1、1、定义：令G=A1, A2,An; u1, u2,un)表示n个局中人的完全信息博弈，对G重复若干次，称G为阶段博弈。给定阶段博弈G，令G(T)表示G 实施T（T为大于1的整数）次的重复博弈。在某次阶段博弈开始之前，所有已采取过的前面阶段的行动都可以观察到。局中人在G(T)的盈利函数或效用简单的为来自T个阶段博弈盈利现时值之和。,第二节 有限重复博弈,定理：如果阶段博弈G有唯一的Nash均衡，那么对任意有限次T，重复博弈G(T)有唯一的子博弈完美结局：在每一阶段取G的Nash均衡策略。 注1：定理中要求的唯一Nash均衡可以是混合策略均衡。如猜谜游戏。 注2：阶段博弈G可以不是静态的，假如阶
2、段博弈G是完全且完美信息动态博弈时，且具有唯一的“后退归纳”结局，那么G(T)有唯一的子博弈完美结局。,2、当阶段博弈具有唯一的Nash均衡时,3、当阶段博弈具有多重Nash均衡时,两阶段博弈的子博弈完美均衡：(U,L), (U,L)；(U,L), (D,R)；(D,R),(U,L); (D,R),(D,R),考虑策略组合： (M,M), (D,R)和(x,y), (U,L) (x,y) (M,M),结论：如果阶段博弈G=A1, A2,An; u1, u2,un)具有多重Nash均衡，那么可能（但不必）存在重复博弈G(T)的子博弈完美均衡结局，其中对于任意的tT，在t阶段的结局并不是G的Nas
3、h均衡。,短期无息国库券拍卖,背景：美国财政部定期地出售有价证券来募集资金为联邦政府开支筹资和偿还到期的债务。这些有价证券通过拍卖出售，拍卖的主要买者是大型金融机构的政府债务部，如Saloman Brothers、Merrill Lynch、Morgan Stanley。13周和26周的短期国库券每周提供，两年或五年以上的中期国库券一个月发行一次。,操作过程,财政部大约在每次拍卖前一周颁布公告，宣布拍卖日期、数量和待出售的有价证券类型。预期的购买者递交具体说明，说明他们愿意出的价格和数量的“投标”。在收到所有的投标后，财政部将确定一个固定价格，称为单价拍卖，购买者获得相同利率，需求量等于出售量
4、，或价格的范围，称为多价拍卖，支付最高价格的购买者最先分配到他们所需要的量，然后分配给第二高价格者，等等。 问题：如果财政部希望最大化筹资数量，它应采取那种拍卖方式？,模型假定,博弈类型：以一年为一组，考虑52次（13周或26周的短期国库券）。这显然是一个有限次重复博弈，阶段博弈就是每周拍卖。 阶段博弈中所出售的数量不变，等于100。 局中人：两家金融机构A和B。 行动空间：两个购买量50及75，和两个价格H及L。 盈利函数：购买者只关心利润，如果价格为h，则利润为H，如果价格为L，则利润为L,LH.,阶段博弈：单价拍卖,单价拍卖,竞争的情况：50H25L,结论：阶段博弈有唯一的Nash均衡（
5、H,H），也是有限重复博弈的唯一子博弈完美均衡。,串谋的情况：50H25L,结论：阶段博弈的优策略是L，从而购买者由于报价低而亏待财政部。,纯策略Nash均衡,固定q，局中人A的盈利是：50pqH+75p(1-q)L+25(1-p)qL+50(1-p)(1-q)L。对p求导数，并令其等于0,混合策略Nash均衡,结论：在混合策略Nash均衡中，财政部发现至少某些时候为高价格，显然财政部觉得这样更可取。,阶段博弈：多价拍卖,多价拍卖,竞争的情况：75H50L,结论：阶段博弈有唯一的Nash均衡（H,H），也是有限重复博弈的唯一子博弈完美均衡。,串谋的情况：100H50L75H,结论：（L,L）也
