1、 第 1 页 共 9 页高二数学竞赛曲线系曲线系是具有某种性质的曲线集合，利用曲线系解题体现了参数变换的数学思想，整体处理的钥匙策略，以及“基本量”和“待定系数”等重要的解题方法曲线系：如果两条曲线方程是 f1(x,y)0 和 f2(x,y)0, 它们的交点是 P(x0,y0)，则方程 f1(x,y) f2(x,y)0 的曲线也经过点 P(x0,y0) (是任意常数)证明：由方程 得到 f1(x,y) f2(x,y)0 只须将（x 0, y0）代入证明f1(x) 0f2(x) 0 ) 设圆 C1x2y 2D 1xE 1yF 10 和圆 C2x2y 2D 2xE 2yF 20若两圆相交，则过交点
2、的圆系方程为 x2y 2D 1xE 1yF 1 (x2y 2D 2xE 2yF 2)0(为参数，圆系中不包括圆 C2， 1 为两圆的公共弦所在直线方程 ) 设圆 Cx2y 2DxEy F0 与直线 l：AxBy C 0，若直线与圆相交，则过交点的圆系方程为x2y 2DxEyF (AxByC )0( 为参数) 曲线系方程不能包含过两曲线公共点的所有曲线，那么使用时怎么知道所求方程在不在方程中呢? mf1(x,y)nf 2(x,y)0由直线生成的二次曲线系：设 fiA i xB i yC i（i1,2,3,）（1）若三角形三边的方程为：f i0（i1,2,3） ，则经过三角形三个顶点的二次曲线系为
3、：f1f2 f2f3 f3f10（ 、 为参数）（2）若四边形四条边的方程为：f i0（i1,2,3,4） ，则经过四边形四个顶点的二次曲线系为：f1f3 f2f40（ 为参数） ，其中 f10 与 f30、f 20 与 f40 分别为四边形的对边所在直线方程（3）与两条直线 f10、f 20 分别相切于 M1、M 2 的二次曲线系为：f1f2 f3f30（ 为参数） ， 其中 f30 是过 M1、M 2 的直线方程（3）过直线 f10、f 20 与一个二次曲线 F(x,y)0 的 4 个交点的二次曲线系为：F(x,y) f1f20（ 为参数） 【例题选讲】例 1. 求经过两圆 x2y 26x
4、40 和 x2y 26y280 的交点，并且圆心在直线 xy40 上的圆的方程解： 构造方程 x2y 26x 4 (x2y 26y 28) 0即：(1 )x2(1 )y26x6 y(4 28 )0此方程的曲线是过已知两圆交点的圆，且圆心为( , )31 31 当该圆心在直线 xy 40 上时，即 40，解得： 731 31 所求圆方程为 x2y 2x 7y320例 2. 求与圆 x2y 24x 2y200 切于 A(1,3) ，且过 B(2,0)的圆的方程解法一：视 A(1,3) 为圆(x1) 2( y1) 2r 2，当 r0 时，极限圆(x1) 2(y3) 20构造圆系：(x 2y 24x
5、2y20) (x1) 2(y3) 20曲线过 B(2,0) 所求的方程为：7x 27y 2 4x18y20043解法二：过 A(1,3) 的圆的切线为： 3x4y150与已知圆构造圆系：x 2y 24x 2y20 (3x4y15)0曲线过 B(2,0) 所求的方程为：7x 27y 24x18y20087第 2 页 共 9 页例 3. 求证：两椭圆 b2x2a 2y2a 2b2、a 2x2b 2y2a 2b2 的交点在以原点为中心的圆周上，并求这个圆方程解：设(b 2x2a 2y2a 2b2) (a2x2b 2y2a 2b2)0令 1，得：(a 2b 2)(x2y 2)2a 2b2，即：(x 2
6、y 2)2a2b2a2 b2此方程为以原点为圆心的圆的方程，由曲线系知识知该圆过已知两椭圆的交点即原题得证注意：由以上分析可以看出，利用曲线系解题，可以快速求解，但有时却是失效的例 4. 求以圆 x2y 25 与抛物线 y24x 的公共弦为直径的圆的方程.解法一：联立方程 ，解得： 或 x2 y2 5y2 4x ) x1 1y1 2) x2 1y2 2)以这两点为直径的圆的方程是：(x1) 2y 24解法二：构造方程 (x2y 25) (y24x)0即：x 2(1 )y24 x50 (*)显然， 0 不是所求圆方程，而在 0 时，方程(*)已不是圆方程了 由(*)得不出所求结果例 5. 【书
