1、管理运筹学,主讲人：钱晓东,第四章 线性规划,1、线性规划概述2、线性规划的图解法3、单纯形法基本思路4、线性规划敏感度分析5、对偶问题与影子价格6、运输问题,管理运筹学 第四章 线性规划,1、线性规划概述,管理运筹学 第四章 线性规划,管理运筹学 第四章 线性规划 线性规划概述,1、线性规划的模型通过线性规划求解该问题，需明确线性规划模型的三要素： （1）决策变量：需决策的量，即待求的未知数；（2）目标函数：需优化的量，即欲达的目标，用决策变量的表达式表示；可为最大化或者最小化，用max或者min表示；（3）约束条件：为实现优化目标需受到的限制，用决策变量的等式或不等式表示；,管理运筹学 第
2、四章 线性规划 线性规划概述,例： 某工厂可生产甲、乙两种产品，需消耗煤、电、油三种资源。有关数据如表所示，试拟订使总收入最大的生产方案。,管理运筹学 第四章 线性规划 线性规划概述,线性规划模型的一个基本特点：目标和约束均为变量的线性表达式,管理运筹学 第四章 线性规划 线性规划概述,例：某市今年要兴建大量住宅,已知有三种住宅体系可以大量兴建，各体系资源用量及今年供应量见表，要求在充分利用各种资源条件下使建造住宅的总面积为最大(即求安排各住宅多少m2)，求建造方案。,管理运筹学 第四章 线性规划 线性规划概述,解: 设今年计划修建砖混、壁板、大模住宅各为x1,x2,x3 m2,z为总面积，则
3、本问题的数学模型为:注：前苏联的尼古拉也夫斯克城住宅兴建计划采用了上述模型，共用了12 个变量，10个约束条件。,管理运筹学 第四章 线性规划 线性规划概述,2、线性规划的一般形式与标准形式一般形式:目标函数： Max （Min） z = c1 x1 + c2 x2 + + cn xn 约束条件： s.t. a11 x1 + a12 x2 + + a1n xn （ =, ）b1a21 x1 + a22 x2 + + a2n xn （ =, ）b2 am1 x1 + am2 x2 + + amn xn （ =, ）bm,管理运筹学 第四章 线性规划 线性规划概述,标准形式:目标函数： Max z
4、 = c1x1 + c2x2 + + cnxn约束条件： a11x1 + a12x2 + + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + + a2nxn = b2 . am1x1 + am2x2 + + amnxn = bmx1 ，x2 ， ，xn 0,线性规划的标准形式有如下四个特点：目标最大化约束为等式决策变量均非负右端项非负。,管理运筹学 第四章 线性规划 线性规划概述,管理运筹学 第四章 线性规划 线性规划概述,1.极小化目标函数的问题：设目标函数为Min f = c1x1 + c2x2 + + cnxn 则可以令z -f ，该极小化问 题与下面的极大化问题有相同的最优 解，
5、即Max z = -c1x1 - c2x2 - - cnxn 但必须注意，尽管以上两个问题的最优解相同，但他们最优解的目标函数值却相差一个符号，即Min f - Max z,2、约束条件不是等式的问题：设约束条件为ai1 x1+ai2 x2+ +ain xn bi可以引进一个新的变量s ，使它等于约束右边与左边之差s=bi(ai1 x1 + ai2 x2 + + ain xn )显然，s 也具有非负约束，即s0，这时新的约束条件成为ai1 x1+ai2 x2+ +ain xn+s = bi,管理运筹学 第四章 线性规划 线性规划概述,管理运筹学 第四章 线性规划 线性规划概述,当约束条件为ai
6、1 x1+ai2 x2+ +ain xn bi 类似地令s=(ai1 x1+ai2 x2+ +ain xn)- bi 显然，s 也具有非负约束，即s0，这时新的约束条件成为ai1 x1+ai2 x2+ +ain xn-s = bi为了使约束由不等式成为等式而引进的变量s称为“松弛变量”。如果原问题中有若干个非等式约束，则将其转化为标准形式时，必须对各个约束引进不同的松弛变量。,3. 变量无符号限制的问题：在标准形式中，必须每一个变量均有非负约束。当某一个变量xj没有非负约束时，可以令xj = xj- xj”其中xj0，xj”0即用两个非负变量之差来表示一个无符号限制的变量，当然xj的符号取决于
7、xj和xj”的大小。,管理运筹学 第四章 线性规划 线性规划概述,管理运筹学 第四章 线性规划 线性规划概述,4.右端项有负值的问题：在标准形式中，要求右端项必须每一个分量非负。当某一个右端项系数为负时，如 bi0，则把该等式约束两端同时乘以-1，得到：-ai1 x1-ai2 x2- -ain xn = -bi,管理运筹学 第四章 线性规划 线性规划概述,例: 试将如下线性规划问题化成标准型,管理运筹学 第四章 线性规划 线性规划概述,管理运筹学 第四章 线性规划 线性规划概述,例：将以下线性规划问题转化为标准形式 Min f= -3 x1 + 5 x2 + 8 x3 - 7 x4 s.t.
