模型预测控制及其MATLAB实现.pdf

1、2015/11/11 1 1 第三篇 模型预测控制 及其MATLAB实现 2 7.1 动态矩阵控制理论 7.2 广义预测控制理论 7.3 预测控制理论分析 第7 章 预测控制理论 3 模型预测控制（Model Predictive Control：MPC） 是20世纪80年代初开始发展起来的一类新型计算机控 制算法。该算法直接产生于工业过程控制的实际应用， 并在与工业应用的紧密结合中不断完善和成熟。模型 预测控制算法由于采用了多步预测、滚动优化和反馈 校正等控制策略，因而具有控制效果好、鲁棒性强、 对模型精确性要求不高的优点。 4 实际中大量的工业生产过程都具有非线性、不 确定性和时变的特点，

2、要建立精确的解析模型十分 困难，所以经典控制方法如PID控制以及现代控制 理论都难以获得良好的控制效果。而模型预测控制 具有的优点决定了该方法能够有效地用于复杂工业 过程的控制，并且已在石油、化工、冶金、机械等 工业部门的过程控制系统中得到了成功的应用。 5 目前提出的模型预测控制算法主要有基于非参数 模型的模型算法控制（MAC）和动态 矩阵控制（ DMC），以及基于参数模型的广义预测控制（GPC ）和广义预测极点配置控制 （GPP）等。其中，模 型算法控制采用对象的脉冲响应模型，动态矩阵控 制采用对象的阶跃响应模型，这两种模型都具有易 于获得的优点；广义预测控制和广义预测极点配置 控制是预测

3、控制思想与自适应控制的结合，采用 CARIMA模型（受控自回归积分滑动平均模型）， 具有参数数目少并能够在线估计的优点，并且广义 预测极点配置控制进一步采用极点配置技术，提高 了预测控制系统的闭环稳定性和鲁棒性。 6 7. 1 动态矩阵控制理论 动态矩阵控制是一种基于计算机控制的技术，它 是一种增量算法，并基于系统的阶跃响应，它适用 于稳定的线性系统，系统的动态特性中具有纯滞后 或非最小相位特性都不影响该算法的直接应用。由 于它直接以对象的阶跃响应离散系数为模型, 从而避 免了通常的传递函数或状态空间方程模型参数的辩 识，采用多步预估技术从而能有效地解决时延过程 问题，按使预估输出与给定值偏差

4、最小的二次性能 指标实施控制，因此是一种最优控制技术，动态矩 阵控制算法的控制结构主要由预测模型、滚动优化 和误差校正及闭环控制形式构成。2015/11/11 2 7 图7-1 单位阶跃响应曲线 7.1.1 预测模型 从被控对象的阶跃响应出发，对象动态特性用一系 列动态系数 即单位阶跃响应在采样时刻的值 来描述，p称为模型时域长度，a p 是足够接近稳态值的 系数。 p a a a , , , 2 1 8 根据线性系统的比例和叠加性质(系数不变原理),若 在某个时刻k-i(k=i)输入u(k-i),则 对输出y(k)的 贡献为: (7-1) 若在所有 时刻同时有输入,则跟据叠加原 理有 (7-

5、2) 利用上式容易得到y(k+j的 n步预估(n=n=m)个时 刻的输出值尽可能接近期望值。为简单起见取控制加 权系数 (常数) 2 1 1 2 ) 1 ( ) ( ) ( ) ( j k u j j k w j k y J m j n j ) (j2015/11/11 3 13 若令 则式(7-9)可表示为 (7-10) 式中 w(k+j)称为期望输出序列值,在预测控制这类算 法中,要求闭环响应沿着一条指定的、平滑的曲线到 达新的稳定值,以提高系统的鲁棒性. 一般取 其中 为柔化系数 ；y(k)为系统实测输出 值；y r 为系统的给定值。 T n k w k w k w W ) ( , ),