7、P.131/16】过不在椭圆 上任一点 P 作两条直线 l1、l 2 分别交椭圆于 A、Bx2a2 y2b2 1(a b 0)和 C、D 四点，若 l1、l 2 的倾斜角分别为 、，且 ，求证：A、B、C、D 四点共圆解法一：【直线的参数方程】设 P(x0,y0)，设 l1 方程为： （t 为参数）x x0 tcosy y0 tsin)直线 l2 方程为： （m 为参数）x x0 mcosy y0 msin)将 l1 方程代入椭圆方程得：(x0 tcos)2a2 (y0 tsin)2b2 1整理得：(a 2sin2b 2cos2)t22(a 2y0sinb 2x0cos)tb 2 a 2 a
8、2b20x20 y20|PA|PB|t 1t2| ，同理，|PC |PD|m 1m2| ，sinsin，coscos |PA|PB|PC|PD|由平面几何知识知 A、B、C 、D 四点共圆解法二：【二次曲线系】设 P(x0,y0)，记 ktan，设 l1：yk(xx 0)y 0，l 2：yk( xx 0)y 0，l 1：kxykx 0y 00，l 2： kxy kx 0y 00，过 A、B、C、D 四点的二次曲线设为： 1 (kxykx 0y 0)(kxykx 0y 0)0x2a2 y2b2 1 (kxkx 0)2 (yy 0)20x2a2 y2b2 x2 y22 k2x0x 2y0y1k 2
9、 0x20 y20 k2 时，方程为圆的方程，此时， (k21) ，即 1a2 1b2 1b2 1a2 c2a2b2(k2 1)A、B 、C、D 四点共圆yxPBCDO第 3 页 共 9 页例 6. 【2005 年湖北高考第 21 题】设 A、B 是椭圆 3x2y 2 上的两点，点 N(1,3)是线段 AB 的中点，线段 AB 的垂直平分线与椭圆相交于 C、D 两点（）确定 的取值范围，并求直线 AB 的方程；（）试判断是否存在这样的 ，使得 A、B、C、D 四点在同一个圆上？并说明理由解：（）设 A(x1,y1),B(x2,y2)，设 AB：yk(x1)3，代入椭圆得：(k23)x 22k(
10、k3)x (k3) 2 0 x 1x 2 2x N2 解得 k1，4k 2(k3) 24( k23)( k3) 2 44 244(16 )0 12直线 AB 的方程为 yx4【或】设 A(x1,y1),B(x2,y2)，由点差法【过程略】 N(1,3)是 AB 的中点， x 1x 22,y 1y 26k AB1又由 N(1,3)在椭圆内，33 2 12（下略）（）解法 1：又设 C(x3,y3),D(x4,y4)，CD 的中点为 M(x0,y0)CD 垂直平分 AB，直线 CD 的方程为 yx2，代入椭圆方程整理得：4x 24x4 0 x 3x 41x 0 ，y 0 M ( , )12 32
11、1232于是由弦长公式可得|CD| |x3x 4| 2 2( 3)将直线 AB 的方程 yx4 代入椭圆方程得 4x28x 16 0 同理可得 |AB| |x1x 2| 2 2( 12)当 12 时， |AB|CD|2( 3) 2( 12)假设存在 12，使得 A、B、C、D 四点共圆，则 CD 必为圆的直径，点 M 为圆心.点 M( , )到直线 AB 的距离为 d 1232于是，由、式和勾股定理可得|MA| 2|MB| 2d 2 2 292故当 12 时，A、B、C、D 四点均在以 M 为圆心， 为半径的圆上.【或】A、B、C、D 共圆 ACD 为直角三角形 |AN|2|CN|DN|， 【
