1、1 33.1 单调性 学习目标 1.结合实例，直观探索并掌握函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函 数的单调性，并能够利用单调性证明一些简单的不等式.3.会求函数的单调区间 知识点 函数的单调性与导函数正负的关系 思考1 观察下列各图，完成表格内容 函数及其图象 切线斜率k正负 导数正负 单调性 正 1，)上单调 _ R上单调_ 负 (0，)上单调 _ (0，)上单调 _ (，0)上单调 _2 思考2 依据上述分析，可得出什么结论？梳理 (1) 导数值 切线的斜率 倾斜角 曲线的变化趋势 函数的单调性 0 _0 _角 单调_ 0，函数在定义域内的解集上为增函数；3 (4)解不等式f(x
2、)(或0)的单调增区间为_ 4若函数yx 3 ax 2 4在(0,2)上单调递减，则实数a的取值范围为_ 5求函数f(x)(xk)e x 的单调区间1导数的符号反映了函数在某个区间上的单调性，导数绝对值的大小反映了函数在某个区 间或某点附近变化的快慢程度 2利用导数求函数f(x)的单调区间的一般步骤 (1)确定函数f(x)的定义域； (2)求导数f(x)； (3)在函数f(x)的定义域内解不等式f(x)0和f(x)0，则f(x)在该区间上单调递增； 如果f(x) 锐 上升 递增 0，解f(x)0，得x ； 3 3 由x0，(x2) 2 0. 由f(x)0，得x3， 所以函数f(x)的单调递增区
3、间为(3，)； 由f(x)0，函数f(x)在区间(0，)上为增函数； 当a0时，由g(x)0，得x 或x (舍去) 2a 2 2a 2 当x(0， )时，g(x)0， 2a 2 即f(x)0. 所以当a0时，函数f(x)在区间(0， )上为减函数，在区间( ，)上为增函数 2a 2 2a 2 综上，当a0时，函数f(x)的单调增区间是(0，)； 当a0时，函数f(x)的单调增区间是( ，)，单调减区间是(0， ) 2a 2 2a 2 引申探究 解 f(x)2ax ， 1 x 2ax21 x 当a0 时，且x(0，)，f(x)0时，令f(x)0， 解得x 或 (舍去) 2a 2a 2a 2a 当
4、x(0， )时，f(x)0， 2a 2a f(x)为增函数 综上所述，当a0时，函数f(x)在(0，)上为减函数； 当a0时，f(x)在(0， )上为减函数，在( ，)上为增函数 2a 2a 2a 2a 跟踪训练2 解 f(x)12x 2 6tx6t 2 6(xt)(2xt)，9 令f(x)0，得x 1 t，x 2 . t 2 当t0， t 2 此时f(x)为增函数， 同理当x(t，)时，f(x)也为增函数 当t0，x(t， )时，f(x)0，此时f(x)为增函数， 当t0时，f(x)的增区间为(，t)，( ，)， t 2 f(x)的减区间为(t， ) t 2 综上所述，当t0时，f(x)的单
5、调增区间是(，t)，( ，)，单调减区间是(t， ) t 2 t 2 例3 证明 f(x) ， xcos xsin x x2 又x ， ( 2 ， ) 则cos x0， xcos xsin x0，故f(x)在区间(0，e)上是增函数 1ln x x2 例4 解 f(x)2x . a x2 2x3a x2 要使f(x)在2，)上单调递增， 则f(x)0在x2，)时恒成立， 即 0在x2，)时恒成立 2x3a x2 x 2 0，2x 3 a0， a2x 3 在x2，)时恒成立 a(2x 3 ) min . 当x2，)时，y2x 3 是单调递增的， (2x 3 ) min 16，a16. 当a16时
6、，f(x) 0(x2，)，有且只有f(2)0， 2x316 x2 a的取值范围是(，16 跟踪训练4 解 方法一 f(x)x 2 ax(a1)， 因为函数f(x)在区间1,2上为减函数， 所以f(x)0，即x 2 ax(a1)0，解得ax1. 因为在1,2上，ax1恒成立， 所以a(x1) max 1. 所以a的取值范围是1，) 方法二 f(x)(x1)x(a1)， 由于函数f(x)在区间1,2上为减函数， 所以f(x)0，当a2时，解得1xa1， 即减区间为1，a1，则1,21，a1，得a1. 当a2时，解得减区间为a1，1， 则函数f(x)不可能在1,2上为减函数，故a1. 所以实数a的取值范围是1，) 当堂训练 1 2. 3. 4.3，) ( 0， 1 a ) 5解 f(x)e x (xk)e x (xk1)e x ， 当xk1时，f(x)0， 所以f(x)的单调递减区间是(，k1)，单调递增区间为(k1，)