6、 2 ( ), 1 ( U U W Y W Y J T T ) ( ) ( r j j y a k y a j k w ) 1 ( ) ( ) ( ) , , 2 , 1 ( n j 1 0 14 用Y的最优预测值 代替Y,即将式(3-8)代入式(3-10) 中 并令 得 (7-11) 式(7-11)与实际检测值无关，是算法的开环 控制形式。由于模型误差,弱非线性特性等影响,开环 控制式(7-11),不能紧密跟踪期望值,若等到经过m个时 刻后,再重复式(7-11),必然造成较大的偏差,更不能抑 制系统受到的扰动。故必须采用闭环控制算式,即仅 将计算出来的m个控制增量的第一个值付诸实施,即 现时

7、的控制增量为 (7-12) 式中 ； Y 0 U J ) ( ) ( 0 1 Y W A I A A U T T ) ( ) ( ) ( ) ( 0 0 1 Y W d Y W A I A A c k u T T T T 0 0 1 T c T T T T A I A A c d 1 ) ( 15 如果A, 都已确定,d 可事先离线解出,在线计算 u(k) 只需完成两个矢量的点积即可。 可见，预测控制的控制策略是在实施了u(k)之后, 采集k+1时刻的输出数据，进行新的预测、校正、优化 ，从而避免在等待m拍控制输入完毕期间,由于干扰等 影响造成失控。因此优化过程不是一次离线进行，而 是反复在线

8、进行的，其优化目标也是随时间推移的， 即在每一时刻都提出一个立足于该时刻的局部优化目 标，而不是采用不变的全局优化目标。 16 7.1.3 误差校正 由于每次实施控制，只采用了第一个控制增量 u(k) ，故对未来时刻的输出可用下式预测。 (7-13) 式中 表示在t=kT时刻预测的 有 作用时的未来p个时刻的系统输出； 表示在t=kT时刻预测的无 作用时的未来p个时刻的系统输出； 为单位阶跃响应在采样时刻的值。 0 ) ( p p Y k u a Y T p p k y k y k y Y ) ( , ), 2 ( ), 1 ( ) (k u T p p k y k y k y Y ) ( ,

9、 ), 2 ( ), 1 ( 0 0 0 0 ) (k u T p a a a a , , , 2 1 17 由于对象及环境的不确定性,在k时刻实施控制作用 后,在k+1时刻的实际输出y(k+1)与预测的输出 未见得相等,这就需要构成预测误差 并用此误差加权后修正对未来其它时刻的预测 即 (7-14) 式中 为t=(k+1)T时刻经误差 校正后所预测的t=(k+1)T时刻的系统输出； 为误差校正矢量， 。 ) ( ) 1 ( ) 1 ( 1 0 k u a k y k y ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( k y k y k e ) 1 ( k he Y Y p p T p k y k y

10、k y Y ) ( , ), 2 ( ), 1 ( T p h h h h , , , 2 1 1 1 h 18 经校正后的 作为下一时刻的预测初值，由于在 t=(k+1)T时刻的预测初值,应预测t=(k+2)T,(k+p+1)T 时刻的输出值,故令 (7-15) 由式(3-14), 式(3-15)得下一时刻的预测初值为 (7-16) 这一修正的引入,也使系统成为一个闭环负反馈系统, 对提高系统的性能起了很大作用。 由此可见,动态矩阵控制是由预测模型,控制器和校正 器三部分组成的,模型的功能在于预测未来的输出值,控 制器则决定了系统输出的动态特性,而校正器则只有当 预测误差存在时才起作用。 p

11、 Y ) 1 , , 2 , 1 ( ) 1 ( ) ( 0 p i i k y i k y ) 1 ( ) ( ) ( ) 1 , , 2 , 1 ( ) ( ) 1 ( ) ( 0 1 0 k e h p k y p k y p i i k e h i k y i k y p i 2015/11/11 4 19 7. 2 广义预测控制理论 十多年来产生了许多自校正器, 都成功地用于实际 过程,但是对变时延,变阶次与变参数过程, 控制效果 不好。因此研制具有鲁棒性的自校正器成为人们关 注的问题。 Richalet等人提出了大范围预测概念, 在此基础上, Clarke等人提出了广义预测自校正器