8、2 x1 - 3 x2 + 5 x3 + 6 x4 284 x1 + 2 x2 + 3 x3 - 9 x4 396 x2 + 2 x3 + 3 x4 - 58x1 , x3 , x4 0,Max z = 3x15x2+5x2”8x3 +7x4s.t. 2x13x2+3x2”+5x3+6x4+x5= 284x1+2x2-2x2”+3x3-9x4-x6= 39-6x2+6x2”-2x3-3x4-x7 = 58x1 ,x2,x2”,x3 ,x4 ,x5 ,x6 ,x7 0,管理运筹学 第四章 线性规划 线性规划概述,3、线性规划在工商管理中的应用举例人力资源分配的问题 生产计划的问题 套裁下料问题
9、配料问题 投资问题,管理运筹学 第四章 线性规划 线性规划概述,23,人力资源分配的问题,例1某昼夜服务的公交线路每天各时间段内所需司机 和乘务人员数如下：设司机和乘务人员分别在各时间段一开始时上班，并 连续工作八小时，问该公交线路怎样安排司机和乘务人员， 既能满足工作需要，又配备最少司机和乘务人员?,24,解：设 xi 表示第i班次时开始上班的司机和乘务人员数,这样建立如下的数学模型。目标函数： Min x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 约束条件：s.t. x1 + x6 60x1 + x2 70x2 + x3 60x3 + x4 50x4 + x5 20x5 + x6
10、 30x1,x2,x3,x4,x5,x6 0,25,例2一家中型的百货商场，它对售货员的需求经过统计分析如下表所示。为了保证售货人员充分休息，售货人员每周工作5天，休息两天，并要求休息的两天是连续的。问应该如何安排售货人员的作息，既满足工作需要，又使配备的售货人员的人数最少？,管理运筹学 第四章 线性规划 线性规划概述,26,解：设 xi ( i = 1,2,7)表示星期一至日开始休息的人数,这样我们建立如下的数学模型。目标函数： Min x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 约束条件：s.t. x1 + x2 + x3 + x4 + x5 28x2 + x3 +
11、x4 + x5 + x6 15x3 + x4 + x5 + x6 + x7 24x4 + x5 + x6 + x7 + x1 25x5 + x6 + x7 + x1 + x2 19x6 + x7 + x1 + x2 + x3 31x7 + x1 + x2 + x3 + x4 28x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7 0,管理运筹学 第四章 线性规划 线性规划概述,27,生产计划的问题,例3某公司面临一个是外包协作还是自行生产的问题。该公司生产甲、乙、丙三种产品，都需要经过铸造、机加工和装配三个车间。甲、乙两种产品的铸件可以外包协作，亦可以自行生产，但产品丙必须本厂铸造才能保证质量。数据如表
12、。问：公司为了获得最大利润，甲、乙、丙三种产品各生产多少件？甲、乙两种产品的铸造中，由本公司铸造和由外包协作各应多少件？,管理运筹学 第四章 线性规划 线性规划概述,28,解：设 x1,x2,x3 分别为三道工序都由本公司加工的甲、乙、丙三种 产品的件数，x4,x5 分别为由外协铸造再由本公司加工和装配的甲、乙两 种产品的件数。求 xi 的利润：利润 = 售价 - 各成本之和产品甲全部自制的利润 =23-(3+2+3)=15产品甲铸造外协，其余自制的利润 =23-(5+2+3)=13产品乙全部自制的利润 =18-(5+1+2)=10产品乙铸造外协，其余自制的利润 =18-(6+1+2)=9产品
