1、(D)专题 二次函数中的面积计算问题典型例题 例. 如图，二次函数 图象与 轴交于 A,B 两点(A 在 B 的左边)，与 轴交于点 C，顶点为 M 2yxbcx y， 为直角三角形, 图象的对称轴为直线 ，点 P是抛物线上位于 两点之间的一个动点，MAB2,A则 的面积的最大值为（ C ）PCA B C D27412783二次函数中面积问题常见类型：一、选择填空中简单应用二、不规则三角形面积运用 S=三、运用四、运用相似三角形五、运用分割方法将不规则图形转化为规则图形例 1. 如图 1，已知：正方形 ABCD 边长为 1，E、F、G、H 分别为各边上的点， 且 AE=BF=CG=DH, 设小
2、正方形 EFGH 的面积为 s，AE 为 x，则 s关于 x的函数图象大致是（ B ）例 2. 解答下列问题：如图 1，抛物线顶点坐标为点 C(1，4)，交 x 轴于点 A(3，0)，交 y 轴于点 B.（1）求抛物线和直线 AB 的解析式；（2）求CAB 的铅垂高 CD 及 SCAB ；（3）设点 P 是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，是否存在一点 P，使 SPAB SCAB ，若存89在，求出 P 点的坐标；若不存在，请说明理由.思路分析此题是二次函数中常见的面积问题，方法不唯一，可以用割补法，但有些繁琐，如图 2 我们可得出第 10 题xy A BCOM图 1BC铅垂高水平宽ha图
3、2AxCOyABD11图 1一种计算三角形面积的新方法： 即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.掌握这个公ahSABC21式后，思路直接，过程较为简单，计算量相对也少许多，答案:（1）由已知，可设抛物线的解析式为 y1 a(x 1)24( a 0)把 A(3，0)代入解析式求得a 1，抛物线的解析式为 y1 (x 1)24，即 y1 x 22x3设直线 AB 的解析式为 y2 kxb ，由 y1 x 22x3 求得 B 点的坐标为(0，3)把 A(3， 0)，B(0，3)代入 y2 kxb，解得 k 1，b 3直线 AB 的解析式为 y2 x3 （2）C(1，4)，当 x 1 时，y 1
4、4，y 2 2CAB 的铅垂高 CD4 22 SCAB 323(平方单位 ) （3）解：存在 设 P 点的横坐标为 x，PAB 的铅垂高为 h则 h y1 y2( x 22x3 )( x3 ) x 23x由 SPAB SCAB 得： 3( x 23x) 389189整理得 4x 2 12x9 0 ， 解得 x 把 x 代入 y1 x 22x3，得 y1 345P 点的坐标为 ( ， ) 45例 3. （贵州省遵义市）如图，在平面直角坐标系中，RtAOB 的顶点坐标分别为 A（0，2） ，O（0，0） ，B（4，0） ，把AOB 绕点 O 逆时针方向旋转 90得到COD（点 A 转到点 C 的位
5、置） ，抛物线 y ax 2bxc(a0)经过 C、D、B 三点（1）求抛物线的解析式；（2）若抛物线的顶点为 P，求PAB 的面积；（3）抛物线上是否存在点 M，使MBC 的面积等于PAB 的面积？若存在，请求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由xCOyABD11图 2P-3BAxyO 2-1-112345-2 1 3 4 5思路分析:根据题目所给信息，函数关系式和 PAB 的面积很容易求出。第（ 3）问是二次函数中常见的动点问题，由于点 M 是抛物线上的一个不确定点，点 M 可以处于不同的位置，是由于点的不确定性而导致图形的形状发生特征上的变化，故而用分类讨论的思想解决问题。答案:（1）
6、由题意知 C（ 2，0） ，D （0，4） 抛物线经过 B（4，0） ，C（ 2，0） 可设抛物线的解析式为 y a(x2)(x 4)将 D（0，4）代入上式，解得 a 1该抛物线的解析式为 y (x2)(x 4)即 y x 2x 41（2）y x 2x 4 (x 1)2 9抛物线的顶点 P 的坐标为（1， ） 过点 P 作 PE 轴于点 E，如图y则 SPAB S 四边形 PEOB SAOB SPEA (14) 42 ( 2)162919（3）假设存在这样的点 M，其坐标为 M（x，y） 则 SMBC | y |6S PAB 6即 | y |66，y 221当 y2 时， (x 1)2 2，
