1、1 2.5 圆锥曲线的共同性质 学习目标 1.理解并会运用圆锥曲线的共同性质，解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问 题和实际问题.2.了解圆锥曲线的统一定义，掌握圆锥曲线的离心率、焦点、准线等概念 知识点 圆锥曲线的统一定义 思考 如何求圆锥曲线的统一方程呢？梳理 (1)圆锥曲线上的点到一个定点F和到一条定直线l(F不在定直线l上)的距离之比等 于_当_时，它表示椭圆；当_时，它表示双曲线；当_时， 它表示抛物线其中_是圆锥曲线的离心率，定点F是圆锥曲线的_，定直线 l是圆锥曲线的_ (2)椭圆 1(ab0)的准线方程为x ， 1(ab0)的准线方程为y . x2 a2 y2 b2 a2 c y
2、2 a2 x2 b2 a2 c 双曲线 1(a0，b0)的准线方程为x ，双曲线 1(a0，b0)的准线方 x2 a2 y2 b2 a2 c y2 a2 x2 b2 程为y . a2 c 类型一 已知准线求圆锥曲线的方程 例1 双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，两准线间的距离为4，且经过点A(2 ，3)， 6 求双曲线的方程反思与感悟 (1)在本例中，两准线间的距离是一个定值 ，不论双曲线位置如何，均可使 2a2 c 用 (2)已知准线方程(或准线间距离)求圆锥曲线方程，该条件使用方法有两个：利用统一定 义，直接列出基本量a，b，c，e的关系式2 跟踪训练1 已知A、B是椭圆 1上的点，F
3、2 是椭圆的右焦点，且 x2 a2 y2 9 25 a2 AF 2 BF 2 a，AB的中点N到椭圆左准线的距离为 ，求此椭圆方程 8 5 3 2类型二 圆锥曲线统一定义的应用 例2 已知A(4,0)，B(2,2)是椭圆 1内的两个点，M是椭圆上的动点 x2 25 y2 9 (1)求MAMB的最大值和最小值； (2)求MB MA的最小值及此时点M的坐标 5 4反思与感悟 (1)解答此类题目时，应注意式子中的系数特点，依此恰当地选取定义 (2)圆锥曲线的统一定义，可以灵活地将曲线上点到焦点的距离与到相应准线的距离进行转 化，从而简化解题过程 跟踪训练2 试在抛物线y 2 4x上求一点A，使点A到
4、点B( ，2)与到焦点的距离之和最 3 小3 类型三 焦点弦问题 例3 椭圆C的一个焦点为F 1 (2,0)，相应准线方程为x8，离心率e . 1 2 (1)求椭圆的方程； (2)求过另一个焦点且倾斜角为45的直线截椭圆C所得的弦长反思与感悟 (1)本例(2)中若用一般弦长公式，而不用统一定义，计算起来则复杂一些 (2)对于圆锥曲线焦点弦的计算，利用统一定义较为方便 跟踪训练3 已知椭圆的一个焦点是F(3,1)，相应于F的准线为y轴，l是过点F且倾斜角 为60的直线，l被椭圆截得的弦AB的长是 ，求椭圆的方程 16 51椭圆 1的准线方程是_ x2 25 y2 9 2如果椭圆的两个焦点将长轴三
5、等分，那么这个椭圆的两准线间距离是焦距的_ 倍 3若双曲线 1左支上的一点P到左焦点的距离为15，则点P到右准线的距离为 x2 9 y2 16 _ 4已知椭圆方程为 1，右焦点为F，A(2,1)为其内部一点，P为椭圆上一动点，为 x2 16 y2 12 使PA2PF最小，P点坐标为_ 5在平面直角坐标系xOy中，若中心在坐标原点的双曲线的一条准线方程为x ，且它的 1 24 一个顶点与抛物线y 2 4x的焦点重合，则该双曲线的渐近线方程为_5 1在学习圆锥曲线的统一定义时，应注意与前面学过的椭圆、双曲线和抛物线的定义、标 准方程、几何性质相联系，以提高自己综合应用知识的能力和解题的灵活性 2在
6、已知准线方程时，一般转化为 的数量关系，结合其他条件求出基本量a，b，c.若是 a2 c 求方程，可由准线的位置来确定标准方程的类型 3根据圆锥曲线的统一定义，可把圆锥曲线上的点到焦点的距离转化为到对应准线的距离， 这是一个非常重要的转化方法，可简化解题过程 提醒：完成作业 第2章 2.56 答案精析 问题导学 知识点 思考 如图，过点M作MHl，H为垂足，由圆锥曲线的统一定义可知MM|FMeMH 取过焦点F，且与准线l垂直的直线为x轴，F(O)为坐标原点，建立直角坐标系设点M的 坐标为(x，y)，则 OM . x2y2 设直线l的方程为xp， 则MH|xp|. 把、代入OMeMH， 得 e|