13、丙的利润 =16-(4+3+2)=7可得到 xi （i = 1,2,3,4,5） 的利润分别为 15、10、7、13、9元。,29,通过以上分析,可建立如下的数学模型: 目标函数： Max 15x1 + 10x2 + 7x3 + 13x4 + 9x5 约束条件： 5x1 + 10x2 + 7x3 80006x1 + 4x2 + 8x3 + 6x4 + 4x5 120003x1 + 2x2 + 2x3 + 3x4 + 2x5 10000x1,x2,x3,x4,x5 0,管理运筹学 第四章 线性规划 线性规划概述,30,例4永久机械厂生产、三种产品，均要经过A、B两道工序加工。设有两种规格的设备A
14、1、A2能完成 A 工序；有三种规格的设备B1、B2、B3能完成 B 工序。可在A、B的任何规格的设备上加工； 可在任意规格的A设备上加工，但对B工序，只能在B1设备上加工；只能在A2与B2设备上加工。数据如表。问：为使该厂获得最大利润，应如何制定产品加工方案？,管理运筹学 第四章 线性规划 线性规划概述,31,解：设 xijk 表示第 i 种产品，在第 j 种工序上的第 k 种设备上加工的数量。建立如下的数学模型:s.t. 5x111 + 10x211 6000 （ 设备 A1 ）7x112 + 9x212 + 12x312 10000 （ 设备 A2 ）6x121 + 8x221 4000
15、 （ 设备 B1 ）4x122 + 11x322 7000 （ 设备 B2 ）7x123 4000 （ 设备 B3 ）x111+ x112- x121- x122- x123 = 0 （产品在A、B工序加工的数量相等）x211+ x212- x221 = 0 （产品在A、B工序加工的数量相等）x312 - x322 = 0 （产品在A、B工序加工的数量相等）xijk 0 , i = 1,2,3; j = 1,2; k = 1,2,3,管理运筹学 第四章 线性规划 线性规划概述,32,目标函数为计算利润最大化，利润的计算公式为：利润 = （销售单价 - 原料单价）* 产品件数之和 -（每台时的设
16、备费用*设备实际使用的总台时数）之和。这样得到目标函数：Max z=(1.25-0.25)(x111+x112)+(2-0.35)x221+(2.80-0.5)x312 300/6000(5x111+10x211)-321/10000(7x112+9x212+12x312)-250/4000(6x121+8x221)-783/7000(4x122+11x322)-200/4000(7x123).经整理可得：Max z=0.75x111+0.7753x112+1.15x211+1.3611x212+1.9148x312-0.375x121-0.5x221-0.4475x122-1.2304x32
17、2-0.35x123,管理运筹学 第四章 线性规划 线性规划概述,33,套裁下料问题,例5某工厂要做100套钢架，每套用长为2.9 m,2.1 m,1.5 m的圆钢各 一根。已知原料每根长7.4 m，问：应如何下料，可使所用原料最省？解： 共可设计下列5 种下料方案，见下表,管理运筹学 第四章 线性规划 线性规划概述,34,设 x1,x2,x3,x4,x5 分别为上面 5 种方案下料的原材料根数。这样我们建立如下的数学模型。目标函数： Min x1 + x2 + x3 + x4 + x5 约束条件： s.t. x1 + 2x2 + x4 1002x3 + 2x4 + x5 1003x1 + x
18、2 + 2x3 + 3x5 100x1,x2,x3,x4,x5 0,管理运筹学 第四章 线性规划 线性规划概述,35,用“管理运筹学”软件计算得出最优下料方案：按方案1下料30根；按方案2下料10根；按方案4下料50根。即 x1=30;x2=10；x3=0；x4=50；x5=0；只需90根原材料就可制造出100套钢架。,管理运筹学 第四章 线性规划 线性规划概述,36,配料问题,例6某工厂要用三种原料1、2、3混合调配出三种不同规格的产品甲、乙、丙，数据如右表。问：该厂应如何安排生产，使利润收入为最大？,管理运筹学 第四章 线性规划 线性规划概述,37,解：设 xij 表示第 i 种（甲、乙、