7、解得 x ； 951当 y 2 时， (x 1)2 2，解得 x 3存在点 M，使MBC 的面积等于 PAB 的面积，其坐标为：M1（ ，2） ，M 2（ 5 ，2） ，M 3（ ， 2） ，M 4（ ， 2） 5 1 13例 4如图，抛物线与 x 轴交于 A（x 1，0），B（x 2，0）两点，且 x1x 2，与 y 轴交于点 C（0，4），其中 x1，x 2 是方程 x 2 2x 80 的两个根（1）求这条抛物线的解析式；（2）点 P 是线段 AB 上的动点，过点 P 作 PEAC，交 BC 于点 E，连接 CP，当CPE 的面积最大时，求点 P 的坐标；（3）探究：若点 Q 是抛物线对称
8、轴上的点，是否存在这样的点 Q，使QBC 成为等腰三角形，若存在，请直接写出所有符合条件的点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由-3BAxyO 2-1-112345-2 1 3 4 5PEB AyO PECx解：（1）解方程 x 2 2x 80，得 x1 2，x 24A（4，0） ，B（ 2，0） 抛物线与 x 轴交于 A，B 两点，可设抛物线的解析式为ya(x2)(x 4)（a 0）又抛物线与 y 轴交于点 C（ 0，4） ，a 2( 4)4，a 21抛物线的解析式为 y (x2)(x 4)，即 y x 2x4 1（2）设点 P 的坐标为（m ，0） ，过点 E 作 EGx 轴于点 G，如图A
9、（4，0） ，B（ 2，0） ，AB6，BPm2PEAC ， BPEBAC ， ，EG COEG4 34S CPE SCBP SBPE BPCO BPEG21 (m2 )(4 )3 (m 1)23 又 2m4，当 m1 时，S CPE 有最大值 3此时点 P 的坐标为（1，0）（3）存在这样的点 Q，使 QBC 成为等腰三角形，点 Q 的坐标为：Q1(1，1)，Q 2(1， )，Q 3(1， )，Q 4(1， )，Q 5(1， ) 9 94设点 Q 的坐标为（1，n） B（ 2，0） ，C（0，4） ，BC 2( 2)24 220当 QBQC 时，则 QB2QC 2即( 2 1)2y 2( 1
10、)2(4 y)2，y1Q 1(1，1)当 BCBQ 时，则 BQ2BC 2即( 2 1)2y 220，y 1Q 2(1， )，Q 3(1， )当 QCBC 时，则 QC2BC 2即 12(4 y)220，y 194Q 4(1， )，Q 5(1， )9 例 5如图 1，抛物线 y x 2 2xk 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C（0， 3） （图 2、图 3 为解答备用图）（1）k _，点 A 的坐标为_，点 B 的坐标为_；（2）设抛物线 y x 2 2xk 的顶点为 M，求四边形 ABMC 的面积；B AyO PECxGB AyOCxQ1Q2Q4Q3Q5（3）在 x 轴下方
11、的抛物线上是否存在一点 D，使四边形 ABDC 的面积最大？若存在，请求出点 D 的坐标；若不存在，请说明理由；（4）在抛物线 y x 2 2xk 上求点 Q，使BCQ 是以 BC 为直角边的直角三角形解：（1） 3， （ 1，0） ， （3，0） ；（2）连结 OM，如图 1y x 2 2x k (x 1)2 4抛物线的顶点 M 的坐标为（ 1， 4） S 四边形 ABMC SAOC SCOM SMOB 13 31 3422 9 说明：也可过点 M 作抛物线的对称轴，将四边形 ABMC 的面积转化为求一个梯形与两个直角三角形面积的和（3）设 D（m，m 2 2m 3），连结 OD，如图 2则
12、 0m3，m 2 2m 30S 四边形 ABDC SAOC SCOD SDOB 13 3m 3 (m 2 2m 3) m 2 m621 9 (m )2 875当 m 时，四边形 ABDC 的面积最大23此时 m 2 2m 3 ( )2 2 3 41存在点 D（ ， ） ，使四边形 ABDC 的面积最大 415（4）有两种情况：如图 3，过点 B 作 BQ1BC，交抛物线于点 Q1、交 轴于点 E，连接 Q1Cy在 RtCOB 中，OBOC3，CBO45，EBO45，OB OE3点 E 的坐标为（0，3） 直线 BE 的解析式为 y x3令 x3x 2 2x 3，解得 ，521 03 yxyxB
