1、- 1 -,第四节 重积分的应用,曲面的面积物理应用,- 2 -,1. 能用重积分解决的实际问题的特点,所求量是,对区域具有可加性,从定积分定义出发 建立积分式,用微元分析法 (元素法),分布在有界闭域上的整体量,3. 解题要点,画出积分域、选择坐标系、确定积分序、,定出积分限、计算要简便,2. 用重积分解决问题的方法,- 3 -,已经学过的利用重积分解决的问题,1 平面区域,的面积,2 曲顶柱体的体积,3 平面薄片,的质量,4 空间物体,的体积,5 空间物体,的质量,- 4 -,例1 求物体,的体积。,解,在球坐标系下空间立体,所占区域为,则立体体积为,- 5 -,一 曲面面积,设光滑曲面,
2、则面积 A 可看成曲面上各点,处小切平面的面积 d A 无限积累,设它在 D 上的投影为 d ,则,而成.,(称为面积元素),- 6 -,故有曲面面积公式,即,若光滑曲面方程为,则有,若光滑曲面方程为,则有,- 7 -,例2 求球面,为平面,所夹部分的曲面面积。,解,- 8 -,例3 求圆锥面,夹在两圆柱面,之间的那部分面积,解,落在,内的那部分面积,- 9 -,例4 求球面,的面积。,解法一,球面的面积为上半球面,的两倍，,由于,其在,无界，,所以取,- 10 -,解法二,设球面方程为,球面面积元素为,利用球坐标方程.,- 11 -,二 物理应用,1 物体的质心,设平面有n个质点,其质量分别
3、,由力学知, 该质点系对y, x 的静矩,分别位于,为,为,如果把质点组的质量集中在一点,使得质点组,对各坐标轴的静矩等于质点组的质量集中在该点后对,相同的轴的静矩，,那么该点就称为该质点组的质心，,因此,- 12 -,如果xoy面薄片D，,面密度函数为,则在D上任,取含有点,的面积元素,则其对y，x的静矩分别,为,薄片D,对y，x的静矩为,薄片D的总质量为,- 13 -,其中A 为 D 的面积,得D 的形心坐标:,质心坐标为,- 14 -,同理可得体密度为,的空间物体,的质心,- 15 -,则得形心坐标：,- 16 -,例5 求位于两圆,和,的形心.,解: 利用对称性可知,而,- 17 -,
4、例6 设面密度函数为,求由,围成的三角形簿片的质心。,解,- 18 -,例7,求由,所围均匀物体的,质心,解,设物体体密度为,由对称性,- 19 -,2 转动惯量,质量为m的质点M对定轴l的转动惯量为,设物体占有空间区域 , 有连续分布的密度函数,该物体位于(x , y , z) 处,因此物体 对 z 轴 的转动惯量:,的微元,故连续体的转动惯量可用积分计算.,对z 轴的转动惯量为,- 20 -,类似可得:,对 x 轴的转动惯量,对 y 轴的转动惯量,对原点的转动惯量,- 21 -,如果物体是平面薄片,面密度为,则转动惯量的表达式是二重积分.,分别称为对,面的转动惯量。,则,- 22 -,例8
5、 求由,所围的均匀薄片对,轴的转动惯量。,解,- 23 -,例9 求密度为 的均匀球体对于球心的一条轴l的转动惯量.,解：,所求转动惯量即球体对于z轴的转动惯量为,取球心坐标原点，z轴与轴l重合，又设球的,半径为a，,其中 为球体的质量.,则球体所占空间闭区域,- 24 -,例10,求均匀圆柱体,对yoz,面,的转动惯量。,解,设体密度为,- 25 -,3 引力,量的质点的引力近似地为,设物体占有空间有界闭区域，,它在点(x,y,z) 处的,密度为,并假定,在上连续.,在物体,内任取一直径很小的闭区域dv (这闭区域的体积也记作,dv)，,(x,y,z)为这一小块中的一点.,把这一小块物体的质量,dv近似地看作集中在点(x,y,z)处.,于是按两质点间的引,力公式，,可得这一小块物体对位于,处单位质,- 26 -,其中,为引力元素,在三个坐标轴上的,分量，,G为引力常,数.,将,在上分别积分，即得,设有一平面薄片，占有,面上的闭区域,度为,面密,则该薄片对质量为m的质点,的引力为,- 27 -,- 28 -,例10 求均匀圆柱体,对位于在,原点处的单位质点的引力,解,由对称性知,