19、丙）产品中原料 j 的含量。这样我们建立数学模型时，要考虑：对于甲： x11，x12，x13；对于乙： x21，x22，x23；对于丙： x31，x32，x33；对于原料1： x11，x21，x31；对于原料2： x12，x22，x32； 对于原料3： x13，x23，x33；目标函数： 利润最大，利润 = 收入 - 原料支出 约束条件： 规格要求 4 个；供应量限制 3 个。,管理运筹学 第四章 线性规划 线性规划概述,38,利润=总收入-总成本=甲乙丙三种产品的销售单价*产品数量-甲乙丙使用的原料单价*原料数量，故有 目标函数 Max z= 50（x11+x12+x13）+35（x21+x
20、22+x23）+25（x31+x32+x33）-65（x11+x21+x31）-25（x12+x22+x32）-35（x13+x23+x33）= -15x11+25x12+15x13-30x21+10x22-40x31-10x33 约束条件：从第1个表中有：x110.5(x11+x12+x13)x120.25(x11+x12+x13)x210.25(x21+x22+x23)x220.5(x21+x22+x23),管理运筹学 第四章 线性规划 线性规划概述,39,从第2个表中，生产甲乙丙的原材料不能超过原材料的供应限额，故有(x11+x21+x31)100(x12+x22+x32)100(x13
21、+x23+x33)60通过整理，得到以下模型：,管理运筹学 第四章 线性规划 线性规划概述,40,目标函数：Max z = -15x11+25x12+15x13-30x21+10x22-40x31-10x33 约束条件：s.t. 0.5 x11-0.5 x12 -0.5 x13 0 （原材料1不少于50%）-0.25x11+0.75x12 -0.25x13 0 （原材料2不超过25%）0.75x21-0.25x22 -0.25x23 0 （原材料1不少于25%）-0.5 x21+0.5 x22 -0.5 x23 0 （原材料2不超过50%）x11+ x21 + x31 100 (供应量限制）x
22、12+ x22 + x32 100 (供应量限制）x13+ x23 + x33 60 (供应量限制）xij 0 , i = 1,2,3; j = 1,2,3,管理运筹学 第四章 线性规划 线性规划概述,41,投资问题,例7某部门现有资金200万元，今后五年内考虑给以下的项目投资。已知：项 目A：从第一年到第五年每年年初都可投资，当年末能收回本利110%；项目B：从第 一年到第四年每年年初都可投资，次年末能收回本利125%，但规定每年最大投资额 不能超过30万元；项目C：需在第三年年初投资，第五年末能收回本利140%，但规 定最大投资额不能超过80万元；项目D：需在第二年年初投资，第五年末能收回
23、本 利155%，但规定最大投资额不能超过100万元。据测定每万元每次投资的风险指数如右表： 问：a）应如何确定这些项目的每年投资额，使得第五年年末拥有资金的本利金额为最大？ b）应如何确定这些项目的每年投资额，使得第五年年末拥有资金的本利在330万元的基础上使得其投资总的风险系数为最小？,管理运筹学 第四章 线性规划 线性规划概述,42,解： 1）确定决策变量：连续投资问题设 xij ( i = 15，j = 14)表示第 i 年初投资于A(j=1)、B(j=2)、C(j=3)、D(j=4)项目的金额。这样我们建立如下的决策变量：A x11 x21 x31 x41 x51 B x12 x22