13、A OC图 1yxBA OC图 2yxBA OC图 3yxBA OC图 1MyxBA OC图 2DyxBA OC图 3Q1E点 Q1 的坐标为（ 2，5） 如图 4，过点 C 作 CFCB，交抛物线于点 Q2、交 x 轴于点 F，连接 BQ2CBO45，CFB45，OFOC3点 F 的坐标为（ 3，0） 直线 CF 的解析式为 y x 3令 x 3x 2 2x 3，解得 ，41 302 yx点 Q2 的坐标为（1， 4） 综上所述，在抛物线 y x 2 2x 3 上，使BCQ 是以 BC 为直角边的直角三角形的点 Q 有两个，分别是：Q1（ 2，5）和 Q2（1， 4） 精选练习1.如图，AB
14、 为半圆的直径，点 P 为 AB 上一动点，动点 P 从点 A 出发，沿 AB 匀速运动到点 B，运动时间为t，分别以 AP 于 PB 为直径做半圆，则图中阴影部分的面积 S 与时间 t 之间的函数图像大致为（ ）2如图，已知 A、B 是反比例函数 （k0，x 0）图象上y 的两点，BCx 轴，交 y 轴于点 C。动点 P 从坐标原点 O 出发，沿OABC（图中“”所示路线）匀速运动，终点为 C。 过 P 作PMx 轴，PNy 轴，垂足分别为 M、N。设四边形 OMPN 的面积为 S，P 点运动时间为 t，则 S 关于 t 的函数图象大致为A BO tSO tSO tSO tSC D3. 如图
15、，四边形 ABCD 中， BAD= ACB=90， AB=AD， AC=4BC，设 CD 的长为 x，四边形 ABCD 的面积为 y，则 y 与 x 之间的函数关系式是 (第 3 题)AB CDyxBA OC图 4FQ2ABCNO MPxy（第 2 题图）4.如图，两条抛物线 y1=- 2+1、y 2= 2-1 与分别经过点（-2 ，0） ， （2，0）且平行于 y 轴的两条平行1线围成的阴影部分的面积为 5如图，在直角坐标系中，点 A 的坐标为( 2，0)，连结 OA，将线段 OA 绕原点 O 顺时针旋转 120，得到线段 OB（1）求点 B 的坐标；（2）求经过 A、O、B 三点的抛物线的
16、解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点 C，使BOC 的周长最小？若存在，求出点 C 的坐标；若不存在，请说明理由（4）如果点 P 是（2）中的抛物线上的动点，且在 x 轴的下方，那么PAB 是否有最大面积？若有，求出此时 P 点的坐标及PAB 的最大面积；若没有，请说明理由6.如图，抛物线 y x 2 bx c 与 x 轴交于 A(1，0 )，B ( 3，0 )两点（1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线交 y 轴于 C 点，在该抛物线的对称轴上是否存在点 Q，使得QAC 的周长最小？若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在（1）中的抛物线上的第二象限
17、内是否存在一点 P，使PBC 的面积最大？，若存在，求出点P 的坐标及PBC 的面积最大值；若不存在，请说明理由A xyBOOB ACyx7如图，已知抛物线 y ax 2bx 4 与直线 y x 交于点 A、B 两点，A、B 的横坐标分别为1 和 4（1）求此抛物线的解析式（2）若平行于 y 轴的直线 x m（0m 1）与抛物线交于点 M，与直线 y x 交于点 N，交 x 轴5于点 P，求线段 MN 的长（用含 m 的代数式表示） （3）在（2）的条件下，连接 OM、BM，是否存在 m 的值，使得 BOM 的面积 S 最大？若存在，请求出 m 的值，若不存在，请说明理由8已知二次函数 y x
18、 2ax a 2（1）求证：不论 a 为何实数，此函数图象与 x 轴总有两个交点；（2 ） 设 a 0， 当 此 函 数 图 象 与 x 轴 的 两 个 交 点 的 距 离 为 时 ， 求 出 此 二 次 函 数 的 解 析 式 ；13（3）若此二次函数图象与 x 轴交于 A、B 两点，在函数图象上是否存在点 P，使得PAB 的面积为 ？213若存在，求出 P 点坐标；若不存在，请说明理由9已知：t 1，t 2 是方程 t 22t 240，的两个实数根，且 t1t 2，抛物线 y x 2bxc 的图象经过点3A（t 1，0） ，B （ 0，t 2） （1）求这个抛物线的解析式；（2）设点 P（
