1、收稿日期 : 2010 10 28作者简介 : 王信松 (1968 )，男 ，山东莱阳人 ，博士 ，教授 ，研究方向 : 调和分析 第 32 卷第 2 期 淮北师范大学学报 (自然科学版 ) Vol 32 No 22011 年 6 月 Journal of Huaibei Normal University (Natural Science) Jun 2011行列式性质的简单证明王信松1，姚维柱2，陈 昊1(1 淮北师范大学 数学科学学院 ，安徽 淮北 235000; 2 莱阳市河洛镇中学 ，山东 莱阳 265211)摘 要: 文章给出线性代数教科书中行列式性质的一个简单证明 ，从而简化线性代
2、数的教学内容 ，有助于线性代数的教学 关键词: 行列式 ; 初等变换 ; 对角行列式中图分类号: O 151 22 文献标识码: C 文章编号: 2095 0691(2011)02 0077 041 引言在线性代数教材1中 ，行列式是这样定义的 :定义 1 由 n2个数字 aij( i = 1，2，n，j = 1，2， n)组成的行列式D =a11 a12 a1na21 a22 a2n an1 an2 ann是一个算式 ，当 n = 1 时 ，定义 D = a11;当 n2 时 ，定义D = a11 A11 + a12 A12 + a1 nA1 n，其中 A1 j =( 1)1 + jM1 j
3、， M1 j 是 D 中去掉第 1 行第 j 列全部元素后 ，按原顺序排成的 n 1 阶行列式 这个行列式的定义是用数学归纳法来定义的 ，没有利用逆序数等过多的预备知识2，这给线性代数的教学与学习提供许多的方便 但是在利用这个定义证明行列式的性质时 ，却增加证明难度 下面将行列式的性质罗列如下 :性质 1 行列式的行列互换 ，其值不变 性质 2 行列式的值 D = ai1 Ai1 + ai2 Ai2 + ainAin( i = 1，2， n)，其中 Aij =( 1)i + jMij， Mij 是 D 中去掉第 i 行第 j 列全部元素后 ，按原顺序排成的 n 1 阶行列式 性质 3 (1)若
4、行列式的某一行 (列 )中元素同时乘以一个常数 k，则得到的行列式的值是原来行列式的k 倍 (2)a11 a1n ai1+bi1 ain+bin an1 ann=a11 a1n ai1 ain an1 ann+a11 a1n bi1 bin an1 ann或78 淮北师范大学学报 (自然科学版 ) 2011 年a11 aij+b1j a1n ai1 aij+bij ain an1 anj+bnj ann=a11 a1j a1n ai1 aij ain an1 anj ann+a11 b1j a1n ai1 bij ain an1 bnj ann性质 4 若行列式中的两行 (列 )的元素都相等
5、，则行列式的值为零 性质 5 若行列式的某行 (列 )的元素乘以常数 k 加到另一行 (列 ) ，则行列式的值不变 性质 6 行列式交换两行 (列 )的位置 ，行列式的值改变符号 教材 1中首先利用性质 1、性质 2 证明了性质 3、性质 4，其次利用性质 3、4 证明性质 5，最后利用性质3、5 证明性质 6 可以看出性质 1、性质 2 是证明行列式性质的关键 ，但是性质 1 与性质 2 的证明比较困难 ，因此教材 1中将这两个性质的证明放在附录中 ，这造成学生不会真正理解这两个性质 ，给线性代数的教与学造成许多的不便 本文利用行列式的定义 1 和数学归纳法 ，先给出性质 3，5，4，6 的
6、证明 ，然后利用这 4个性质给出性质 1、性质 2 的一个简单证明 ，有助于线性代数教学 2 行列式性质的证明以下的证明中我们始终用 D 表示行列式的值 ; M1 k表示行列式中去掉第 1 行第 k 列全部元素后 ，按原顺序排成的 n 1 阶行列式 性质 3 的证明先证明第 1 部分 :当行列式的第 1 行的元素均乘以常数 k 时 ，由行列式的定义 1，结论显然成立 ; 当行列式的第 i 行 ( i1)的元素均乘以常数 k 时 ，用 D表示后来的行列式的值 ，此时行列式的值D = a11( 1)1 + 1M11+ a12( 1)1 + 2M12+ a1 n( 1)1 + nM1n，其中 M1j
7、是后来的行列式中去掉第 1 行第 j 列全部元素后 ，按原顺序排成的 n 1 阶行列式 ，因此对行列式的阶数利用数学归纳法 ，可以得到 M1j= kM1 j，于是 D = kD，从而结论成立 至于行列式的某一列的元素均乘以常数 k 时 ，对行列式的阶数利用数学归纳法 ，容易证明行列式的值是原来行列式的 k 倍 性质 3 的第 2 部分 (包括对应的关于列的情形 )类似可以证明 性质 6 的证明先证明交换行列式的两列的位置 ，行列式的值改变符号 对行列式的阶数用数学归纳法给出证明 当行列式的阶数为 2 时 ，由二阶行列式的定义 ，结论显然成立 假定结论对 n 1 阶行列式成立 ，即交换 n 1