24、x32 x42C x33 D x242）约束条件： 第一年：A当年末可收回投资，故第一年年初应把全部资金投出去，于是 x11+ x12 = 200； 第二年：B次年末才可收回投资，故第二年年初有资金1.1 x11，于是 x21 + x22+ x24 = 1.1x11； 第三年：年初有资金 1.1x21+ 1.25x12，于是 x31 + x32+ x33 = 1.1x21+ 1.25x12； 第四年：年初有资金 1.1x31+ 1.25x22，于是 x41 + x42 = 1.1x31+ 1.25x22； 第五年：年初有资金 1.1x41+ 1.25x32，于是 x51 = 1.1x41+ 1
25、.25x32；B、C、D的投资限制： xi2 30 ( i =1、2、3、4 )，x33 80，x24 100,管理运筹学 第四章 线性规划 线性规划概述,43,3）目标函数及模型： a) Max z = 1.1x51+ 1.25x42+ 1.4x33 + 1.55x24 s.t. x11+ x12 = 200x21 + x22+ x24 = 1.1x11；x31 + x32+ x33 = 1.1x21+ 1.25x12；x41 + x42 = 1.1x31+ 1.25x22；x51 = 1.1x41+ 1.25x32；xi2 30 ( i =1、2、3、4 )，x33 80，x24 100
26、xij 0 ( i = 1、2、3、4、5；j = 1、2、3、4）b)所设变量与问题a相同，目标函数为风险最小，有 Min f =x11+x21+x31+x41+x51+3(x12+x22+x32+x42)+4x33+5.5x24,管理运筹学 第四章 线性规划 线性规划概述,44,在问题a的约束条件中加上“第五年末拥有资金本利在330万元”的条件， 于是模型如下： Min f = (x11+x21+x31+x41+x51)+3(x12+x22+x32+x42)+4x33+5.5x24 s.t. x11+ x12 = 200x21 + x22+ x24 = 1.1x11；x31 + x32+
27、x33 = 1.1x21+ 1.25x12；x41 + x42 = 1.1x31+ 1.25x22；x51 = 1.1x41+ 1.25x32；xi2 30 ( i =1、2、3、4 )，x33 80，x24 100 1.1x51 + 1.25x42+ 1.4x33+ 1.55x24 330xij 0 ( i = 1、2、3、4、5；j = 1、2、3、4）,管理运筹学 第四章 线性规划 线性规划概述,2、线性规划的图解法,管理运筹学 第四章 线性规划,管理运筹学 第四章 线性规划 线性规划的图解法,例: 目标函数：Max z = 50 x1 + 100 x2 约束条件：s.t. x1 + x
28、2 300 (A)2 x1 + x2 400 (B)x2 250 (C)x1 0 (D)x2 0 (E) 得到最优解：x1 = 50， x2 = 250 最优目标值 z = 27500,管理运筹学 第四章 线性规划 线性规划的图解法,管理运筹学 第四章 线性规划 线性规划的图解法,例：max z=x1+3x2 s.t. x1+ x26-x1+2x28x1 0, x20,管理运筹学 第四章 线性规划 线性规划的图解法,Max z = 1500 x1 + 2500 x2s.t. 3x1+2x2 65 (A)2x1+x2 40 (B)3x2 75 (C)x1 ,x2 0 (D, E),管理运筹学 第
29、四章 线性规划 线性规划的图解法,Max z = 1500 x1 + 1000 x2s.t. 3x1+2x2 65 (A)2x1+x2 40 (B)3x2 75 (C)x1 ,x2 0 (D, E),管理运筹学 第四章 线性规划 线性规划的图解法,管理运筹学 第四章 线性规划 线性规划的图解法,可行域情况总结：1可行域为封闭的有界区域(a)有唯一的最优解。(b)有无穷多个最优解。2可行域为非封闭的无界区域(c)有唯一的最优解；(d)有无穷多个最优解；(e)目标函数无界(即虽有可行解，但在可行域中，目标函数可以无限 或无限减小)，因而没有有限最优解。3可行域为空集(f)没有可行解，原问题无最优解
