1、微积分A(3),1,1,第八章 重积分,微积分A(3),2,特点: 平顶.,特点: 曲顶.,1. 引例:,曲顶柱体,1 二重积分的概念与性质,一、二重积分的概念,(1) 曲顶柱体的体积,微积分A(3),3,D,S,元素法,1 分割：任意分割区域 D,2 近似,曲顶柱体的体积,i,微积分A(3),4,D,3 求和：,2 近似：,元素法,曲顶柱体的体积,i,1 分割：任意分割区域 D,微积分A(3),5,D,3 求和：,4 取极限：,令分法无限变细,i,2 近似：,元素法,曲顶柱体的体积,V =,令,1 分割：任意分割区域 D,微积分A(3),6,D,3 求和：,4 取极限：,令分法无限变细,2
2、近似：,元素法,曲顶柱体的体积,V =,令,1 分割：任意分割区域 D,微积分A(3),7,3 求和：,4 取极限：,令分法无限变细,V,2 近似：,元素法,曲顶柱体的体积,V =,令,1 分割：任意分割区域 D,微积分A(3),8,(2) 求平面薄片的质量,将薄片分割成若干小块,取典型小块, 将其近似 看作均匀薄片,所有小块质量之和的 极限等于薄片总质量,微积分A(3),9,2. 二重积分的定义,设 f (x, y) 是有界闭区域 D 上的有界函数,(1)任意分割 D 为 n 个小区域:,(2)任取一点,(3)作和,(4)记,则称此极限值为函数,f (x, y) 在闭区域 D 上的二重积分.
3、,微积分A(3),10,记作,积分和,微积分A(3),11,说明:,1. 二重积分值与 D 的分法及点,的取法无关;,平行于 x 轴与 y 轴的直线来划分 D.,直角坐标系,在直角坐标系中, 常取,D,中的面积元素,微积分A(3),12,二重积分是个数值, 它仅与 f (x, y) 与 D,有关, 而与积分变量的记号无关, 即,3. 若 f (x, y) 在有界闭区域 D 上连续, 则,必存在.,当 f (x, y) 在 D 上的二重积分存在时,也称 f (x, y) 在 D 上可积.,2.,微积分A(3),13,4. 二重积分的几何意义:,表示 D 上的曲顶柱体体积的代数和.,曲顶柱体体积,
4、平面薄片质量,5.,微积分A(3),14,二、二重积分的性质,2.,3.,1.,k,k,(k为常数),即二重积分关于积分区域具有可加性。,微积分A(3),15,4.,5.,若在 D 上,特殊地,微积分A(3),16,微积分A(3),17,6., 二重积分的估值定理,微积分A(3),18,微积分A(3),19,（二重积分的中值定理）,7.,【 定积分中, 区间长度 】,设 f (x, y) 在闭区域 D 上连续,则至少存在一点,使,微积分A(3),20,8. 二重积分的对称性,微积分A(3),21,（1）设区域 D 关于 x 轴对称,当 f (x, y) 关于变量 y 为偶函数时, 有,x,y,
5、当 f (x, y) 关于变量 y 为奇函数时, 有,D上,微积分A(3),22,（2）若区域 D 关于 y 轴对称,当 f (x, y) 关于变量 x 为偶函数时, 有,x,当 f (x, y) 关于变量 x 为奇函数时, 有,y,D右,微积分A(3),23,（3）若区域 D 关于直线 y = x 对称, 则,（4）若区域 D1、D2 关于直线 y = x 对称,则,（3）与（4）均称为轮换对称性.,微积分A(3),24,例3. 利用被积函数的奇偶性及区域的对称性, 说明下列积分等式。,（1）,其中D是半圆形闭区域：,（2）,其中D：,（3）,其中D：,D1：,微积分A(3),25,2. 二
6、重积分的计算法,一、 利用直角坐标计算二重积分,微积分A(3),26,a,b,D,X型区域,x,a,b,x0,D,微积分A(3),27,一般, 用任一 x 处平面截柱体:,微积分A(3),28,当被积函数,均非负,在 D 上变号时,因此上面讨论的累次积分法仍然有效.,由于,微积分A(3),29,X型区域,先对 y 后对 x 的二次积分,(1),x,微积分A(3),30,c,d,D,Y型区域,同理可得:,先对 x 后对 y 的二次积分,y,微积分A(3),31,说明：,当垂直于 x 轴(或 y 轴)的直线与 D 的边界,交点多于两个,使直线与每个小区域,如:,D = DI + DII + DII
7、I .,I,II,III,x,y,多于两个.,则将 D 分成若干小区域,的边界曲线的交点不,微积分A(3),32,微积分A(3),33,微积分A(3),34,例2.,改变下列积分次序:,微积分A(3),35,微积分A(3),36,微积分A(3),37,(1),注意: 积分次序的选择的重要性.,计算下列二重积分:,例3.,微积分A(3),38,(2),微积分A(3),39,计算下列二重积分:,例4.,微积分A(3),40,(2),微积分A(3),41,(3) 计算,其中 D 由,所围成.,微积分A(3),42,例5.,微积分A(3),43,思考,设,且,求,微积分A(3),44,0,D,用坐标线
8、: =常数；r =常数分割区域 D,i,ri,ri+ri,i,i,i +i,ri,r,二、利用极坐标计算二重积分,微积分A(3),45,极坐标系下的面积元素,0,D,i,ri,ri+ri,i,i,i +i,ri,r,二、利用极坐标计算二重积分,微积分A(3),46,怎样利用极坐标计算二重积分,极点不在区域 D 的内部,0,A,B,F,E,D,D:,r,r,微积分A(3),47,极点位于区域 D 的内部,0,D,r,D:,r,怎样利用极坐标计算二重积分,微积分A(3),48,I =,微积分A(3),49,微积分A(3),50,微积分A(3),51,例2. 将积分化为极坐标形式,原式,(1),微积分A(3),52,(2),微积分A(3),53,微积分A(3),54,例4. 设 f (x, y) 在 xoy 平面上连续,(t 0为参数),求,
