1、1 第2部分 技法篇 必考补充专题 必考补充专题中的5个突破点在高考考查中较为简单，题型为选择、填空题及选修 “2选1” ，属送分题型，通过一轮复习，大多数考生已能熟练掌握，为节省宝贵的 二轮复习时间，迎合教师与考生的需求，本部分只简单提炼核心知识，构建知识体 系，讲解客观题解法，其余以练为主 建知识网络 明内在联系 高考点拨 必考补充专题涉及的知识点比较集中，多为新增内容，在高考中常以 “五小一大”的形式呈现，选考内容是解答题“2选1” 本专题的考查也是高考中 当仁不让的高频考点，考查考生应用新知识解决问题的能力和转化与化归能力 等综合近年高考命题规律，本专题主要从“集合与常用逻辑用语” “
2、不等式与线性 规划” “算法初步、复数、推理与证明” “选修系列4”四大角度进行精练，引领考生 明确考情，高效备考 技法篇：5 招巧解客观题，省时、省力得高分 技法概述 选择题、填空题是高考必考的题型，共占有80分，因此，探讨选择题、 填空题的特点及解法是非常重要和必要的选择题的特点是灵活多变、覆盖面广， 突出的特点是答案就在给出的选项中而填空题是一种只要求写出结果，不要求写2 出解答过程的客观性试题，不设中间分，所以要求所填的是最简最完整的结果解 答选择题、填空题时，对正确性的要求比解答题更高、更严格它们自身的特点决 定选择题及填空题会有一些独到的解法 解法1 直接法 直接法是直接从题设出发
3、，抓住命题的特征，利用定义、性质、定理、公式等， 经过变形、推理、计算、判断得出结果直接法是求解填空题的常用方法在用直 接法求解选择题时，可利用选项的暗示性作出判断，同时应注意：在计算和论证时 尽量简化步骤，合理跳步，还要尽可能地利用一些常用的性质、典型的结论，以提 高解题速度 【例1】(1)将函数ysin 图象上的点P 向左平移s(s0)个单位长度得到 ( 2x 3 ) ( 4 ，t ) 点P.若P位于函数ysin 2x的图象上，则( ) At ，s的最小值为 1 2 6 Bt ，s的最小值为 3 2 6 Ct ，s的最小值为 1 2 3 Dt ，s的最小值为 3 2 3 (2)等比数列a
4、n 的各项均为实数，其前n项和为S n .已知S 3 ，S 6 ，则 7 4 63 4 a 8 _. 【导学号：04024144】 解题指导 (1)先求点P坐标，再求点P的坐标，最后将点P的坐标代入ysin 2x求s的最小值 (2)先求出等比数列的首项和公比，再利用等比数列的通项公式求a 8 即可 (1)A (2)32 (1)因为点P 在函数ysin 的图象上，所以tsin ( 4 ，t ) ( 2x 3 ) sin .所以P .将点P向左平移s(s0)个单位长度得P ( 2 4 3 ) 6 1 2 ( 4 ， 1 2 ) . ( 4 s， 1 2 ) 因为P在函数ysin 2x的图象上，所以
5、sin 2 ，即cos 2s ，所以 ( 4 s ) 1 2 1 2 2s2k 或2s2k ，即sk 或sk (kZ)，所以s的最 3 5 3 6 5 63 小值为 . 6 (2)设a n 的首项为a 1 ，公比为q，则Error! 解得Error! 所以a 8 2 7 2 5 32. 1 4 变式训练1 为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户 家庭，得到如下统计数据表： 收入x(万元) 8.2 8.6 10.0 11.3 11.9 支出y(万元) 6.2 7.5 8.0 8.5 9.8 根据上表可得回归直线方程 x ，其中 0.76， .据此估计，该社区 y b a
6、 b a y b x 一户年收入为15万元家庭的年支出为( ) A11.4万元 B11.8万元 C12.0万元 D12.2万元 B 由题意知， 10， x 8.28.610.011.311.9 5 8， y 6.27.58.08.59.8 5 80.76100.4， a 当x15时， 0.76150.411.8(万元) y 解法2 特例法 在解决选择题和填空题时，可以取一个(或一些)特殊情况(包括特殊数值、特殊 位置、特殊函数、特殊点、特殊方程、特殊数列、特殊图形等)来确定其结果，这种 方法称为特值法特值法由于只需对特殊数值、特殊情形进行检验，省去了推理论 证、繁琐演算的过程，提高了解题的速度
7、特值法是考试中解答选择题和填空题时 经常用到的一种方法，应用得当可以起到“四两拨千斤”的功效 【例2】(1)设f(x)ln x,0p Cprq (2)如图1，在棱柱的侧棱A 1 A和B 1 B上各有一动点P，Q满足A 1 PBQ，过P，Q，C 三点的截面把棱柱分成两部分，则其体积之比为( ) 【导学号：04024145】4 图1 A31 B21 C41 D. 1 3 解题指导 (1)从条件看这应是涉及利用基本不等式比较函数值大小的问题，若不 等式在常规条件下成立，则在特殊情况下更能成立，所以不妨对a，b取特殊值处理， 如a1，be. (2)点P，Q在非特殊情况下体积较难计算可将P，Q置于特殊位