30、。,管理运筹学 第四章 线性规划 线性规划的图解法,管理运筹学 第四章 线性规划 线性规划的图解法,重要定理：(1)若线性规划的可行域非空，则可行域必定为一凸集。(2)若线性规划的可行域非空，则至多有有限个极点。(3)若线性规划有最优解，则至少有一个极点是最优解。这样，求线性规划最优解的问题，从在可行域内无限个可行解中搜索的问题便转化为在其可行域的有限个极点上搜索的问题。,3、单纯形法基本思路,管理运筹学 第四章 线性规划,管理运筹学 第四章 线性规划 单纯形法基本思路,单纯形法的基本思路：单纯形法的基本思路是有选择地取基可行解，即从可行域的一个极点出发，沿着可行域的边界移到另一个相邻的极点，
31、要求新极点的目标函数值不比原目标函数值差。,单纯形表：,管理运筹学 第四章 线性规划 单纯形法基本思路,例：Max z =1500 x1 + 2500 x2 s.t. 3 x1 + 2 x2 + x3 = 652 x1 + x2 + x4 = 403 x2 + x5 = 75x1 , x2 , x3 , x4 , x5 0最优解 x1 = 5 x2 = 25 最优值 z* = 70000,管理运筹学 第四章 线性规划 单纯形法基本思路,管理运筹学 第四章 线性规划 单纯形法基本思路,例：Max Z = 2x1 +3x2,管理运筹学 第四章 线性规划 单纯形法基本思路,管理运筹学 第四章 线性规
32、划 单纯形法基本思路,最后一行的所有检验数都已 0。这表示目标函数值已不可能再增大，于是得到最优解： X* = ( 4, 2, 0, 0, 4 )T , 最优目标函数值为：Z* = 14,管理运筹学 第四章 线性规划 单纯形法基本思路,管理运筹学 第四章 线性规划 单纯形法基本思路,例：用单纯形法求解下面的线性规划解：增加松弛变量x3,x4,将模型化为标准型：；计算过程如下表所示,管理运筹学 第四章 线性规划 单纯形法基本思路,注意：1、初始基本可行解不明显时，常用的方法：大M法和两阶段法2、此两种方法不再介绍，但MBA学员应知道此两种方法的作用3、其它一些特殊情况，比如退化问题属于单纯形法细
33、节处理也不再介绍,管理运筹学 第四章 线性规划 单纯形法基本思路,4、线性规划敏感度分析,管理运筹学 第四章 线性规划,管理运筹学 第四章 线性规划 敏感度分析,在前面的讨论中，都认为线性规划模型中的各个系数，是确定的常数。但实际上由于种种原因，这些系数有时很难确定，一般都是估计量。另外，周围环境的变化也会使系数发生变化，如市场经济中价格的波动，工艺的改进，资源储量的变化等必须考虑这些数据中的一个或几个发生变化时，现行最优方案会有什么变化?将这些数据的变化限制在什么范围内，原最优解仍是最优的?如果原最优基不再是最优基，又怎样在先前优化的基础上迅速求得新的最优方案?这就是灵敏度分析(Sensit
34、ivity Analysis),也称优化后分析,管理运筹学 第四章 线性规划 敏感度分析,敏感度分析的主要内容：1、价值系数变化2、资源系数(右端项)变化3、技术系数变化4、增加约束条件5、增加新的决策变量本课程简单讲述当上述情况只发生一种时，决策者的判断与分析；同时发生上述多种情况时，需具体情况具体分析，分析过程复杂，课时限制暂不列入讲课范围,管理运筹学 第四章 线性规划 敏感度分析,1、价值系数发生变化判断最优解是否变化的规则：检验数符号无变化如最优解发生变化处理规则：在原单纯形表的基础上使用单纯形法继续计算例: Max Z = 2x1 + 3x2 + 0x3 + 0x4+ 0x5S.t.
