1、例、性别战（battle of sexes）,妻子B FB丈夫F,7、“Nash威胁”无名氏定理,定理（Friedman，1971）：设a*为阶段博弈的Nash均衡，相应的盈利向量为e。那么对任意的vV，其中对所有局中人i成立viei，存在一个，使得对所有，存在无穷重复博弈G()的子博弈完美均衡，其盈利为v。,证明,假设g(a)=v。对每一个局中人i，采取如下策略：在第一周期取ai，只要在以前的周期中已实施的行动是a，并且继续采取行动ai。如果至少有一个局中人不按a行动，那么在博弈的其余周期每个局中人取采取行动ai*。 那么上述策略组合对充分大的是子博弈完美均衡。,Nash均衡的证明,如果局中
2、人i在周期t偏离ai，那么从t开始的持续盈利应当不会超过：,不偏离的总收益为：,子博弈完美的证明,子博弈可分为两类： （1）一类为所有早先周期的行动是a。 （2）另一类为至少有一个早先周期局中人的行动不同于a。,例、性别战（battle of sexes）,妻子B FB丈夫F,触发策略（trigger strategies）,如果任何一个局中人的一次性不合作（偏离）将触发局中人永远地不合作开关。 人为因素,例、无限重复囚徒困境模型,保留效用,局中人1的保留效用：设局中人1以概率p选择坦白，局中人2以概率q选择坦白,纳斯达克证券市场中的竞争和共谋,背景：纽约证券交易所每支股票只有一个做市商，纳斯
3、达克则有多个做市商。在纳斯达克，每个做市商宣布两个报价，一个“进价”，他将以这个价出售股票，和一个“出价”，他将以这个价买进股票。这些报价只能以1/8美元作为增量单位，通常，进价比出价较高。在这个市场上，由于每种股票有多个经销商，纳斯达克市场已经被它的支持者断言为比纽约证券交易所更具竞争性。,研究,1994年，两位学者William Christie和Paul Schultz发表了一项研究。揭示了纳斯达克中进价和出价大约集中在“1/8的偶数倍”，即大约集中在（如）10美元，102/8美元，104/8美元，106/8美元，极少价格在101/8美元，103/8美元，105/8美元和107/8美元。
4、因此所有这些股票进价和出价之间的差额（利差）至少为25美分，并且在许多实例中为50美分，对三种交易量很大的股票：苹果、MCT和Lotus，大约一半时间的利差为50美分。,根据1991年的报价，William Christie和Paul Schultz发现只有10%的股票具有1/8美元利差，39%有2/8美元利差，5%有3/8美元利差，和33%有4/8美元利差，而纽约证券交易所和美国证券交易所所对应的数字是25%、46%、22%和5%。 这一发现似乎令人费解，因为很可能有许多投资者愿意在这个差额之内买或卖。较大的利差伤害了潜在的投资者，而做市商取得了较大的利润。纳斯达克的日交易量约为6.5亿万股
5、，1/8额外的利差转移到投资者身上达到了每天额外支出大约8000万美元。另外，从长远的观点来看，如果投资者感到他们被索要高价的话，他们可能远离市场。,猜测,Christie和Schultz并没有对“1/8的奇数倍消失”现象作出绝对解释，而是做了如下的猜测：“做市商与其他做市商之间的相互影响是长期性的和经常性的。于是，在设置报价中，纳斯达克做市商基本上卷入了一个无限重复博弈，而且，所有做市商的当前报价和历史报价都为所有做市商利用。众所周知的无名氏定理陈述了共谋是可能的均衡”。也就是说，做市商在欺诈公众，并且认为，做市商之所以能这样做是因为他们处于重复博弈中。,纳斯达克市场模型,实际是极其复杂的，
6、为了从本质上把握现实，就需要进行抽象，做出一些使情况得以简化的假设，以便赖以成功的建立模型，将注意力集中到最重要的因素和关系上。,阶段博弈,局中人：N个经销商 策略：同时提出进价(做市商的卖出价)与出价(做市商的买进价)，最优进价a与最优出价b为,内部利差为a-b。设对股票特定的需求和供给函数为：,价格单位是1/8美元，数量单位是10 000股。,阶段博弈中的策略,（20，20）：市场出清价格，即2.5美元，需求与供给均为20，R=0。 （21，19）：需求与供给均为15，R=30。 （22，18）：需求与供给均为10，R=40。,阶段博弈中的单纯共谋定价,竞争状态下的Nash均衡(N=2),