12、相交弦定理的应用】即 2 由式知，式左边由和知，式右边 92式成立，即 A、B、C 、D 四点共圆.【或二次曲线系】AB：xy 40，CD：x y20，(xy4)(x y2)0 过 A、B、C、D 四点3x 2y 2 0 过 A、B、C 、D 四点3x 2y 2 (xy 4)( xy2) 0 过 A、B 、C、D 四点3x 2y 2 (x2y 22x 6y8)0(3 )x2(1 )y22 x6 y8 0当 3 1 ，即 1 时，方程为 2x22y 22x 6y8 0x 2y 2x3 y4 0(x )2(y )2 4 2 12 32 2 14 94 2 32A、B 、C、D 四点都在圆(x )2
13、( y )2 上12 32yxOABCDN第 4 页 共 9 页例 7. 【2010 江苏卷 18】在平面直角坐标系 xOy 中，如图，已知椭圆 的左、右顶点为x29 y25 1A、B ，右焦点为 F设过点 T(t,m)的直线 TA、TB 与椭圆分别交于点 M(x1,y1)、N(x 2,y2)，其中m0,y 11,y 20（1）设动点 P 满足 PF2PB 24,求点 P 的轨迹；（2）设 x12,x 2 ，求点 T 的坐标；13（3）设 t9，求证：直线 MN 必过 x 轴上的一定点（其坐标与 m 无关）解（1） （2）略（3）点 T 的坐标为(9,m) 直线 TA 方程为：y (x3)，T
14、B：y (x3)m6分别与椭圆 联立方程组，同时考虑到 xA3， xB3，x29 y25 1【过程略】解得：M( , )，N( , )（方法一）当 x1x 2 时，直线 MN 方程为：y (x )【整理略】令 y0，解得：x 1此时必过点 D（1，0） ；当 x1x 2 时，直线 MN 方程为：x 1，与 x 轴交点为 D（ 1，0） 所以直线 MN 必过 x 轴上的一定点 D（1，0） （方法二）若 x1x 2，则由 及 m0，得 m2 ，10此时直线 MN 的方程为 x1，过点 D（1，0） 若 x1x 2，则 m2 ，直线 MD 的斜率 kMD ，直线 ND 的斜率 kND ，10所以直
15、线 MN 过 D 点因此，直线 MN 必过 x 轴上的点（ 1，0） 解法三：由题意 TA：y (x3)，TB：y (x3)，AB ：y 0，设 MN 方程为：pxqyr0，m6上述 4 条直线两两的交点即 A、B、M、N（任三点不共线） ，则经过这四点的二次曲线可表示为： y(pxqyr)0 (pxyqy 2ry )0整理得： x2(1 q)y2( p )xy( r )y 0(*)m272 m4 m4 m28当方程(*)表示椭圆 时，比较系数得：x29 y25 1 0 MN： x y 0 mx ym 0m4 m2 4040 m4 m2 4010MN：m(x1) y0 恒过定点(1,0)m2
16、4010xBFAxyBFATMNO第 5 页 共 9 页例 8. 【2011 四川理 21】椭圆有两顶点 A(1,0) 、B(1,0)，过其 焦点 F(0,1)的直线 l 与椭圆交于 C、D 两点，并与 x 轴交于点 P，直线 AC 与直线 BD 交于点 Q（）当|CD| 时，求直线 l 的方程；322（）当点 P 异于 A、B 两点时，求证： 为定值 OP OQ解：（）设椭圆的标准方程为 (ab0) ，y2a2 x2b2 1由已知得 b1，c1，所以 a22，则椭圆方程为 x2 1直线 l 垂直于 x 轴时与题意不符设直线 l 的方程为 ykx1，联立得： (k22) x22kx1 0，设
17、C(x1,y1)，D(x 2,y2)，则 4k24( k22)8(k 21)，x 1x 2 ，x 1x2 ，|CD| |x1x 2| 1 k2由已知得 ，解得 k ，所以直线 l 的方程为 y x1322 2 2（）直线 l 垂直于 x 轴时与题意不符设直线 l 的方程为 ykx1（ k0 且 k1） ，所以 P 点的坐标为 ( ,0)1k设 C(x1,y1)，D(x 2,y2)，由（ ）知 x1x 2 ，x 1x2 ，直线 AC 的方程为：y (x1) ，直线 BD 的方程为：y (x1) ，方法一： 联立方程 ，设 Q(x0,y0)，解得 x0 ，不妨设 x1x 2，则 x0 k，Q(k,