6、是阶段博弈的Nash均衡，即购买者企图无保留的进行串通，使价格保持低位。因而有限重复博弈的一个子博弈完美均衡是双方购买者一直都出价L。,串谋的情况：50H25L,结论：阶段博弈有唯一的Nash均衡（L,L），也是有限重复博弈的唯一子博弈完美均衡,从而购买者由于报价低而亏待财政部。,结论：总的来说，单价拍卖总是受到财政部的青眯。,1、无限重复博弈模型 模型为可观察行动的重复博弈 G=A1, A2,An; g1, g2, gn)为阶段博弈 at=(at1,atn)表示t周期的行动 ht=(a1,a2,at-1)表示t周期开始时的历史,第三节 无限重复博弈,观察结果,结论：如果阶段博弈G有m个静态N
7、ash均衡aj, j=1m，那么令j(t)为时间周期t到指数j的一个任意映射，策略组合周期t采取行动aj(t) 是子博弈完美均衡。,懦夫博弈（chicken game）,2、保留效用（reservation utility）,定义：又称最小最大值（minmax value），局中人i的保留效用为,上有政策，下有对策,例、性别战（battle of sexes）,设妻子以概率q选择B，以概率1-q选择F，那么 当丈夫选择B时，丈夫的盈利为：q 当丈夫选择F时，丈夫的盈利为：2(1-q),结论：丈夫的保留效用为,设丈夫以概率p选择B，以概率1-p选择F，那么 当妻子选择B时，妻子的盈利为：2p 当
8、妻子选择F时，妻子的盈利为：1-p,结论：妻子的保留效用为,习题：求妻子的保留效用,保留效用的意义,在任何静态均衡和在重复博弈的所有Nash均衡中，局中人i的盈利至少为其保留效用，不管折扣因子如何取值。,3、阶段博弈的可行盈利（效用）,性别战有三个Nash均衡 (B,B),双方盈利为(1,2) (F,F),双方盈利为(2,1) 第三个Nash均衡为混合策略Nash均衡。,混合策略为 (1/3,2/3) ， (2/3,1/3) ，双方盈利为(2/3,2/3),奇数周期取(F,F) ，偶数周期取(B,B) ，那么在无限周期博弈中，丈夫的盈利为：,4、无限阶段博弈的可行盈利,奇数周期取(F,F) ，
9、偶数周期取(B,B) ，在无限周期博弈中，妻子的盈利为：,随机化装置 (Fudenberg, Maskin, 1986),假设在每一周期，以概率p取(F,F)，概率1-p取(B,B) 。丈夫在每一周期的期望盈利为： 2p+(1-p)=p+1 在无限周期博弈中，丈夫的期望盈利为： u1=(1-)(p+1)+(p+1)+2(p+1)+)=(1-)(p+1)/(1-)=p+1 妻子在每一周期的期望盈利为： p+2(1-p)=2-p 因此，在无限周期博弈中，妻子的期望盈利为： u2=2-p 结论：通过设计随机化装置，可以实现阶段博弈有限个盈利向量的任何凸组合。,结论：通过设计随机化装置，可以实现阶段博
10、弈有限个盈利向量的任何凸组合。,5、可行且严格个体理性集合,定义：,6、无名氏（Folk）定理,定理：对于每一个可行的盈利（效用）向量v，其中对所有局中人i成立vivi，存在一个 (1)，使得对一切(, 1)，存在G(,)的一个Nash均衡具有盈利v。,证明,假设g(a)=v。对每一个局中人i，采取如下策略组合：在第一周期取ai，并且继续采取行动ai，只要 （1）在以前的周期中已实施的行动是ai；或者 （2）在以前的周期中已实施的行动有两个以上的分量不同于a。如果在以前某个周期中局中人i是唯一不遵循行动组合a的人，那么每个局中人j在博弈的其余部分取mij。 那么上述策略组合对充分大的是Nash均衡。,