8、阶行列式的两列的位置 ，行列式的符号改变 交换 n 阶行列式的第 i 列与第 j 列的位置 ，用 D表示后来的行列式的值 ，则D = a11( 1)1 + 1M11+ a1 j( 1)1 + iM1i+ a1 i( 1)1 + jM1j+ a1 n( 1)1 + nM1n，其中 M1j是后来的行列式中去掉第 1 行第 j 列全部元素后 ，按原顺序排成的 n 1 阶行列式 ，由归纳假定知道M1k= M1 k( ki，j)，M1i= M1 j，M1j= M1 i，此时 D = D下面再证明交换行列式的两行的位置 ，行列式的值改变符号 对行列式的阶数用数学归纳法给出证明 当行列式的阶数为 2 时 ，
9、由二阶行列式的定义 ，结论显然成立 假定结论对 n 1 阶行列式成立 ，即交换n 1 阶行列式的两行的位置 ，行列式的符号改变 分以下几种情形 1)交换行列式的第 1 行第 2 行 ，交换后的行列式的值等于D = a21( 1)1 + 1M11+ a22( 1)1 + 2M12+ a2 n( 1)1 + nM1n，其中 M1j是后来的行列式中去掉第 2 行第 j 列全部元素后 ，按原顺序排成的 n 1 阶行列式 ，然后再利用行列式的定义将 M1p( p = 1，2， n)按第 1 行展开 ，得到M1p=nq = 1，q pa1 q( 1)1 + ( q 1)M12 pq +nq = 1， q
10、pa1 q( 1)1 + qM12 pq，其中 M12 pq是在原行列式中去掉第 1 行第 2 行 ，第 p 列第 q 列后 ，按原顺序排成的 n 2 阶行列式 显然有第 2 期 王信松等: 行列式性质的简单证明 79M12 pq = M12 qp，故D =np = 1a2 p( 1)1 + p(nq = 1，q pa1 q( 1)1 + ( q 1)M12 pq +nq = 1，q pa1 q( 1)1 + qM12 pq)= np = 1a2 p( 1)1 + pnq = 1，q pa1 q( 1)1 + ( q 1)M12 pq + np = 1a2 p( 1)1 + pnq = 1，q
11、 pa1 q( 1)1 + qM12 pq= nq = 1a1 q( 1)1 + ( q 1)np = 1，p qa2 p( 1)1 + pM12 pq + nq = 1a1 q( 1)1 + qnp = 1， p qa2 p( 1)1 + pM12 pq= nq = 1a1 q( 1)1 + qnp = 1，p qa2 p( 1)1 + pM12 pq + nq = 1a1 q( 1)1 + qnp = 1，p qa2 p( 1)1 + ( p 1)M12 pq= ( a21( 1)1 + 1M11 + a22( 1)1 + 2M12 + a2 n( 1)1 + nM1 n) = D2)交换
12、行列式的第 1 行第 j( j2)行 ，交换后的行列式的值等于D = aj1( 1)1 + 1M11+ aj2( 1)1 + 2M12+ ajn( 1)1 + nM1n，其中 M1k是后来的行列式中去掉第 1 行第 k 列全部元素后 ，按原顺序排成的 n 1 阶行列式 ，将 n 1 阶行列式 M1k(k = 1，2， n)的第j 1 行依次与第 j 2 行交换位置 ，然后再与第 j 3 行交换位置 ，经过 j 2次交换两行的位置 ，将第 j 1 行移动到 M1k中的第 1 行 ，用 M1k表示此时的行列式 ，则由归纳假定 ，有 M1k=( 1)j 2M1k，这时D = ( 1)j 2( aj1
13、( 1)1 + 1M11+ aj2( 1)1 + 2M12+ ajn( 1)1 + nM1n ()()式构成的行列式的第 1 行为原来行列式的第 j 行 ，第 2 行为原来行列式的第 1 行的行列式 ，交换这个行列式的第 1 行与第 2 行的位置 ，由第一步的证明知道 ，行列式的值改变一次符号 所以此时D = ( 1)j 1( a11( 1)1 + 1M11+ a12( 1)1 + 2M12+ a1 n( 1)1 + nM1n，其中 M1k是这个行列式中去掉第 1 行第 k 列全部元素后 ，按原顺序排成的 n 1 阶行列式 ，此时按照刚才的方法将 M1k的第 1 行经过 j 2 交换两行的位置
