器，实现了闭环系统具有期望的过渡过程特性；无稳态误差。 改进了极点配置算法！ 进一步的问题？控制器是 需要用到系统状态的信息。如果状态不是物理量、或者 不可测，怎么办？,