8、置，令P与A 1 重合， Q与B重合，再计算体积 (1)C (2)B (1)根据条件，不妨取a1，be，则pf( )ln ，qf e e 1 2 f( ) ，r (f(1)f(e) ，在这种特例情况下满足 prq， ( 1e 2 ) e 1 2 1 2 1 2 所以选C. (2)令P与A 1 重合，Q与B重合，此时A 1 PBQ0，则VCAA 1 BVA 1 ABC V三棱柱 1 3 ABCA 1 B 1 C 1 ，故过P，Q，C三点的截面把棱柱分成的两部分体积之比为21. 变式训练2 (1)如果a 1 ，a 2 ，a 8 为各项都大于零的等差数列，公差d0，那么( ) Aa 1 a 8 a
9、4 a 5Ba 1 a 8 a 4 a 5 Ca 1 a 8 a 4 a 5Da 1 a 8 a 4 a 5 (2)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a，b，c成等差数列，则 _. cos Acos C 1cos Acos C (1)B (2) (1)取特殊数列 1,2,3,4,5,6,7,8，显然只有1845成立 4 5 (2)令abc，则AC60，cos Acos C . 1 2 从而 . cos Acos C 1cos A cos C 4 5 解法3 数形结合法 数形结合法是指在处理数学问题时，能够将抽象的数学语言与直观的几何图形5 有机结合起来思考，促使抽象思维和形象
10、思维有机结合，通过对规范图形或示意图 形的观察分析，化抽象为直观，化直观为精确，从而使问题得到简捷解决的方法 【例3】(1)(2016合肥模拟)已知x，y满足约束条件Error!则 z2xy的最大值是( ) 【导学号：04024146】 A1 B2 C5 D1 (2)(2017武汉模拟)函数f(x)2sin xsin x 2 的零点个数为_ ( x 2 ) 解题指导 (1)要确定目标函数的最大值，需知道相应的x，y的值，从约束条件中 不可能解出对应的x，y的值，所以只有通过图解法作出约束条件的可行域，据可行 域数形结合得出目标函数的最大值 (2)函数的零点即对应方程的根，但求对应方程的根也比较
11、困难，所以进一步转化为 求两函数的图象的交点，所以作出两函数的图象确定交点个数即可 (1)A (2)2 (1)二元一次不等式组表示的平面区域为如图所示的ABC内部及其边 界，当直线y2xz过A点时z最大，又A(1,1)，因此z的最大值为1. (2)f(x)2sin xcos xx 2 sin 2xx 2 ，函数f(x)的零点个数可转化为函数 y 1 sin 2x与y 2 x 2 图象的交点个数，在同一坐标系中画出y 1 sin 2x与y 2 x 2 的 图象如图所示： 由图可知两函数图象有2个交点，则f(x)的零点个数为2. 变式训练3 (1)(2017郑州模拟)方程xlg(x2)1的实数根的
12、个数为( ) A1 B2 C0 D不确定 (2)已知偶函数yf(x)(xR)在区间0,2上单调递增，在区间(2，)上单调递6 减，且满足f(3)f(1)0，则不等式x 3 f(x)0的解集为_ (1)B (2)(3，1)(0,1)(3，) (1)方程xlg(x2)1lg(x2) ，在同一坐标系中画出函数ylg(x2)与y 的图象，可得两函数图象有两个 1 x 1 x 交点，故所求方程有两个不同的实数根 (2)由题意可画出yf(x)的草图，如图 x0，f(x)0时，x(0,1)(3，)； x0，f(x)0时，x(3，1) 故不等式x 3 f(x)0的解集为(3，1)(0,1)(3，) 解法4 排
13、除法 排除法就是充分运用选择题中单选题的特征，即有且只有一个正确选项这一信 息，从选项入手，根据题设条件与各选项的关系，通过分析、推理、计算、判断， 对选项进行筛选，将其中与题设相矛盾的干扰项逐一排除，从而获得正确结论的方 法使用该法的前提是“答案唯一” ，即四个选项中有且只有一个答案正确排除法 适用于定性型或不宜直接求解的选择题，当题目中的条件多于一个时，先根据某些 条件，在选项中找到明显与之矛盾的予以否定，再根据另一些条件，在剩余的选项 内找出矛盾，这样逐步筛选，直至得出正确的答案 【例4】(1)(2016北师大附中模拟)函数y 的图象大致为( ) cos 6x 2x2x 【导学号：040