19、x ，y ）是抛物线上一动点，且位于第三象限，四边形 OPAQ 是以 OA 为对角线的平行四边形，求 OPAQ 的面积 S 与 之间的函数关系式，并写出自变量 的取值范围；x x（3）在（2）的条件下，当 OPAQ 的面积为 24 时，是否存在这样的点 P，使 OPAQ 为正方形？若存在，求出 P 点的坐标；若不存在，说明理由ABMPONxy x my xBA OQPxy10如图，已知抛物线 y ax 2bxc 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C其中点 A 在 x 轴的负半轴上，点 C 在 y 轴的负半轴上，线段 OA、OC 的长（OAOC）是方程 x 25x40 的两个根，且
20、抛物线的对称轴是直线 x1（1）求 A、B 、C 三点的坐标；（2）求此抛物线的解析式；（3）若点 D 是线段 AB 上的一个动点（与点 A、B 不重合） ，过点 D 作 DEBC 交 AC 于点 E，连结CD，设 BD 的长为 m，CDE 的面积为 S，求 S 与 m 的函数关系式，并写出自变量 m 的取值范围S 是否存在最大值？若存在，求出最大值并求此时 D 点坐标；若不存在，请说明理由11如图，在梯形 ABCD 中，DCAB，A90 ，AD 6 厘米，DC4 厘米，BC 的坡度 i3 : 4动点P 从 A 出发以 2 厘米/秒的速度沿 AB 方向向点 B 运动，动点 Q 从点 B 出发以
21、 3 厘米/秒的速度沿BCD 方向向点 D 运动，两个动点同时出发，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止设动点运动的时间为 t 秒（1）求边 BC 的长；（2）当 t 为何值时，PC 与 BQ 相互平分；（3）连结 PQ ，设PBQ 的面积为 y，探求 y 与 t 的函数关系式，求 t 为何值时，y 有最大值？最大值是多少？12如图，已知抛物线 y ax 2bx3（a0）与 x 轴交于点 A(1，0)和点 B(3，0)，与 y 轴交于点C（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的对称轴与 x 轴交于点 M，问在对称轴上是否存在点 P，使CMP 为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条
22、件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图，若点 E 为第二象限抛物线上一动点，连接 BE、CE，求四边形 BOCE 面积的最大值，并求此时 E 点的坐标yxBDOAECCcDcAcBcQcPcOCABxyM（图）OCABxy（图）13如图，已知抛物线 y a(x 1)2 (a0 )经过点 A( 2，0 )，抛物线的顶点为 D，过 O 作射线3OMAD过顶点 D 平行于 轴的直线交射线 OM 于点 C，B 在 轴正半轴上，连结 BCx（1）求该抛物线的解析式；（2）若动点 P 从点 O 出发，以每秒 1 个长度单位的速度沿射线 OM 运动，设点 P 运动的时间为t（s） 问：当 t
23、为何值时，四边形 DAOP 分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？（3）若 OCOB，动点 P 和动点 Q 分别从点 O 和点 B 同时出发，分别以每秒 1 个长度单位和 2 个长度单位的速度沿 OC 和 BO 运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动设它们的运动的时间为 t（s） ，连接 PQ，当 t 为何值时，四边形 BCPQ 的面积最小？并求出最小值及此时PQ 的长14如图，OAB 是边长为 2 的等边三角形，过点 A 的直线 y xm 与 x 轴交于点 E3（1）求点 E 的坐标；（2）求过 A、O、E 三点的抛物线解析式；（3）若点 P 是（2）中求出的抛物线 AE 段上一