12、, 该算法以 CARIMA模型为基础, 采用了长时段的优化性能指标, 结合辨识和自校正机制, 具有较强的鲁棒性, 模型要 求低等特点,并有广泛的适用范围。 20 这个算法可克服广义最小方差（需要试凑控制量 的加权系数) 、极点配置(对阶的不确定性十分敏感) 等自适应算法中存在的缺点, 近年来, 它在国内外控 制理论界已引起了广泛的重视,GPC法可看成是迄今 所知的自校正控制方法中最为接近具有鲁棒性的一 种。 广义预测控制是一种新的远程预测控制方法，概 括起来具有以下特点 基于 CARIMA模型 目标函数中对控制增量加权的考虑 利用输出的远程预报 控制时域长度概念的引入 丢番图方程的递推求解 2

13、1 7.2.1 预测模型 在预测控制理论中，需要有一个描述系统动态行为 的基础模型，称为预测模型。它应具有预测的功能， 即能够根据系统的历史数据和未来的输入，预测系统 未来输出值。采用CARIMA模型作为预测模型 ，模型CARIMA是“Contrlled Auto-Regressive Integrated Moving-Average“ 的缩写，可以译为“受控自回归积分 滑动平均模型”，这个模型可以写成 (7-17) 其中 A(z -1 ),B(z -1 ),C(z -1 )分别是n,m和n阶的 的多项 式, = ；y(k),u(k)和 分别表示输出、输入和 均值为零的白噪声序列，如果系统时

14、滞大于零；B(z -1 ) 多项式领头的一项或几项系数等于零。 / ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( 1 1 1 k z C k u z B k y z A 1 z 1 1 z ) (k 22 Clarke 等人在推导广义预测控制时,为了简单起 见，令C(z -1 )=1 CARIMA模型具有下述优点 模型中的积分作用可消除余差； 可适用于一类非平稳随机噪声过程； 可以描述能用ARMAX模型描述的过程； 在大多数情况下,CARIMA模型比ARMAX模型 辩识效果更好； 用 CARIMA模型导出的控制器对未建模动态具 有较好的鲁棒性。 23 7.2.2 滚动优化 1. 目标函数

15、 为增强系统的鲁棒性(Robustness), 在目标函数中考 虑了现在时刻的控制u(k)对系统将来时刻的影响,采用 下列目标函数 (7-18) 其中 n称为最大预测长度，一般应大于B(z -1 )的阶数 ；m表示控制长度(m=n)； (j)是大于零的控制加权系 数。为简单起见取(j)（常数）。 m j n j j k u j j k w j k y J 1 2 1 2 ) 1 ( ) ( ) ( ) ( 24 为了柔化控制作用,控制的目的不是使输出直接跟 踪设定值,而是跟踪参考轨线,参考轨线由下式产生 (7-19) 式中 y r ,y(k),w(k)分别为设定值、输出和参考轨线， 为柔化系数

16、，01。 r j j y a k y a j k w ) 1 ( ) ( ) ( ) , , 2 , 1 ( n j 目标函数中后一项的加入, 主要用于压制过于剧烈的 控制增量, 以防止系统超出限制范围或发生剧烈振荡。2015/11/11 5 25 广义预测控制问题,可以归结为求 u(k), u(k+1), u(k+m-1)使得目标函数式(7-18)达到 最小值的问题,这是一个优化问题。 2. 输出预测 根据预测理论,为了预测超前j步输出,引入丢番图 Dioaphantine方程： (7-20) 其中 ) ( ) ( ) ( 1 1 1 1 z F z z A z E j j j 1 , )

17、( 0 1 1 , 1 1 0 1 j j j j j j j e z e z e e z E n jn j j j z f z f f z F 1 1 0 1 ) ( 26 将式(3-17)两边同时左乘以 后与式(7-20)可得 时刻k后j步的预测方程为 (7-21) 令 注意到 可知 的前j项正是系统单位阶跃响应 的前j项 故有 为书写方便将式(7-21)简记为 (7-22) ) ( 1 z E j ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( 1 1 1 1 j k z E k y z F j k u z B z E j k y j j j ) ( ) ( ) (

18、1 1 1 z B z E z G j j j j jj j jj j j z g z g z g g 1 1 1 1 0 ) ( 1 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1 1 1 1 1 1 z F z z A z B z B z E z G j j j j j j j ) ( 1 z G j , , 1 0 g g j jj j j j z g z g z g g z G 1 1 1 1 0 1 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( 1 1 1 j k z E k y z F j k u z G j k y j j j 27 对未来输出值的预报可忽略未来