18、y 0)，又 P( ,0)， ( k )( )011k OP OQ 1k故 为定值 OP OQ方法二： 联立方程 ，消去 y 得 ，1x 1,x21， 与 异号2 2(x1 1)(x2 1)(1 x1)(1 x2)又 y1y2k 2x1x2k (x1x 2)1 ， 与 y1y2 异号， 与 同号， ，解得 xk因此 Q 点的坐标为(k ,y0)，又 P( ,0)， 11k OP OQ故 为定值 OP OQ第 6 页 共 9 页例 9. 【2011 四川理 21】椭圆有两顶点 A(1,0) 、B(1,0)，过其 焦点 F(0,1)的直线 l 与椭圆交于 C、D 两点，并与 x 轴交于点 P，直线
19、 AC 与直线 BD 交于点 Q（）当点 P 异于 A、B 两点时，求证： 为定值 OP OQ证法三：设直线 CD 方程为：ykx1，与 x 轴交点为 P( ,0)1k直线 AC 方程为：y k 1(x1) ，直线 BD 方程为：yk 2(x1)解得：x Q ，故 k1 k2k2 k1 OP OQ k1 k2k(k2 k1)AC：k 1xyk 10，BD：k 2xyk 20，AB：y0，CD：kx y10经过 A，B，C，D 四点的二次曲线方程可设为：y(kxy1) (k1xy k 1)(k2xyk 2)0kxy y2y k1k2x2 y2 (k1k 2)xy (k2k 1)y k1k20 k
20、1k2x2 k (k1k 2)xy (1)y 2 (k2k 1)1y k1k20与椭圆 x2 1 比较系数得： k (k1 k2) 0(k2 k1) 1 0)代入 1（定值） OP OQ k1 k2k(k2 k1)第 7 页 共 9 页第 8 页 共 9 页一般地取曲线方程中的特征量（如直线方程中的斜率 k，截距 b 等）为变数时，便可得出曲线系例 10.已知有向线段 PQ 的起点 P 的终点 Q 的坐标分别为 (1,1)和(2,2) ，若直线 l：xmy m0 与 PQ的延长线相交，求 m 的取值范围分析：直线 l 变形为 x0( m0)或 y x1(m0)是过(0,1) 斜率为 的直线，1
21、m 1m只须找到与 Q 点相交、与 PQ 平行的直线的夹角范围即可解： xmym0 直线 l 经过 M(0,1) 3m13 1m 32 23思考：用定比分点的思想可以吗？例 11.平面上有两个圆，它们的方程分别是 x2y 216 和 x2y 26x 8y240，求这两个圆的内公切线方程分析：由 x2y 26x 8y240 得：(x3) 2(y4) 21，显然这两圆的关系是外切解： x 2y 26x 8y240 (x3) 2(y4) 21这两圆是外切(x 2 y26x 8y24)(x 2y 216)0 3x4y200所求的两圆内公切线的方程为：3x4y200注意：对于不同心的两个圆 C1：x 2
22、y 2D 1xE 1yF 1 0, C2：x 2y 2D 2xE 2yF 20，圆系方程 C1 C20例 12.求证：如果两条抛物线有四个交点且对称轴垂直，则此四点共圆分析：证明四点共圆，可以利用曲线系，得出一个四点满足的圆的方程即可证明：取一条抛物线的顶点为原点，对称轴为 x 轴，则它的方程为：y 22px 另一条抛物线的方程为：(xa) 22k (yb) 得：y 2( xa) 22px2k(yb)0 若和有四个解，即两条抛物线有四个交点时，这四个交点坐标一定满足方程命题成立例 13.已知 A、B 为定二次曲线 ax2bxycy 2exfyg0 (a0)上的两点，过 A、B 任作一圆，设该圆
23、与定二次曲线交于另外两点 C、D，求证：CD 有定向分析：可以把过 A、B 的曲线系表示出来，得到 C、D 满足的方程解：取 A 点为坐标原点，AB 为 x 轴，设 B 点的坐标为( l,0)，不妨假定 a1，ax 2bxycy 2exfy g 0 x 2bxy cy 2lxfy0 过 A、B 的圆的方程为：x 2y 2lxky0 过 A、B 的曲线系方程为：(x 2bxycy 2lxfy) (x2y 2lxky )0曲线也过 C、D 取 1 可得 ybx(c1)y( fk) 0 A、B 、C、D 的坐标必须满足C、D 不在 AB（即 x 轴）上 y 0CD 的方程为：bx( c1)y( fk