35、 x1 + 2x2+ x3 = 84x1 + x4 =16 4x2 +x5 = 12x1 , x2 , x3 , x4 , x5 0,考虑C2如发生变化的情况,管理运筹学 第四章 线性规划 敏感度分析,2、右端项发生变化判断最优解是否变化的规则：最优解中各决策变量x的取值全为正，但最优解的值和最优目标函数值都会发生变化如最优解发生变化处理规则：在原单纯形表的基础上使用对偶单纯形法继续计算例：求上题保持最优解选择不变时右端项b1、b2、b3的变化范围,管理运筹学 第四章 线性规划 敏感度分析,管理运筹学 第四章 线性规划 敏感度分析,3、技术系数变化判断最优解是否变化的规则：检验数符号无变化如最
36、优解发生变化处理规则：在原单纯形表的基础上使用单纯形法继续计算例：求上题中保持最优解不变时，甲产品技术系数中a21变化范围,管理运筹学 第四章 线性规划 敏感度分析,可得最优解：x* = ( 3.2,0.8,0,0,2.4 )T f* = 15.2,管理运筹学 第四章 线性规划 敏感度分析,4、增加约束条件判断最优解是否变化的规则：原最优解中是否满足新的约束条件；如满足则最优解不变如最优解发生变化处理规则：在原单纯形表的基础上添加一行一列表示新的约束条件，使用单纯形法或者对偶单纯形法继续计算例：求上题例增加3x1+ 2x225约束条件例：求上题例增加3x1+ 2x215约束条件,管理运筹学 第
37、四章 线性规划 敏感度分析,管理运筹学 第四章 线性规划 敏感度分析,5、增加新的决策变量判断最优解是否变化的规则：新决策变量的检验数是否为负如最优解发生变化处理规则：在原单纯形表的基础上使用单纯形法继续计算例：上题中增加 x6，对于三种资源的技术系数为 = ( 2, 6, 3 ) ，求保持最优解不变时新变量价值系数的变化范围。如新变量价值系数为5，结果如何？,管理运筹学 第四章 线性规划 敏感度分析,用单纯形法进一步求解，可得：x* = ( 1,1.5,0,0,0,2 )T f* = 16.5,5、对偶问题与影子价格,管理运筹学 第四章 线性规划,管理运筹学 第四章 线性规划 对偶问题与影子
38、价格,例： 若设备和原料都用于外协加工，工厂收取加工费。试问：设备工时和原料A、B 各如何收费才最有竞争力？设 y1 ，y2 ，y3 分别为每设备工时、 原料 A、B每单位的收取费用 Max z = 50 x1 + 100 x2 Min f = 300 y1 + 400 y2 + 250 y3 s.t. x1 + x2 300 s.t. y1 + 2 y2 + 502 x1 + x2 400 y1 + y2 + y3 100 x2 250x1 , x2 0 y1, y2 , y3 0这样从两个不同的角度来考虑同一个工厂的最大利润（最小租金）的问题，所建立起来的两个线性模型就是一对对偶问题，其中
39、一个叫做原问题，而另外一个叫对偶问题。,管理运筹学 第四章 线性规划 对偶问题与影子价格,1、对偶理论概述对称形式的对偶规划之间具有下面的对应关系：(1)若一个模型为目标求“极大”，约束为“小于等于”的不等式，则它的对偶模型为目标求“极小”，约束是“大于等于”的不等式。(2)从约束系数矩阵看：一个模型中为，则另一个模型中为AT。一个模型是m个约束，n个变量，则它的对偶模型为n个约束，m个变量。(3)从数据b、C的位置看：在两个规划模型中，b和C的位置对换。(4)两个规划模型中的变量皆非负。,一般称不具有对称形式的一对线性规划为非对称形式的对偶规划。（1）将模型统一为“max，”或“min，”
40、的形式，对于其中的等式约束按下面（2）、（3）中的方法处理；（2）若原规划的某个约束条件为等式约束，则在对偶规划中与此约束对应的那个变量取值没有非负限制；（3）若原规划的某个变量的值没有非负限制，则在对偶问题中与此变量对应的那个约束为等式。,管理运筹学 第四章 线性规划 对偶问题与影子价格,管理运筹学 第四章 线性规划 对偶问题与影子价格,例 写出下面线性规划的对偶规划模型,管理运筹学 第四章 线性规划 对偶问题与影子价格,管理运筹学 第四章 线性规划 对偶问题与影子价格,2、对偶理论相关定理(1)对偶问题如有最优解，则其最优解一定相等(2)对偶问题的对偶是原问题(3)在原问题取得最优解时，在