19、噪声的影响得到 (7-23) 上式中包括k时刻的已知量和未知量两部分,用 表示已知量,即 写成矩阵形式 (7-24) 其中 ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( 1 1 k y z F j k u z G j k y j j ) , , 2 , 1 ( n j ) ( j k f ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( 0 1 1 1 1 1 2 0 1 1 2 1 0 1 k y F k u g g z g z G z n k f k y F k u g g z G z k f k y F k u g G k f n n

20、n n n ) ( ) ( k Fy k u H f 2 ) 1 ( 1 2 23 1 22 2 12 1 11 0 1 1 1 1 1 0 1 1 2 0 1 ) ( ) ( z g z g z g z g z g z g g g z g z G z g g z G z g G H n n nn n n n n T n F F F F , , , 2 1 28 根据式(7-23)可得最优输出预测值为 (7-25) 式中 f U G Y T n k y k y k y Y ) ( , ), 2 ( ), 1 ( T n k u k u k u U ) 1 ( , ), 1 ( ), ( T n

21、 k f k f k f f ) ( , ), 2 ( ), 1 ( 0 2 1 0 1 0 0 g g g g g g G n n 29 3. 最优控制律 若令 则式(7-18)可表示为 (7-26) 用Y的最优预测值 代替Y,即将式(3-25)代入式(3- 26) 并令 可得 (7-27) 实际控制时,每次仅将第一个分量加入系统 即 (7-28) 式中 为 的第一行 T n k w k w k w W ) ( , ), 2 ( ), 1 ( U U W Y W Y J T T ) ( ) ( Y 0 U J ) ( ) ( 1 f W G I G G U T T ) ( ) 1 ( ) (

22、 f W g k u k u T T g T T G I G G 1 ) ( 30 为了计算简单, 通常选mm 时,u(k+j-1)=0。这时, u变成了 m1矩阵,( G T G+ I) 则变成mm方阵, 降低了维数, 减小了计算量。对于 阶数较低的简单系统, 取m=1,则整个过程将不包括任 何矩阵运算。 与通常的最优控制不同，广义预测控制采用滚动 优化，优化目标是随时间推移的。即在每一时刻都 提出一个立足于该时刻的局部优化目标，不是采用 不变的全局优化目标。因此，优化过程不是一次离 线进行，而是反复在线进行的，这种滚动优化目标 的局部性，使其在理想条件下，只能得到全局的次 优解，然而当模型

23、失配或有时变、非线性及干扰影 响时，却能顾及这种不确定性，及时进行弥补，减 小偏差，保持实际上的最优。2015/11/11 6 31 7.2.3 反馈校正 在广义预测控制算法推导过程中，虽然没有明显 给出反馈或闭环的表示,但它在进行滚动优化时，强 调了优化的基点与实际系统一致。这意味着在控制 的每一步，都要检测实际输出并与预测值比较，并 以此修正预测的不确定性。当实际系统存在非线性、 时变、模型失配、干扰等因素时，这种反馈校正就 能及时修正预测值，使优化建立在较准确的预测基 础上。因此可降低对基础模型的要求，提高控制的 鲁棒性，在实际工业应用中，这点具有十分现实的 意义。 32 7. 3 预测

24、控制理论分析 7.3.1 的性能分析 1、引 言 近年来，广义预测控制无论是在工业应用界还是 在控制理论界都得到了广泛的重视，然而由于优化 的启发性质和算法的复杂性，对于这一算法的理论 研究十分困难，本文通过系统的闭环方块图求出了 闭环传递函数，并在内模控制结构的基础上，分析 了系统的闭环动态特性、稳定性和鲁棒性。 33 2、GPC系统闭环传递函数 1) 闭环方块图 为推求系统的闭环方块图，须将GPC算法各部分稍 加变换重写如下 (1）预测模型式(7-17) （7-29） (2）预测向量f式(7-24) （7-30） (3）参考轨迹W式(7-19) （7-31） 其中 ) ( ) ( ) (