24、动点（不与 A、E 重合） ，设四边形 OAPE 的面积为S，求 S 的最大值15已知二次函数的图象经过 A（2，0） 、C(0，12) 两点，且对称轴为直线 x=4. 设顶点为点 P，与 x 轴的另一交点为点 B.（1）求二次函数的解析式及顶点 P 的坐标；（2）如图 1，在直线 y=2x 上是否存在点 D，使四边形 OPBD 为等腰梯形？若存在，求出点 D 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图 2，点 M 是线段 OP 上的一个动点（O、P 两点除外） ，以每秒 个单位长度的速度由点 P2向点 O 运动，过点 M 作直线 MNx 轴，交 PB 于点 N. 将PMN 沿直线 MN 对折，
25、得到P1MN. 在动点 M 的运动过程中，设P 1MN 与梯形 OMNB 的重叠部分的面积为 S，运动时间为t 秒. 求 S 关于 t 的函数关系式. D CMyOABQPxyxBAO EA xyBO图 1M二次函数中的面积计算问题参考答案1.D 2.A 3. 4. 825xy5.解：（1）如图 1，过点 B 作 BMx 轴于 M由旋转性质知 OBOA2AOB120，BOM 60OM OBcos602 1，BMOBsin602 23点 B 的坐标为(1， ) 3（2）设经过 A、O、B 三点的抛物线的解析式为 y ax 2 bx c抛物线过原点，c 0 解得324ba32ba所求抛物线的解析式
26、为 y x 2 x （3）存在 如图 2，连接 AB，交抛物线的对称轴于点 C，连接 OCOB 的长为定值，要使 BOC 的周长最小，必须 BC OC 的长最小点 A 与点 O 关于抛物线的对称轴对称， OC ACBC OC BC AC AB由“两点之间，线段最短”的原理可知：此时 BC OC 最小，点 C 的位置即为所求设直线 AB 的解析式为 y kx m，将 A( 2，0)，B(1， )代入，得3OPCBAxy图 1 图 2MOAxPNCBy解得302mk32mk直线 AB 的解析式为 y x 抛物线的对称轴为直线 x 1，即 x 132将 x 1 代入直线 AB 的解析式，得 y (
27、1) 32点 C 的坐标为( 1， ) 3（4）PAB 有最大面积 如图 3，过点 P 作 y 轴的平行线交 AB 于点 DS PAB SPAD S PBD (yDy P)(xBx A)21 ( x )( x 2 x)(12)33 x 2 x (x )2189当 x 时，PAB 的面积有最大值，最大值为 2 839此时 yP ( )2 ( ) 313214此时 P 点的坐标为 ( ， )246.解：（1）将 A(1，0 )，B ( 3，0 )代入 y x 2 bx c 得解得 9 cb3 cb该抛物线的解析式为 y x 2 2x3（2）存在该抛物线的对称轴为 x 1)(抛物线交 x 轴于 A、
28、B 两点，A 、B 两点关于抛物线的对称轴 x 1 对称由轴对称的性质可知，直线 BC 与 x 1 的交点即为所求的 Q 点，此时QAC 的周长最小，A xyBO图 2CA xyBO图 3DP如图 1将 x0 代入 y x 2 2x3，得 y3点 C 的坐标为 (0，3 )设直线 BC 的解析式为 y kxb 1，将 B( 3，0 )，C (0，3 )代入，得1 bk解得 1bk直线 BC 的解析式为 y x3 联立 解得3 xy2 点 Q 的坐标为 ( 1，2 ) （3）存在 设 P 点的坐标为（x ， x 2 2x3） （ 3x0） ，如图 2S PBC S 四边形 PBOC SBOC S
29、 四边形 PBOC 33 S 四边形 PBOC 129当 S 四边形 PBOC 有最大值时，S PBC 就最大S 四边形 PBOC SRtPBE S 直角梯形 PEOC BEPE (PEOC)OE21 (x3)( x 2 2x3) ( x 2 2x33)( x)1 (x )2 987当 x 时，S 四边形 PBOC 最大值为 2S PBC 最大值 9827当 x 时， x 2 2x3 ( )2 2( )3 3 415点 P 的坐标为 ( ， )4157.解：（1）由题意知 A（1， 1） ，B（4，4） ，代入 y ax 2bx4，得解得 46 ba1 ba所求抛物线的解析式为 y x 22x
30、 4 3 分由 x m 和 y x，得交点 N（m，m ）同理可得 M（m，m 22m4） ，P（m ，0）PN| m|，MP| m 22m 4|0m 15OB ACyxQ1x图 1OB ACyxQ图 2EPAC BMPONxy x my xMNMPPN mm 22m 4m 23m4（3）过 B 作 BCMN 于 C则 BC4m，OPm S S MON S BMN MNOP MNBC MN(OPBC)2121212(m 23m4)2(m )2 520当 m 时，S 有最大值38.解： （1）a 2 4(a 2)(a 2)240不论 a 为何实数，此函数图象与 x 轴总有两个交点（2）设 x1、