7、xp|. x2y2 两边平方，化简得(1e 2 )x 2 y 2 2pe 2 xp 2 e 2 0. 这就是圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)在直角坐标系中的统一方程 梳理 (1)常数e 01 e1 e 焦点 准线 题型探究 例1 解 (1)若焦点在x轴上，则设双曲线的方程为 1(a0，b0)，由已知得 x2 a2 y2 b2 Error! a 2 2c，b 2 c 2 a 2 c 2 2c. 代入 1， 24 a2 9 b2 整理得c 2 14c330， c3或c11. a 2 6，b 2 3或a 2 22，b 2 99. 双曲线的方程为 1或 1. x2 6 y2 3 x2 22 y2 99
8、 (2)若焦点在y轴上，则设双曲线的方程为 1(a0，b0)由已知得 1. y2 a2 x2 b2 9 a2 24 b2 将a 2 2c，b 2 c 2 2c代入 1得， 9 a2 24 b27 2c 2 13c660，0，此方程无实数解 综合(1)(2)可知，双曲线的方程为 1或 1. x2 6 y2 3 x2 22 y2 99 跟踪训练1 解 设F 1 为左焦点，连结AF 1 ，BF 1 ， 则根据椭圆定义知， AF 1 BF 1 2aAF 2 2aBF 2 4a(AF 2 BF 2 )4a a a. 8 5 12 5 再设A、B、N三点到左准线距离分别为d 1 、d 2 、d 3 ，由梯
9、形中位线定理，得d 1 d 2 2d 3 3. 而已知b 2 a 2 ， 9 25 c 2 a 2 .离心率e ， 16 25 4 5 由统一定义AF 1 ed 1 ，BF 1 ed 2 ， AF 1 BF 1 ae(d 1 d 2 ) ， 12 5 12 5 a1，椭圆方程为x 2 1. y2 9 25 例2 解 (1)如图所示，由 1得a5，b3，c4. x2 25 y2 9 所以A(4,0)为椭圆的右焦点，F(4,0)为椭圆的左焦点 因为MAMF2a10， 所以MAMB10MFMB. 因为|MBMF|BF 2 ， 422022 10 所以2 MBMF2 . 10 10 故102 MAMB
10、102 ， 10 10 即MAMB的最大值为102 ， 10 最小值为102 . 10 (2)由题意得椭圆的右准线l的方程为x . 25 48 由图可知点M到右准线的距离为MM， 由圆锥曲线的统一定义得 e ， MA MM 4 5 所以 MAMM. 5 4 所以MB MAMBMM. 5 4 由图可知当B，M，M三点共线时，MBMM最小， 即BM 2 . 25 4 17 4 当y2 时，有 1， x2 25 22 9 解得x (负值舍去)， 5 5 3 即点M的坐标为( ，2) 5 5 3 故MB MA的最小值为 ， 5 4 17 4 此时点M的坐标为( ，2) 5 5 3 跟踪训练2 解 由已
11、知易得点B在抛物线内， 1，准线方程为x1，过点B作 p 2 CB准线l于C，直线BC交抛物线于A，则ABAC为满足题设的最小值 因为CBx轴，B点的坐标为( ，2)， 3 所以A点的坐标为(x,2) 又因点A在抛物线上，所以A(1,2)即为所求A点，此时最小值为BC 1. 3 例3 解 (1)设椭圆上任一点P(x，y)，由统一定义得 ， x22y2 |8x| 1 2 两边同时平方， 得4(x2) 2 y 2 (8x) 2 ， 化简得 1. x2 16 y2 12 (2)由(1)知椭圆的另一个焦点坐标为F 2 (2，0)，过F 2 且倾斜角为45的直线方程为9 yx2，由曲线 1联立消去y，得
12、7x 2 16x320.设交点为A(x 1 ，y 1 )， x2 16 y2 12 B(x 2 ，y 2 )，则x 1 x 2 ，ABAF 2 BF 2 aex 1 aex 2 2ae(x 1 x 2 ) 16 7 24 (x 1 x 2 ) . 1 2 48 7 跟踪训练3 解 设椭圆离心率为e，M(x，y)为椭圆上任一点， 由统一定义 e， MF d 得 e， x32y12 |x| 整理得(x3) 2 (y1) 2 e 2 x 2 . 直线l的倾斜角为60， 直线l的方程为y1 (x3)， 3 联立得(4e 2 )x 2 24x360. 设A(x 1 ，y 1 )，B(x 2 ，y 2 )， 由根与系数的关系，得x 1 x 2 ， 24 4e2 ABe(x 1 x 2 )e ， 24 4e2 16 5 e ， 1 2 椭圆的方程为(x3) 2 (y1) 2 x 2 ， 1 4 即 1. x42 4 y12 3 当堂训练 1x 2.9 3. 4. 5. xy0 25 4 63 5 ( 2 33 3 ，1 ) 3