14、 ，将 M1k的第 1 行移动到 M1k的第 j 1 行 ，这时 M1k变为 M1 k，由归纳假定此时的 M1k= ( 1)j 2M1 k，所以D = ( 1)j 1( 1)j 2( a11( 1)1 + 1M11 + a12( 1)1 + 2M12 + a1 n( 1)1 + nM1 n) = D3)交换行列式的第 i 行第 j 行 ( ij，i1)，交换后的行列式的值等于D = a11( 1)1 + 1M11+ a12( 1)1 + 2M12+ a1 n( 1)1 + nM1n，其中 M1k是后来的行列式中去掉第 1 行第 k 列全部元素后 ，按原顺序排成的 n 1 阶行列式 ，交换 M1
15、k中的第i 1 行第 j 1 行的位置 ，此时的 M1k变为 M1 k，同样由归纳假定 ，有 M1k= M1 k，从而D = ( a11( 1)1 + 1M11 + a12( 1)1 + 2M12 + a1 n( 1)1 + nM1 n) = D从而对任意阶的行列式 ，结论成立 性质 4 的证明如果行列式的两行 (列 )对应的元素相等 ，那么交换这两行 (列 )的位置 ，由性质 6，行列式的值改变一次符号 ，但行列式仍然为原来的行列式 ，由此推出行列式的值为零 性质 5 的证明由性质 3，6 立即可证 性质 2 的证明当行数 i = 1 时 ，此时的性质正是行列式的定义 ; 当行数 i = 2
16、 时 ，利用性质 6，交换行列式的第 1 行和第2 行的位置 ，此时行列式的值改变一次符号 ，变为 D，然后利用行列式的定义展开 ，此时 D = a21( 1)1 + 1M21 + a2 j( 1)1 + jM2 j + a2 n( 1)1 + nM2 n，所以D = a21( 1)2 + 1M21 + a2 j( 1)2 + jM2 j + a2 n( 1)2 + nM2 n;当行数 i1，2 时 ，利用性质 6，将第 i 行与第 1 行交换 ，行列式的值改变符号 ，变为 D，然后利用行列式的定义按照第 1 行展开 ，得到 D = ai1( 1)1 + 1M11+ aij( 1)1 + jM
17、1j+ ain( 1)1 + nM1n，其中 M1i是交换后的行列式的第 1 行元素的余子式 ，由性质 6 可以得到 M1j= ( 1)i 2Mij，从而立即可以得到80 淮北师范大学学报 (自然科学版 ) 2011 年D = ai1( 1)i + 1Mi1 + aij( 1)i + jMij + ain( 1)i + nMin由性质 3、4、5、6，可以给出以下定义 :定义 2 称行列式的某行 (列 )乘以某个常数加到另一行 (列 )或交换行列式的两行 (列 )的两种变换为行列式的行 (列 )的初等变换 命题 1 任何一个行列式可以通过行 (列 )的初等变换化为上 (下 )三角行列式 证明
18、利用数学归纳法立即可以证明 命题 2 上 (下 )三角行列式的值等于对角线上元素的乘积 证明 利用性质 2 和数学归纳法 ，很容易给出证明 性质 1 的证明由性质 4，5，6 和命题 1，任何行列式可以通过行的初等变换化为上三角行列式 ，且这个行列式的值等于对角线上元素的乘积 ，而行列式转置后 ，同样利用性质 4，5，6 和命题 1，对新行列式的列 (即原行列式的行 )实行与原来行列式的行相同的初等变换 ，同样可以化为一个下三角行列式 ，这个行列式对角线上的元素与刚才的上三角行列式对角线上的元素相同 ，从而由命题 2 知道转置后的行列式的值与原来的行列式的值相等 参考文献 :1 居余马 ，胡金
19、德 线性代数 M 2 版 北京 : 清华大学出版社 ，20092 张禾瑞 ，郝炳新 高等代数 M 5 版 北京 : 高等教育出版社 ，2007Simple Proofs of Determinant PropertiesWANG Xin-song1，YAO Wei-zhu2，CHEN Hao1(1 School of Mathematical Sciences， Huaibei Normal University，235000， Huaibei， Anhui， China;2 Middle School of Heluo County，265211， Laiyang， Shandong， China)Abstract:Simple proofs of determinants in linear algebra are presented in this paper， which simplify the teachingknowledges in linear algebra， and help to improve the teaching of linear algebraKey words:determinant; elementary transform; upper(lower) diagonal determinant
