1、高等数学理学院学生学习与发展中心高等数学1.对于数列 ，试证明 ，并1nx axaxnknn limlilim1-22k以此说明 极限不存在。1)(-nn解：充分性显然成立必要性 极 限 不 存 在 。 时 ，当时 ，当 得 证 。成 立 ，有 时 ， 当， 取和时 有当 成 立 ， 取时 ， 有当同 理 时 ， 有当对 ,1-lim )1-(1-2,1lim,2kn limlili- NnKN- ,ax,0 -,0,lim2-k212 212 1211kn nknn nkkk kknx xxxaaxxaxK k 2.对于数列 ，试证明 。1nUaUannlimli证明： aaa Nnnnn
2、n li- -,0,li 成 立 成 立时 ， 有当对 于 ）（则若 A,1)31(.3limxxA.1 B.-1 C.0 D. 都不对高等数学理学院学生学习与发展中心214*)sin(2i*s2incos1inta.40020lmlxxxxxxx42020)1()(.5lilieexexxxxxP3 nnnn xxxx lim),2,1()(21,0.61 证 明 该 数 列 收 敛 ， 并 求满 足 ：设 数 列 1,1, 1)(2,)0()-1(2- 1limli111 nxn nxn nnnxxx该 数 列 收 敛 ，则若 收 敛 ，从 第 二 项 起 单 调 有 界 ， 成 立递 减
3、 ， 且 有则从 第 二 项 起 ， 若又 ，于 等 于成 立 ， 即 从 第 二 项 起 大证 明 ：)?(0)(,0)(.7 Bff 处 连 续在下 列 哪 个 条 件 可 以 得 到已 知高等数学理学院学生学习与发展中心0)1(.-.)sin(01-co.liml002nfDeCxfBAxxx 3()(),(,(.8 321321 ）使 得证 明 存 在上 连 续 ，） 在设 xffxfcfbacbxabaf .3()(),( ()(, 321 321）使 得即 ）间 的与 最 小 值上 取 得 最 大 值必 能 在上 连 续 ，在证 明 ： xffxfcfbac fffmMaxf 不
4、可 导在 点不 可 导 ， 则在 点可 导 ，在 点若判 断 ： 设 000,.9 xff 处 不 可 导 。在 点假 设 不 成 立 不 可 导 矛 盾 ，在 点可 导 ， 与可 导 ， 即处 可 导 ， 则在正 确 。 假 设0 0-xf xf)ln(.102eyx求 导P5 )(ln(1)l()(2 2 xxx effxfefefy 21.1 dyyy 数所 确 定 的 函 数 的 二 阶 导求 由 方 程 322 )-1()-(1)-1(lnl -1xexeyyxexeyyyy yy求 导两 边 取 对 数解 ： 两 边 同 时 求 导 有 且 只 有 三 个 实 数 根证 明 方 程
5、.12高等数学理学院学生学习与发展中心).(,1(arctn)(,42)1()(.13 xfxFfFxfF 求的 一 个 原 函 数 ， 且为设 xxfxF CFCttdt txdxxf Cdd)1(2-)(arctn2)(04)arcn(arcrn2,1t)( )2)(22 +=+=+=得代 入 令解 ：14.数列 有界， =0，则 =0. nXlimnyliny（附：数列极限定义的“-N”语言：对任一给定的正数 若存在正整数 N，使当 nN 时，恒有 AXn，则称 A 为数列 nX的极限。）证明：Xn有界，则 M，使|Xn| M又 =0，nlimy， ，当 nN 时0有 =ny从而此时有：
6、 Myxn=0. .nlimny三 个 实 数 根 。综 上 ， 该 方 程 有 且 只 有 个 根至 少 有且至 多 有 三 个 根 ， 又 假 设 不 成 立 。使 必 存 在上 连 续 可 导在使 必 存 在上 连 续 可 导 ，在使 必 存 在上 连 续 可 导 ，在 则 有假 设 方 程 有 四 个 根 为证 明 ： 令 3)(,0)5(,)(,0)(0)( ln2)(,0)(, ,2-l ),(,)( ),(),()(,1-236546 54325 214321 43322143 214321ffffxf xff Rfxfff xxRxx fff x 高等数学理学院学生学习与发展中
7、心15. （指数有二次方，底数却为一次方，需统一）xx2cots0lim= xx2sinco0li= 2cossin12limx= 32cossin122i0li xxx= 2coslime=1（利用几个基本极限中， ）.exx1lim10li16.设 f= ，若 f 在点 x= 可导，则 在 x= 处都可导( )0x,0x证明：令 x1又 f= 2f=2x，在 x=0 处可导但 在 x=0 处无意义，即不可导,（注意：两函数相加后定义域可能改变）17.讨论下列等式是否成立高等数学理学院学生学习与发展中心arcsin（sinx）=x （ ）对于 y=sinx，x R而对于 arcsiny=x，
8、 2,（注意：等式是否成立，不仅要看左右值域是否相等，还要考虑左右定义域的大小是否相同）18.函数 = 的一个有界区间为（C）xf15lnA.(- ) B.(- )01， 5，C.(0, ) D.( )5，（注：“有界”指的是值域在一个范围内,即:f(x) M）19.试证：若 在 处存在左右导数，则 在 处连续xf0 xf0证： ,lim000 axff 令bxfxf000li0limlim00000 axffffxlili 00000 bxffxxff000lili fffx处 连 续在f高等数学理学院学生学习与发展中心（证连续：证明左右极限存在且等于 ）0xf20.若 f（x）+f(x)0，证明：y=f（x）与 x 轴至多有一个交点令 F（x）= 则 F(x)=(f(x)+f （x） )e e1) 反证法：假设有两个或两个以上的交点，则有F(x1)+F(x2)=0 令 x1 x2根据罗尔定理，则必有 （x1，x2）使：F（ ） =0 又 F （x）=(f(x)+f（x）) xe即使 f(x)+f（x）=0这与 f（x）+f(x)0 矛盾2）F(x)= 0所以 F（x）=(f(x)+f（x）) 单调递增，与 x 轴至多有一xe0个交点。又 ，则 F（x）零点个数与 f(x)零点个数相同xe0y=f（x）与 x 轴至多有一个交点高等数学理学院学生学习与发展中心