41、其松弛变量的检验数处同时取得对偶问题的最优解,管理运筹学 第四章 线性规划 对偶问题与影子价格,例： 某外贸公司准备购进两种产品Al、A2。购进产品A1每件需要10元，占用5m3的空间，待每件Al卖出后，可获纯利润3元；购进产品A2每件需要15元，占用3m3的空间，待每件A2卖出后，可获纯利润4元。公司现有资金1400元，有430m3的仓库空间存放产品，根据这些条件，可以建立求最大的线性规划模型：,管理运筹学 第四章 线性规划 对偶问题与影子价格,管理运筹学 第四章 线性规划 对偶问题与影子价格,3、对偶问题求解解法对偶问题中的Min问题可以转化为线性规划标准型法用单纯形法求解，但一般来说效率
42、较低也可以使用专门的对偶单纯形法求解但作为决策者不必专门了解两种求解方法，知道最主要的单纯形法即可且根据上一页定理3，在单纯形法求解出对偶问题中max问题最优解时，在其松弛变量的检验数处同时取得对偶问题中min问题的的最优解所以本课程不单独介绍对偶单纯形法,管理运筹学 第四章 线性规划 对偶问题与影子价格,管理运筹学 第四章 线性规划 对偶问题与影子价格,4、影子价格对偶变量yi的经济意义是第i种资源在最优决策下的边际价值，也就是说在其他条件不变的情况下，增加单位第i种资源将会使目标函数值的增加量其定量表达了在最优生产方案下对单位第i种资源的一种估价，这种估价不是该种资源的市场价格，而是在最优
43、生产方案下的结果，故称其为影子价格(shadow price),管理运筹学 第四章 线性规划 对偶问题与影子价格,例：上例中最优方案是购进两种产品分别为50件和60件。公司的最大利润是390元。 现在公司有另外一笔资金585元，准备用于投资。这笔资金如果用来购买产品Al、A2，当然可以使公司获得更多的利润；如果用来增加仓库的容量，也可以使公司获得更多的利润。这是因为，产品Al1、A2的单位利润不同，占据的空间也不同，由于仓库容量增加了，可以使购买产品Al、A2的数量比例发生变化，仍有可能使公司的利润增加。已知增加1m3的仓库空间需要08元。利用影子价格来分析此问题应如何决策？,由上例表可知，仓
44、库的影子价格y2=19，即增加1m3的仓库空间，公司可多获利19元。现已知，增加1m3的仓库空间需要08元，也就是说，如果将投资用于增加仓库空间，则每投资08元，可多获利l9元。或者说，每1元投资可多获利润1072元。再来看用于购买产品的资金的影子价格yl=1145，即每增加1元购买产品，可多获利润1145元，。经过比较分析，应将投资用于购买产品Al，A2，而不是用于增加仓库容量，这样可获得更多的利润。将585元进行投资之后，最大利润为：585yl=585元11/45=143元,管理运筹学 第四章 线性规划 对偶问题与影子价格,这一增量值，可通过对改变条件的新模型的求解结果得到验证。新模型为：
45、经单纯形法求解，最优解为分别购买A1和A2产品11件和125件，总利润为533元,管理运筹学 第四章 线性规划 对偶问题与影子价格,影子价格真实反映了资源在经济结构中最优决策下对总收益(目标函数值)的影响和贡献大小资源的影子价格越高，表明该种资源的贡献越大。影子价格为正数，表明该种资源在最优决策下已充分利用耗尽，并成为进一步增加总收益的紧缺资源，亦称短线资源影子价格为零，表明该种资源在最优决策下尚有剩余，成了长线资源。影子价格亦是机会成本当第i种资源的市场价格低于影子价格yi时，可适量买进这种资源，组织和增加生产；相反当市场价格高于影子价格时，可以卖出资源而不安排生产或提高产品的价格在完全的宏观市场条件下，随着资源的买进和卖出影子价格随之变化直到影子价格与市场价格保持同等水平时，才处于平衡状态,