31、x 2 是 y x 2axa 20 的两个根则 x1x 2 a，x 1x2 a 2此 函 数 图 象 与 x 轴 的 两 个 交 点 的 距 离 为 ，(x 1 x2)2133即(x 1x 2)2 4x1x213( a)2 4(a 2)13，整理得(a1)(a 5)0，解得 a 1或 a5a 0， a 1此二次函数的解析式为 y x 2 x 3（3）设点 P 的坐标为（x p，y p）函 数 图 象 与 x 轴 的 两 个 交 点 的 距 离 为 ， AB 113S PAB AB|yp| ， 即 |yp| 212132|y p|3 ， yp 3当 yp3 时，x p2 xp 33 ， 解 得
32、xp 2 或 xp3 ；当 yp 3 时，x p2 xp 3 3， 解 得 xp0 或 xp1 综上所述，在函数图象上存在点 P，使得PAB 的面积为 ， P 点坐标为：23P1（ 2， 3） ，P 2（3 ， 3） ，P 3（0 ， 3）或 P4（1 ， 3） 9.解：（1）由 t 22t 240，解得 t1 6，t 24 t 1t 2，A（ 6，0） ，B（0，4） 抛物线 y x 2bx c 的图象经过点 A，B 两点3 解得4 cb431 cb这个抛物线的解析式为 y x 2 x43（2）点 P（x ，y ）在抛物线上，且位于第三象限，y 0，即 y0又S 2SAPO 2 | OA|
33、y | | OA| y | 6| y |1S 6y分 6( x 2 x4 ) 4(x 27x6 ) 4(x )2253 7令 y 0，则 x 2 x4 0，解得 x1 6，x 2 11抛物线与 x 轴的交点坐标为（ 6，0） 、 （ 1，0）x 的取值范围为 6x 1（3）当 S 24 时，得 4(x )225 24，解得：x 1 4，x 2 3 7代入抛物线的解析式得：y 1y 2 4点 P 的坐标为（ 3， 4） 、 （ 4， 4） 当点 P 为（ 3， 4）时，满足 POPA，此时， OPAQ 是菱形当点 P 为（ 4， 4）时，不满足 POPA，此时， OPAQ 不是菱形要使 OPAQ
34、 为正方形，那么，一定有 OAPQ，OAPQ，此时，点的坐标为（ 3， 3） ，而（ 3， 3）不在抛物线 y x 2 x4 上，故不存在这样的点 P，使 OPAQ 为正方形3110解：（1）OA、OC 的长是方程 x 25x40 的两个根，OA OCOA1，OC4点 A 在 x 轴的负半轴，点 C 在 y 轴的负半轴A（1，0） ，C（0，4） 抛物线 y ax 2bx c 的对称轴为 x1由对称性可得 B 点坐标为（3，0） A、B、C 三点的坐标分别是：A（1，0） ，B（3，0） ，C（0，4） （2）点 C（0，4）在抛物线 y ax 2bxc 图象上，c 4 将 A（1，0） ，B
35、（3，0）代入 y ax 2bx4 得解得49 ba38 ba此抛物线的解析式为 y x 2 x4 （3）BDm，AD4m在 Rt BOC 中， BC 2OB 2 OC 23 24 225，BC 5DEBC，ADE ABC ，即 BCDEA5E4m DE 420 yxBDOAECF过点 E 作 EF AB 于点 F，则 sinEDFsin CBA BCO54 ，EF DE 4m DF545420 S S CDE S ADC S ADE (4m)4 (4m)(4m)2121 m 22m (m2) 22（0m4） 01当 m2 时，S 有最大值 2此时 ODOB BD321此时 D 点坐标为（1，
36、0） 11.解：（1）如图 1，过 C 作 CEAB 于点 E，则四边形 AECD 为矩形AECD4，CEDA6 又i3 : 4， B43EB8，AB12在 RtCEB 中，由勾股定理得：BC 102EC（2）假设 PC 与 BQ 相互平分DCAB ，四边形 PBCQ 是平行四边形（此时 Q 在 CD） ，如图 2CQBP，即3t10122t 解得 t ，即 t 秒时，PC 与 BQ 相互平分 522（3） 当 Q 在 BC 上，即 0 t 时31如图 1，过 Q 作 QFAB 于点 F，则 CEQF ，即 ，QF CEFB610t59tS PBQ PBQF (122t )2t t 2 t59