25、1 k A C k u A B z k y ) ( ) ( k Fy k u H f ) ( ) ( k My k Qy W r T n k w k w k w W ) ( , ), 2 ( ), 1 ( T n Q , , , 2 T n M 1 , , 1 , 1 2 34 (4）控制增量 式(7-28) （7-32） 由以上4式得闭环方块图为 ) (k u ) ( ) ( f W g k u T y(k) M 1 H Q + - + + T g + + W ) (k u ) (k u + + F r y f ) (k A C A B z 1 图7-2 GPC控制系统闭环方块图 35 2)

26、 控制结构图 根据图7-2 的闭环方块图，可画出GPC的控制结构 图如图7-3所示。 ) (k y 1 1 1 z n 1 1 1 2 A C W T g 1 1 11 z g z g nn ) (k u ) (k f H n d d d 2 1 + + + + + + + - M F n F F 1 r y n a a 1 Q A B z 1 图 7-3 GPC控制结构图 36 图中粗线表示矢量信号流，细线表示标量信号流， 由此可见，GPC是由柔化、调节和预测三部分构成的。 在每一时刻，给定值序列经过柔化作用后得到的期望 输出向量，与预测输出相比较构成偏差向量，偏差向 量与动态向量g T 点

27、积得到该时刻的控制增量 ， 控制增量一方面通过数字积分运算求出控制量u(k)作 用于对象，另一方面又与系统输出一起去预测新的系 统输出值f。 ) (k u 2015/11/11 7 37 3) 闭环传递函数 由图7-2可求出GPC系统的闭环传递函数为 （7-33） 闭环系统的输出响应为 （7-34） 由以上可得如下结论 （1）GPC不是用控制器的极点去对消对象的零点， 因此不存在因对消不精确所带来的不稳定性问题，所 以GPC可用于非最小相位系统。 ) ( ) 1 ( ) ( ) ( 1 1 Q F Bg z A H g M Bg z k y k y T T T r ) ( ) ( ) 1 (

28、) 1 ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( 1 1 1 k Q F Bg z A H g C H g k y Q F Bg z A H g M Bg z k y T T T r T T T 38 （2）闭环传递函数中不包括 ，只要 是稳定 的多项式，至于 的精度，它只影响跟踪性能而不 影响闭环稳定性和鲁棒性。 （3）当 时, 而 , 由式（7- 20）知 即 ,从而 代入式(7-34)可得 ， 即系统在稳态时无差跟踪设定值，既使在 有阶跃扰动情况下也是无差跟踪，这里由CARIMA模 型内部积分作用所决定的。 （4）GPC系统闭环传递函数形式较为复杂(涉及到 向量F和H),不能明显看出GPC

29、的设计参数对系统性能 的关系，不便进行系统分析，为此将GPC算法结构变 为内模结构形式，以便借助于内模原理研究系统的鲁 棒性、稳定性和其它特性。 ) ( 1 z C ) ( 1 z C ) ( 1 z C ) 1 ( z k 0 0 ) ( k E 1 j F 1 F Q M F r y k y ) ( 39 3. 广义预测控制的内模控制描述 1) GPC内模结构的推导过程 由图7-2变换依次可得图7-4(a)、(b)和(c)。 (a) 1 T g ) (k u ) (k u d + - + + - M H ) (k y r y + Q F A B z 1 40 (c) 图7-4 GPC系统内

30、模结构的推导过程 M g T 1 ) (k u + - ) ( Q F g T r y H g T 1 1 A B z 1 + d + ) (k y ) (k u M g T H g T 1 1 1 ) (z G A B Z 1 d ) (k u ) (k u ) (k y - - - r y ) ( Q F g T A B Q F g z T ) ( 1 (b) 41 最后由图7-4(c)可得GPC的内模结构图为 图7-5 GPC系统内模结构图 ) (s R ) (z G ) (z G c ) ( z G ) (k u ) (k d ) (k y ) ( k d - - r y ) (z F

31、 42 图中 被控过程的实际模型； 被控过程的预测 模型； 为控制器； 为滤波器； 总的扰动量； 为模型误差信号。 其中 （7-35） ) ( 1 z G ) ( 1 z G ) ( 1 z G c ) ( 1 z F ) (k d ) ( k d , , , ), 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( , ) ( 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n T n j j j T n j j j j T T T c d d d g d M g z R F d Q F g z F B Q F g z A H g A z G A B z z G 2015/11/11