24、)0b, c1 都是定值 直线 CD 有定向例 14.设 0ab，过两定点 A(a,0)和 B(b,0)分别引直线 l 和 m，使与抛物线 y2x 有四个不同的交点，当这四个点共圆时，求这种直线 l 和 m 的交点 P 的轨迹分析：本题的关键是如何利用四点共圆的条件思路一：设定点的两条直线方程，引进参数 k 和 k，代入 y2x，求出四个交点，由三个交点确定一个圆，代入第四点，化简，或求出定点的两条直线的交点，用相交弦定理求解，但计算量太大、太烦思路二：利用直线系和圆系知识求解解：设 l 的的方程为：y kx ka0, m 的的方程为：y kxkb0过 l,m 与 y2x 的四个不同交点为的二
25、次曲线的方程为：( y2x) (ykx ka)( ykxk b)0(1 )y2 (kk )xy kkx2 (kak b)y kk(a b)1x kkab0 成为圆的条件是： k k 01 kk)xyOMll2l1PQ第 9 页 共 9 页两条直线的交点坐标为 P , P 点在 AB 线段的中垂线上点 P 的轨迹是直线 x 除去与 y0 或 y2x 的三个交点a b2例 15.给定曲线族 2(2sincos3)x 2(8sincos1)y0， 为参数，求该曲线族在直线 y2x 上截得的弦长的最大值分析：显然此曲线族是过原点的抛物线系解：曲线族是过原点 直线 y2x 也过原点曲线族在 y2x 上所
26、截得的弦长公取决于曲线族与 y 2x 的另一个交点的坐标将 y2x 代入曲线系得：(2sin cos 3) x2(8sin cos1)x02sincos 3 sin(arctan )30512当 x0 时，x 8sin cos 12sin cos 3令 sin , cos ，其中 utan2uu2 1 2x 2xu 22(x4)u(x1) 0 uR 且 x08u 12u2 2u 10 2(x4) 28x( x1) 0x 26x1608x2|x| max8y2x |y| max16所求弦长的最大值为 8 82 162 5练习：1、 对于边长 a、b、c( 对角依次是 A、B、C)不定且C 是钝角
27、的ABC 和直线 l：axbyc0，给出以下四个命题：l 的倾斜角是钝角； l 不穿过第一象限； l 和单位圆相切；l 过定点；其中，正确命题的个数是（） A1 B2 C3 D4 2、 在平面直角坐标系中，若方程 m(x2y 22y1) (x2y3) 2 表示的曲线为椭圆，则 m 的取值范围为（）A(0,1) B(1,) C(0,5) D(5, ) 3、 设 P1、P 2 是抛物线 x2y 的一条弦，如果 P1P2 的垂直平分方程是 yx3，则弦 P1P2 所在直线的方程是Ay x3 Byx3 Cyx2 D无法确定 4、 过圆 x2y 24x 2y0 的圆心，并且和点 A(1,2)、B(5,3
28、) 距离相等的直线 l 的方程是 5、 从点 A(4,3)向圆(x 2) 2(y1) 21 作切线，设两切点分别为 M 和 N，则过点 M，怕直线方程是 6、 从点 A(1, )向圆 4x24y 28x4y210 引两条切线，则过切点弦的方程是 127、 对于任意的 aR，曲线 ax22xyax y2a10 的所有曲线都经过两个定点，这两个定点的坐标是 8、 已知 kR，关于 x,y 的方程 y44y 3(2x2kxkx 2)y28xy (4kx 22kx 3)0 表示一组曲线，其中有一条是固定的抛物线，试讨论 k 值与曲线形状的关系答案：1、B 2、D 3、C 4、 x2 或 5x6y160 5、2x 2y70 6、不存在 7、( 1,1)和(2, ) 8、当 k1 时，表示圆和抛物线；当 k 0 且 k4 时，表示双曲线和抛物线；当 k015且 k1 时，表示椭圆和双曲线