37、4即 y t 2 ty t 2 t (t3) 25945981当 t 3 秒时，y 有最大值为 厘米 281CcDcAcBcQcPc 图 1EcFcCcDcAcBcQcPc图 2当 Q 在 CD 上，即 t 时3104SPBQ PBCE (12 2t)621 366t即 y 366t此时 y 随 t 的增大而减小故当 t 秒时，y 有最大值为 366 16 厘米 2310310综合，得 y 与 t 的函数关系式如下：y 365492t 16，当 t 3 秒时， y 有最大值为 厘米 2 581 58112 解：（1）由题意得 09 ba解得 所求抛物线的解析式为 y x 22x 3； 21 （
38、2）存在符合条件的点 P，其坐标为 P(1， )或 P(1， )00或 P(1，6)或 P(1， )； 35（3）解法一：过点 E 作 EF x 轴于点 F，设 E(m， m 22m3)（3 a 0）则 EFm 2 2m3，BF m3，OFm S 四边形 BOCE SBEF S 梯形 FOCE BFEF (EFOC) OF121 (m3)(m 22m3) (m 22m 6)(m ) 9 分21 m 2 m (m )2983当 m 时，S 四边形 BOCE 最大，且最大值为 此时 y ( )22( )3 3415此时 E 点的坐标为( ， ) 解法二：过点 E 作 EFx 轴于点 F，设 E(x
39、，y)（3 x 0）则 S 四边形 BOCE SBEF S 梯形 FOCE（ t ）10（0 t ）EF OCABxy BFEF (EFOC) OF2121 (3x) y (3y )( x) (yx) (x 23x3)2 (x )2 86当 x 时，S 四边形 BOCE 最大，且最大值为 23863此时 y ( )22( )3 415此时 E 点的坐标为( ， )341513 解：（1）把 A( 2，0 )代入 y a(x 1)2 ，得 0a ( 2 1)2 3a 该抛物线的解析式为 y (x 1)233即 y x 2 x 38（2）设点 D 的坐标为 (xD，y D)，由于 D 为抛物线的顶
40、点x D 1，y D 1 2 1 323383点 D 的坐标为 (1， )如图，过点 D 作 DNx 轴于 N，则 DN ，AN 3， AD 6223) (DAO 60 OMAD当 ADOP 时，四边形 DAOP 为平行四边形OP6t6（s）当 DPOM 时，四边形 DAOP 为直角梯形过点 O 作 OEAD 轴于 E在 Rt AOE 中，AO2，EAO60 ，AE1（注：也可通过 RtAOE RtAND 求出 AE1）四边形 DEOP 为矩形，OP DE6 15t5（s）当 PDOA 时，四边形 DAOP 为等腰梯形，此时 OPAD 2AE6 24t4（s）综上所述，当 t6s、5s、4s
41、时，四边形 DAOP 分别为平行四边形、直角梯形、等腰梯形（3）DAO60，OMAD ，COB60 又OCOB，COB 是等边三角形， OB OCAD6BQ2t，OQ6 2t（0 t3）D CMyOABQF NE P x过点 P 作 PF x 轴于 F，则 PF t 23S 四边形 BCPQ SCOB SPOQ 6 (6 2t) t2131 (t )2 8当 t （s）时，S 四边形 BCPQ 的最小值为 2383此时 OQ6 2t6 2 3，OP ，OF ，QF3 ，PF 244943PQ 2QFP 249) (14.解：（1）过点 A 作 AFx 轴于 F则 OFOA cos602 1，A
42、FOAsin602 23A(1， ) 3代入直线解析式，得 ，m 3334y x 令 y0，得 x 0，x434E(4，0)（2）设过 A、O、E 三点的抛物线解析式为 y ax 2 bx c抛物线过原点，c 0 解得4163ba34ba所求抛物线的解析式为 y x 2 x （3）过点 P 作 PGx 轴于 G，设 P(x0，y 0)SEAFAOFS 2)4(2)1(3( 00y ( x03y 0)21 (- x02 x0) (x0 )253538yxBAO EF GP当 x0 时，S 最大 25382515.解：二次函数的解析式为 y= x28x +12 2 分点 P 的坐标为（4，4） 3 分（2）存在点 D，使四边形