32、 8 43 2) GPC的闭环稳定性 由系统的内模结构图7-5可得系统的控制量和输出量 分别为: （7-36） （7-37） 系统稳定的充要条件是闭环特征方程的零点位于单 位园内 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ( ) ( 1 ) ( ) ( 1 1 1 1 1 1 1 k d z F y z R z G z G z F z G z G k u r c c ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1 ) ( ) ( ) ( 1 1 1 1 1 1 1 1 k d k d z F y z R z G z G z F z G z G z G k y r c c

33、 44 由式（7-36），式（7-37）得特征方程 （7-38） （7-39） 当模型匹配 时，由式（7-38），式（7-39） 得 （7-40） （7-41） 0 ) ( ) ( ) ( ) ( 1 1 1 1 1 z G z G z F z G c 0 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1 1 1 1 1 1 1 z G z G z G z F z G z G c 0 ) ( 1 1 z G c 0 ) ( ) ( 1 1 1 z G z G c ) ( ) ( 1 1 z G z G 45 由此可得结论： （1）若对象稳定，控制器稳定，则闭环系统稳定； （2）既使控制器具有

34、非线性特性，但只要保证输入 输出的稳定性，对稳定的受控对象，一定能得到稳定 的闭环响应，也就是说若系统输入u(k)受到约束时, 不 会影响整个系统的稳定性，这一优点深受广大实际工 程人员的欢迎； （3）若对象开环不稳定，除非有准确的极点对消， 否则不能得到稳定解。 46 以上结论（3）说明,如果对消不完全,不稳定因素总 会被激励出来。GPC解决这个问题的措施在于控制时 域长度概念的引入，即经过一段时间 m后, 令控制增 量为零，这相当在目标函数中对控制增量作无穷大加 权,正是这个无穷大加权，才使不稳定对消因子的作 用受到抑制 47 3) GPC系统的鲁棒性 这里我们所谈的鲁棒性是指当模型失配

35、时，系统仍能维持一定的稳定性的程度。 在讨论基于模型CARIMA的广义预测控制时，由 于我们采用了下列措施，而增强了系统的鲁棒性。 （1）参考轨迹的引入 为了使控制过程平稳，我们不要求系统输出y(k)直 接跟踪设定值yr，而使对象输出y(k)沿着参考轨迹到达 给定值yr。 由式(7-19)容易看出, 小w(k)很快趋向yr，这时 控制系统跟踪的快速性好，但鲁棒性差，增大 ， w(k)跟踪yr的过程较长，这时系统跟踪的快速性变差 而鲁棒性提高，在实际应用中， 值的选择是控制系统 的快速性要求与鲁棒性要求的折衷。 ) ( ) ( 1 1 z G z G 48 （2）在目标函数中考虑了现在时刻的控制

36、u(k)对系统 将来输出的影响 广义预测控制问题,可以归结为求, 使得目标函数式(7-18)达到最小值的问题 ，这是一个最优化问题。下面我们借助内模原理对这 些措施作一分析。 a) 由式(7-38)的特征方程 可见当 时，通过对 中参数的调整 ,可使特征方程的根位于单位圆内。 ) (k u ) 1 ( k u ) 1 ( m k u 0 ) ( ) ( ) ( ) ( 1 1 1 1 1 z G z G z F z G c ) ( ) ( 1 1 z G z G ) ( 1 z F2015/11/11 9 49 b) 由图7-5得，在干扰d(k)作用下内模控制反馈为 （7-42） 当 时，式（

37、3-42）变为 （7-43） 由此可知， 包含着模型失配的信息，改变 的特性，就能获得不同的鲁棒性，而改变 的特性 是由选择不同的 来实现的。 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1 ) ( ) ( 1 1 1 1 1 k d z G z G z F z G z F k d c ) ( ) ( 1 1 z G z G ) ( ) ( ) ( 1 k d z F k d ) ( k d ) ( k d ) ( k d ) ( 1 z F 50 由此可见，滤波器 在这里是一个关键因素， 中的参数能直接对系统的鲁棒性进行调整，若有模型 失配，则 的作用将使失配的影响减少到尽量小的 程度，而且还能