7、竞争状态下的Nash均衡(N=2),阶段博弈的可行盈利集合(N=2),无限阶段博弈的可行盈利集合(N=2),严格个体理性集合(N=2),保留效用：（0，0）,Nash威胁子博弈完美均衡(N=2) ： (20，20),重复博弈中的共谋,考虑如下严厉触发策略：以共谋报价开始，只要其他人在过去也这样做，则保持这种做法。如果任意一个经销商暗中破坏，则从下一个交易轮次开始。所有经销商永远定价v=20。要使该策略是子博弈完美均衡的条件是：,结论：N越大，共谋越困难；（一小时之前的现值）越大，共谋就越容易。 例：N=11（每种纳斯达克股票平均有11个做市商），只要大于0.8788，那么共谋是可持续的。,Na
8、sh威胁子博弈完美均衡(N=2) ： (21，19),重复博弈中的共谋,考虑如下温和惩罚策略：以共谋报价开始，只要其他人在过去也这样做，则保持这种做法。如果任意一个经销商暗中破坏，则从下一个交易轮次开始。所有经销商定价（21，19）。要使该策略是子博弈完美均衡的条件是：,如果N=11，必须至少为0.97 结论：共谋是较难持续，因为欺骗具有较大的诱惑力。,尾声,从纳斯达克争议开始，司法部以如下结论结束了它的调研：他们的确发现了纳斯达克经销商共谋定价的迹象。他们的证据并非我们所讨论的一般含蓄共谋，而是根据显而易见的共谋，他们掌握了做市商之间筹划共谋定价时交谈的电话录音磁带！ 证券交易委员会促使纳斯
9、达克采取措施使得共谋在未来较难持续下去，纳斯达克已经补充了一组业已得到证券交易委员会批准的变革。 这些举措使得除了经销商以外的每一个人都感到高兴。,例、无限重复Cournot双寡垄断模型,阶段博弈（静态Cournot博弈模型） 局中人：公司A与公司B 策略空间：产量q1(0,a)，产量q2 (0,a) 盈利函数：市场总产量Q=q1+q2，市场出清价格为 P(Q)=a-Q(Qa)设每个公司具有边际成本c，盈利函数为： g1(q1,q2)=(a- q1-q2-c)q1 g2(q1,q2)=(a- q1-q2-c)q2,博弈具有唯一的Nash均衡： q1*=q2*=qc=(a-c)/3盈利为： (a
10、-c)2/9 垄断盈利函数为：Q(a-c-Q) 垄断产量为： qm =（a-c)/2 垄断产量的一半为： q1=q2= qm/2=(a-c)/4盈利为： (a-c)2/8 保留效用为：,构造如下触发策略：在第一个周期各生产一半垄断产品qm/2 ，在每一个周期t，只要不发生偏离，则继续各生产qm/2 ；如果发生单方面偏离，则转向生产Gournot产量qc。根据Nash威胁无名氏定理，对于适当大的，该触发策略是无限重复的子博弈完美Nash均衡。,由Nash威胁无名氏定理求,首先求取单个局中人若在某阶段偏离时可能的最大盈利,单阶段偏离的总盈利为：,没有偏离的总盈利为：,对应于9/17时的适宜产量q*
11、,构造如下触发策略：在第一个周期均取q*，在每一个周期t，只要以前未发生局中人偏离现象，则一直取q*；否则，如果发生单方面偏离，则转向Gournot产量qc。根据Nash威胁无名氏定理，对于固定的，求取使该触发策略是无限重复的子博弈完美Nash均衡的产量q* 。,首先求取单个局中人若在某阶段偏离时可能的最大盈利,单阶段偏离的总盈利为：,没有偏离的总盈利为：,a=100, c=1, =0.5,Abreu严厉惩罚思想,考虑“胡萝卜加大棒”(Carrot-and-stick)策略组合：固定=1/2 (略小于9/17)，以x表示最严厉冷酷的惩罚产量。在第一周期生产垄断产量的一半qm/2，在任意t周期，如果在t-1周期两个公司都生产qm/2，或者都生产x，那么继续生产qm/2，否则就生产x。 该策略组合的无限重复Cournot博弈中的子博弈可以分为两类： 合作子博弈，它们的前一周期的结局要么是（qm/2，qm/2），要么是（x，x）。惩罚子博弈，它们的前一周期的结局既不是（qm/2，qm/2），也不是（x，x）。,单阶段偏离的总盈利为：,合作子博弈,没有偏离的总盈利为：,单阶段偏离的总盈利为：,惩罚子博弈,没有偏离的总盈利为：,a=100, c=1, =0.5,