14、24147】A B7C D (2)设xR，定义符号函数sgn xError!则( ) A|x|x|sgn x| B|x|xsgn|x| C|x|x|sgn x D|x|xsgn x 解题指导 (1)根据函数的奇偶性和x时函数值的正负，以及x0且x0时 函数值的正负，排除可得答案 (2)可验证当x0时，等式成立的情况 (1)D (2)D (1)函数ycos 6x为偶函数，函数y2 x 2 x 为奇函数，故原函数 为奇函数，排除A. 又函数y2 x 2 x 为增函数，当x时，2 x 2 x 且|cos 6x|1，y 0(x)，排除 C. cos 6x 2x2x y 为奇函数，不妨考虑x0时函数值的
15、情况，当x0时， cos 6x 2x2x 2xcos 6x 4x1 4 x 1,4 x 10,2 x 1，cos 6x1， y，故排除B，综上知选D. (2)当x0，则a 2 a 3 0 B若a 1 a 3a1a3 D若a 1 0 8 (1)D (2)C (1)函数f(x) cos x(x且x0)为奇函数，排除选 ( x 1 x ) 项A，B；当x时，f(x) cos 0，a 2 a 3 a 1 da 2 d(a 1 a 2 ) 2d，由于d正负不确定，因而a 2 a 3 符号不确定，故选项A错；若 a 1 a 3 0，d0，a 2 0，a 3 0，a a 1 a 3 (a 1 d) 2 2
16、2 a 1 (a 1 2d)d 2 0，a 2 ，故选项C正确；若a 1 0，则(a 2 a 1 )(a 2 a 3 ) a1a3 d(d)d 2 0，故选项D错 解法5 构造法 用构造法解客观题的关键是利用已知条件和结论的特殊性构造出新的数学模型， 从而简化推理与计算过程，使较复杂的数学问题得到解决，它需要对基础知识和基 本方法进行积累，需要从一般的方法原理中进行提炼概括，积极联想，横向类比， 从曾经遇到的类似问题中寻找灵感，构造出相应的具体的数学模型，使问题简化 【例5】(1)(2017福州一模)已知f(x)为定义在(0，)上的可导函数，且f(x) xf(x)恒成立，则不等式x 2 f f
17、(x)0的解集为( ) ( 1 x ) A(0,1) B(1,2) C(1，) D(2，) (2)如图2，已知球O的面上有四点A，B，C，D，DA平面 ABC，ABBC，DAABBC ，则球O的体积等于_ 2 图2解题指导 (1)构造函数g(x) ，可证明函数g(x)在(0，)上是减函数， fx x 再利用 x 2 f f(x)0 g g(x)求解 ( 1 x ) f ( 1 x ) 1 x fx x ( 1 x ) (2)以DA，AB，BC为棱长构造正方体，则球O是此正方体的外接球，从而球O的直 径是正方体的体对角线长9 (1)C (2) (1)设g(x) ，则g(x) ，又因为 6 fx
18、x xfxfx x2 f(x)xf(x)，所以g(x) 0在(0，)上恒成立，所以 xfxfx x2 函数g(x) 为(0，)上的减函数，又因为x 2 f f(x) fx x ( 1 x ) 0 g g(x)，则有 x，解得x1，故选C. f ( 1 x ) 1 x fx x ( 1 x ) 1 x (2)如图，以DA，AB，BC为棱长构造正方体，设正方体的外接球球O的半径为R，则 正方体的体对角线长即为球O的直径，所以 CD 2R， 22 22 22 所以R ，故球O的体积V . 6 2 4R3 3 6 变式训练5 (1)(2016兰州高三诊断)已知定义在R上的可导函数f(x)的导函数为 f
19、(x)，满足f(x)f(x)，且f(x2)为偶函数，f(4)1，则不等式f(x)e x 的解 集为( ) 【导学号：04024148】 A(2，) B(0，) C(1，) D(4，) (2)已知a，b为不垂直的异面直线，是一个平面，则a，b在上的射影有可能 是：两条平行直线；两条互相垂直的直线；同一条直线；一条直线及其外 一点 在上面的结论中，正确结论的序号是_(写出所有正确结论的序号) (1)B (2) (1)因为f(x2)为偶函数， 所以f(x2)的图象关于x0 对称， 所以f(x)的图象关于x2对称， 所以f(4)f(0)1， 设g(x) (xR)， fx ex10 则g(x) fxexfxex ex2 ， fxfx ex 又因为f(x)f(x)， 所以g(x)0(xR)， 所以函数g(x)在定义域上单调递减， 因为f(x)e x g(x) 1， fx ex 而g(0) 1， f0 e0 所以f(x)e x g(x)g(0)， 所以x0，故选B. (2)用正方体ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 实例说明A 1 D与BC 1 在平面ABCD上的射影互相平行，AB 1 与BC 1 在平面ABCD上的射影互相垂直，BC 1 与DD 1 在平面ABCD上的射影是一条直线 及其外一点故正确的结论为. 客观题常用的5种解法已初步掌握，在突破点1719的训练中一展身手吧！