38、镇定由于模型失配可能带来的不稳定 性。若无模型失配,则 又可补偿一类动态干扰,若存 在模型失配，由式（7-43）直观地可知，要减小失配 的影响，可使 减小，而由式（7-35）知, 增加柔化 因子可使 减小，故增大柔化作用（增大 ），可 提高系统的鲁棒性。 鲁棒性是预测控制突出的优点之一，现有的文献 表明，预测控制在工业过程控制中获得成功的应用， 首先应归功于预测控制的鲁棒性。 ) ( 1 z F ) ( 1 z F ) ( 1 z F ) ( 1 z F ) ( 1 z F ) ( 1 z F 51 7.3.2 与控制规律的等价性证明 1. 的最优控制律 由7.2知，当系统采用CARIMA模型

39、式(7-17) 对目标函数式(7-18) 的最优控制律为式(7-27) / ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( 1 1 1 k z C k u z B k y z A 2 1 1 2 ) 1 ( ) ( ) ( ) ( j k u j j k w j k y J m j n j ) ( ) ( 1 f W G I G G U T T 52 其中 矩阵G中的元素 为系统单位阶跃响应 的前n项。 T n k u k u k u U ) 1 ( , ), 1 ( ), ( T n k w k w k w W ) ( , ), 2 ( ), 1 ( T n k f k f k f f

40、) ( , ), 2 ( ), 1 ( 0 2 1 0 1 0 0 g g g g g g G n n 1 1 0 , , , n g g g 53 2、的最优控制律 由7.1知，若已知对象的单位阶跃响应 ,则对用式(7-9) 所表示的目标函数 的最优控制律为式(7-11) 其中 矩阵A中的元素 为系统单位阶跃响应的前n项 , , , , 1 1 0 n g g g 2 1 1 2 ) 1 ( ) ( ) ( ) ( j k u j j k w j k y J m j n j ) ( ) ( 0 1 Y W A I A A U T T T n k u k u k u U ) 1 ( , ),

41、1 ( ), ( T n k w k w k w W ) ( , ), 2 ( ), 1 ( T n k y k y k y Y ) ( , ), 2 ( ), 1 ( 0 0 0 0 0 2 1 0 1 0 1 1 1 2 1 0 0 g g g g g g a a a a a a A n n n n n a a a , , , 2 1 54 3. 与的等价性 由上可得如下结论 ()中G矩阵和中A矩阵中的元素同为 系统单位阶跃响应的前n项，故对同一系统应有A=G 。 ()中的 U与中的 U完全一样，同为 控制量序列。 ()中的W与中的W一样，同为柔化作 用后的输出跟踪序列 T n k u k

42、 u k u U ) 1 ( , ), 1 ( ), ( T n k w k w k w W ) ( , ), 2 ( ), 1 ( r j j y a k y a j k w ) 1 ( ) ( ) ( ) , , 2 , 1 ( n j 2015/11/11 10 55 ( )式 (7-27) 的导出是基于由式(7-17) 表述的 CARIMA 参数模型而式(7-11)导出是基于由式(7-17) 表述的同一系统的非参数模型。众所周知，对同一线 性系统，在同一目标函数下最优控制解具有唯一性。 由式 (7-18)与式(7-9)相同，知式(7-27)和式(7-11)完全 等价。 ()由的控制规律与的控制规律完全等 价知,中的f向量相当于中的Y 0 向量，而 Y 0 的物理意义是明确的，它是在k时刻预测的未来n 个时刻未加控制增量u(k)的系统输出量。从而可知f 就表示k时刻基于以往数据对未来输出的预测。 56 7.3.3 与的比较 广义预测控制汲取了动态矩阵控制的多步预测、滚 动优化策略, 同时又保持了自校正控制器的优点。把 它与动态矩阵控制作一比较，对于理解其控制机理及 优良性能是十分有益的。 57 1 预测模型 采用了CARIMA模型，可用来描述包括不稳 定系统在内的任意对象,而采用有限卷积模型 作为预测模型